MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TỐN CHO HỌC

8. Bố cục của luận văn

2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TỐN CHO HỌC

HỌC SINH TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện và vận dụng thành thạo các thuật tốn, quy tắc tựa thuật tốn để giải bài tập

2.2.1.1) Mục đích của biện pháp

Giúp cho HS khả năng phát hiện và vận dụng thành thạo các thuật tốn, quy tắc tựa thuật tốn và thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật tốn cho trước, cĩ thể phát triển một số quy trình tốn học như: cộng, trừ, nhân, chia,…thành những thuật tốn dưới dạng ngơn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối hoặc ngơn ngữ phương trình rồi yêu cầu HS thực hiện các quy trình ấy, thơng qua đĩ nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi quy trình.

2.2.1.2) Cách thức thực hiện

Trong chủ đề phương trình và hệ phương trình cĩ một số dạng bài tốn mà lời giải của nĩ được trình bày dưới dạng quy trình các bước thực hiện. Trong nội dung này chúng tơi sẽ giới thiệu các dạng tốn đĩ, đưa ra quy trình giải và cho một số bài tập áp dụng. Đây là hoạt động giúp rèn luyện và phát triển hoạt động thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật tốn cho trước của tư duy thuật tốn, hoạt động này rất phù hợp với những HS cĩ học lực từ trung bình trở xuống.

Biện pháp này được tiến hành như sau: GV đưa ra quy trình, cho ví dụ và hướng dẫn HS giải tốn theo quy trình đã cho. Sau đĩ cho bài tập và yêu cầu HS thực hiện theo quy trình cho đến khi thành thạo. Biện pháp này cần thực hiện thường xuyên để rèn luyện cho HS thĩi quen sử dụng các quy trình trong giải tốn.

37

2.2.1.3) Các minh họa

A. Tổ chức cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn axb  0 (1)

Phương trình bậc nhất axb 0 (1)đã được học ở lớp 8. Đối với những phương trình mà hệ số a b, khơng cĩ chứa tham số thì hầu như tất cả HS đều cĩ thể giải được. GV cần rèn luyện cho HS vận dụng thành thạo quy trình để giải những phương trình phức tạp hơn như bài tốn giải và biện luận phương trình cĩ chứa tham số m.

GV sử dụng hệ thống câu hỏi dẫn dắt phù hợp để HS tìm ra cách giải và câu trả lời mong đợi từ HS như sau:

GV: Nêu dạng của phương trình bậc nhất một ẩn và các bước giải. HS: Nêu được phương trình bậc nhất ax b 0 và cách giải. GV: Kết luận và giới thiệu quy trình.

Quy trình 1:

- Bước 1: Xác định ,a b .

- Bước 2: Nếu a0 thì phương trình cĩ nghiệm duy nhất x b a

  .

Nếu a0,b0 thì phương trình vơ nghiệm. Nếu a0,b0 thì phương trình cĩ vơ số nghiệm. - Bước 3: Kết luận nghiệm.

GV: Giao bài tập vận dụng quy trình và giúp đỡ HS thực hiện. Giải các phương trình sau:

) 3 6 0 a x  ) 3 4 24 6 27 3 b  x  x x  x 5 2 1 ) 15 3 x x c   

38

HS: Câu a) đây là phương trình cĩ dạng phương trình bậc nhất ax b 0 Bước 1: a3 ;b6

Bước 2: Phương trình cĩ nghiệm duy nhất x 2 GV: Nhận dạng phương trình ở câu b) và nêu cách giải.

HS: Câu b) phương trình đã cho chưa cĩ dạng bậc nhất một ẩn axb 0 hoặc ax b, cần biến đổi phương trình về dạng đã biết.

GV: Làm thế nào để biến đổi PT đưa về đúng dạng ax b 0 hoặc ax b HS: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia nhận

được phương trình dạng bậc nhất ax b 0 và thực hiện theo quy trình. - Bước 1: 3 4 x24 6 x x 27 3 x

4x 6x x 3x 27 3 24

      

0x 0

 

- Bước 2: Phương trình cĩ vơ số nghiệm. GV: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho. HS: Phương trình đã cho vơ số nghiệm.

GV: Nhận dạng phương trình ở câu c) và nêu cách giải? HS: Phát biểu ý kiến.

GV: Câu c) phương trình đã cho cĩ hai vế là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn và khơng chứa ẩn ở mẫu, cần biến đổi đưa về dạng phương trình đã biết. Làm cách nào để biến đổi đưa về đúng dạng ax b 0 hoặc ax b . HS: Quy đồng khử mẫu hai vế với mẫu số chung là 6. Thu gọn và giải

phương trình nhận được để tìm nghiệm.

5 2 1 15 3 x x  3(5x 2) 15(x 1)     15x 15x 15 6     0x 21  

GV: Tìm nghiệm của phương trình vừa nhận được. HS: Thực hiện theo quy trình 1.

39

Bước 1: a0;b 21

Bước 2: Phương trình vơ nghiệm. GV: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho. HS: Phương trình đã cho vơ nghiệm.

GV: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: (m3)x2m 1 0 (*)

GV: Nhận dạng phương trình đã cho và trình bày các bước giải bài tốn. HS: Phương trình cĩ dạng axb0

- Bước 1: am3 ;b 2m1 - Bước 2: Xét điều kiện của a .

+ Nếu m 3 0 thì m3: (*) cĩ nghiệm duy nhất 2 1

3 m x m   

+ Nếu m 3 0 thì m3: (*) trở thành 0.x7: Vơ nghiệm. - Bước 3:

Vậy: m3, (*) cĩ nghiệm duy nhất 2 1

3 m x m    3 m , (*) vơ nghiệm. GV: Cho phương trình: 3 2 2 5 (**) 12 8 24 mx xm x m  

a) Giải phương trình với m1.

b) Tìm m để phương trình (**) vơ nghiệm.

GV: Với m1 thì phương trình đã cho cĩ dạng như thế nào. Hãy thay m1 vào phương trình ?

HS: 1 3 2 1 2 5.1

12 8 24

x x x

 

GV: Hãy biến đổi phương trình.

HS: Thực hiện biến đổi bằng cách quy đồng khử mẫu ở hai vế .

1 3 2 1 2 5.1

12 8 24

x x x

40 2(x 3) 3(2x 1) 2x 5       2x 6 6x 3 2x 5       6x 4 0   

GV: Hãy nêu dạng của phương trình vừa nhận được và nêu giá trị nghiệm. HS: Phương trình vừa nhận được cĩ dạng bậc nhất axb0với

6; 4

a b và nghiệm của phương trình là 4 2

6 3

x   

GV: Trả lời yêu cầu của câu a).

HS: Với m1, thì phương trình (**) cĩ 1 nghiệm 2

3

x 

GV: Câu b). Làm thế nào để biến đổi phương trình đã cho về dạng bậc nhất ax b 0.

HS: Thực hiện biến đổi bằng cách quy đồng khử mẫu ở hai vế.

3 2 2 5 12 8 24 mx xm x m   2(mx 3) 3(2x m) 2x 5m       2mx 6x 2x 5m 3m 6       2mx 4x 2m 6     (m 2)x 2(m 3)    

GV: Hãy dựa vào quy trình 1 để nêu các bước giải bài tốn. HS: (Nếu a0,b0 thì phương trình ax b 0 vơ nghiệm.)

Phương trình vơ nghiệm khi 2 0 2 2

3 0 3 m m m m m                  GV: Kết luận bài tốn.

HS: Phương trình (**) vơ nghiệm khi m 2

Bài tập rèn luyện

GV đề xuất các bài tập để HS tự rèn luyện phù hợp với nội dung của quy trình đã cĩ.

41

1) Giải các phương trình sau

) 3 5 2 40 a x   x ) 2 (3 5 ) 4( 3) b x  x  x 5 2 5 3 ) 1 3 2 x x c   x   1 1 1 ) 2 2 3 6 x x x d       2) Cho phương trình (4m225)x 5 2m

a) Giải phương trình khi m5

b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm. 3) Giải và biện luận các phương trình sau:

a) m x2  6 4x3m

b) (2m1)x2m3x2

B. Tổ chức cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình giải và biện luận phương trình bậc hai ax2bx c 0 (2)

Phương trình bậc hai ax2 bx c 0(a0) đã cĩ các bước giải với a b c, , là các số đã biết (khơng cĩ chứa tham số m). Đối với phương trình các hệ số a b c, , cĩ chứa tham số m thì ta cần xét các điều kiện của a để nhận dạng phương trình và giải tìm nghiệm. GV tổ chức cho HS nhắc lại quy trình giải phương trình bậc hai, từ đĩ phát hiện được quy trình giải và biện luận phương trình (2) theo tham số m.

GV sử dụng hệ thống câu hỏi dẫn dắt phù hợp để HS tìm ra cách giải và câu trả lời mong đợi từ HS như sau:

GV: Nhắc lại dạng của phương trình bậc hai và nêu các bước giải.

HS: Phương trình bậc hai ax2bx c 0(a0) được giải theo cơng thức nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn.

42

HS: Phát biểu ý kiến.

GV: Kết luận và giới thiệu quy trình.

Quy trình 2:

- Bước 1: Xác định các hệ số , ,a b c. - Bước 2: Xét điều kiện của a.

Trường hợp 1: a0, phương trình trở thành dạng ax b 0 (1) . Trường hợp 2: a0 thì tính giá trị  b24ac (hoặc  ' b'2ac)

i) Nếu  0 thì phương trình vơ nghiệm.

ii) Nếu  0 thì phương trình cĩ nghiệm kép 1 2

2

b

x x

a

  

iii) Nếu  0 thì phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 1,2

2 b x a    

- Bước 3: Kết luận nghiệm.

GV: Giải các phương trình sau:

2

) 3 2 1 0

a x  x  b x) 22x 1 0 c) 3 x22x 1 0

GV: Nhận dạng các phương trình và trình bày bài giải.

HS: Các phương trình đã cĩ dạng phương trình bậc hai nên thực hiện theo quy trình đã cĩ. a) Bước 1: a3;b 2;c1 Bước 2: 2 2 4 ( 2) 4.3.1 8 0 b ac         

Bước 3: Phương trình vơ nghiệm. b) Bước 1: a1;b2;c1 Bước 2: 2 2 4 2 4.1.1 0 b ac      

Bước 3: Phương trình cĩ nghiệm kép 1 2

2 1 2 2.1 b x x a        .

43 c) Bước 1: a 3;b2;c1 Bước 2: 2 2 4 ( 3) 4.2.1 4 0 b ac        

Bước 3: Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt

1 2 2 4 1 2 4 ; 1 2 2.( 3) 3 2 2.( 3) b b x x a a                   

Bước 4: Vậy phương trình cĩ 2 ngiệm 1 ; 1

3

x  x

GV: Giải và biện luận phương trình mx22(m2)xm 3 0 GV: Nhận dạng phương trình đã cho và nêu cách giải bài tốn. HS: Phát biểu ý kiến.

GV: Hệ số a của phương trình cĩ chứa tham số nên cần phải xét các điều kiện của a. Khi a0 thì phương trình trở thành phương trình bậc hai. HS: Phương trình cĩ dạng ax2bx c 0, thực hiện theo quy trình đã biết.

- Bước 1: am b; ' (m2) ;cm3. - Bước 2: Xét điều kiện của a.

Trường hợp 1: m0, phương trình trở thành 4x 3 0cĩ nghiệm 3

4

x

Trường hợp 2: m0, ta cĩ  ' b'2ac(m2)2m m( 3) 4 m

+ Nếu 4m0 thì m4 : Phương trình vơ nghiệm. + Nếu 4m0 thì m4 : Phương trình cĩ nghiệm kép.

2 4 2 1 4 2 m x m     

+ Nếu 4m0 thì m4thì phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt.

x1,2 m 2 4 m

m

  



- Bước 3: Kết luận

Vậy: m0: phương trình cĩ nghiệm 3

4

44

m4: phương trình cĩ nghiệm 1

2

x .

m4: phương trình vơ nghiệm.

m4: phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1,2 m 2 4 m m

  



GV: Cho phương trình (m2)x22(2m3)x5m 6 0 (5 )b a) Giải phương trình với m1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình vơ nghiệm. GV: Với m1 phương trình cĩ dạng như thế nào.

HS: Với m1 phương trình trở thành x22x 1 0 .

2 2

4 ( 2) 4.( 1).( 1) 0

b ac

         nên phương trình cĩ nghiệm

kép x 1.

GV: Xét điều kiện của a để tìm giá trị của m. HS:

Nếu m 2 0 thì m2: Phương trình trở thành 2x 4 0cĩ nghiệm 2

x

Nếu m 2 0 thì m2 : Phương trình vơ nghiệm khi:

2

' 0 (2m 3) (m 2)(5m 6) 0

       

 m24m  3 0 m 1 m3 Vậy: phương trình vơ nghiệm khi m 1 m3.

Bài tập rèn luyện:

GV đề xuất các bài tập để HS tự rèn luyện phù hợp với nội dung của quy trình đã cĩ.

1) Giải các phương trình sau 2 ) 5 4 9 0 a x  x  2 ) 5 2 4 b x  x x 2 ) 8 0 c x  

45

2

) 2 2 0

d x  x

2) Giải và biện luận các phương trình sau: a) (m1)x2(2m x)  1 0

b) (4m1)x24mx m  3 0

3) Cho phương trình (m2)x2 2(m2)x2(m1) 0 a) Giải phương trình với m3.

b) Tìm m để phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. 4) Cho phương trình 2x2 (3m2)xm m( 1) 0

a) Giải phương trình với m3.

b) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m.

C. Tổ chức cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn dạng AB (3)

Trong nội dung chương trình sách giáo khoa Đại số 10 – THPT cĩ giới thiệu cách giải phương trình (3), ta thường bình phương hai vế của phương trình để đưa về một phương trình hệ quả khơng chứa ẩn dưới dấu căn. Tuy nhiên, cách giới thiệu như vậy HS sẽ khĩ vận dụng để giải tốn, nhất là đối với HS cĩ học lực từ trung bình trở xuống. Vì vậy, GV cần hướng dẫn HS phát hiện ra quy trình và vận dụng vào việc giải bài tập.

GV sử dụng hệ thống câu hỏi dẫn dắt phù hợp để HS tìm ra cách giải và câu trả lời mong đợi từ HS như sau:

GV: Cho phương trình AB (3)

GV: Muốn bình phương hai vế của phương trình để khử căn bậc hai ta cần tìm điều kiện gì.

HS: Tìm điều kiện để vế phải khơng âm.

GV: Khi bình phương hai vế thì phương trình (3) trở thành dạng nào. HS: Phương trình cĩ dạng A B 2 .

GV: Làm thế nào để tìm được nghiệm của phương trình.

46

với điều kiện để nhận nghiệm cho phương trình (3). GV: Hãy trình bày các bước giải phương trình.

HS: Phát biểu ý kiến.

GV: Kết luận và giới thiệu quy trình.

Quy trình 3:

- Bước 1: Đặt điều kiện B0

- Bước 2: Bình phương 2 vế của PT đưa về dạng A B 2 (3’).

- Bước 3: Giải phương trình (3’), tìm nghiệm, so sánh với điều kiện. - Bước 4: Kết luận nghiệm.

GV: Giải phương trình 5x6  x 6 HS: Thực hiện theo quy trình đã biết.

- Bước 1: Điều kiện x 6 0x6

- Bước 2: Bình phương 2 vế của phương trình.

5x6  x 65x 6 x62 2

5x 6 x 12x 36

    

- Bước 3: Thu gọn phương trình vừa nhận được và giải tìm nghiệm, so sánh với điều kiện.

2 5x 6 x 12x36 2 17 30 0 x x     2 ( 15 ( loại) nhận) x x      

- Bước 4: Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x15 GV: Giải phương trình x 2x 5 4

GV: Phương trình đã cho cĩ dạng AB chưa, làm thế nào để biến đổi đưa về dạng đã biết và giải theo quy trình.

HS: Chuyển căn thức bậc hai sang một vế, ẩn và hằng số sang vế kia.

x 2x5 4  2x5 x 4

47

HS: Thực hiện theo quy trình 3.

- Bước 1: Điều kiện x 4 0x4

- Bước 2: Bình phương 2 vế của phương trình.

2x  5 x 4 2x 5 x42 2

2x 5 x 8x 16

    