1.1.1. Mô hình hóa trong hình học 10 cơ bản
Chương trình hình học 10 cơ bản: Trích dẫn từ SGV hình học 10 tr. 18, 19:
(Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, và Trần Đức Huyên, 2006) Định lí côsin xuất hiện trong chủ đề “Các hệ thức lượng trong tam giác”, thuộc chương tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng. Trước đó HS đã biết đến những kiến thức liên quan như: định lí Py – ta – go, các hệ thức lượng trong tam giác vuông ở cấp 2.
Dựa vào chương trình trên thì bước đầu có thể thấy thể chế dạy học hình học 10 có quan tâm đến định lí côsin về cả hai mặt: giải bài toán thuần toán học (cụ thể là vận dụng định lí côsin vào giải một số bài toán tam giác) và ứng dụng giải bài toán thực tế. Để tìm hiểu chi tiết hơn về mối quan hệ của thể chế dạy học này đối với định lí côsin, chúng tôi phân tích đồng thời SGK, SBT và SGV.
Sách giáo khoa hình học 10 cơ bản:
H1 trình bày các nội dung theo thứ tự sau: Định lí côsin, hệ quả của định lí côsin, độ dài đường trung tuyến, ví dụ áp dụng.
Định lí côsin:
Trước khi giới thiệu định lí côsin, một hoạt động tr. 46, 47 được đưa ra về các hệ thức lượng trong tam giác vuông để gợi nhắc HS nhớ lại kiến thức cũ:
(Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, và Trần Đức Huyên, 2014) Điều này cũng được khẳng định trong SGV (tr. 61):
(Trần Văn Hạo et al., 2006)
Sau đó H1 đi vào tìm hiểu định lí côsin. Sự trình bày định lí côsin đi theo tiến trình Bài toán → Định lí, cụ thể hơn có thể minh họa như sau (tr. 47, 48):
Tình huống có vấn đề Giải quyết vấn đề Định lí
(Trần Văn Hạo et al., 2014) Thật vậy, tình huống yêu cầu tính cạnh của một tam giác bất kì khi biết hai cạnh và một góc xen giữa hai cạnh đó. Điều này là một sự mới mẻ với HS vì trước đó việc tính cạnh được thực hiện trên tam giác vuông. Có thể xem đây là một vấn đề đối với HS do chưa có một phát biểu nào về phương pháp tính trong trường hợp tam giác bất kì này cả.
Chuyển sang bước giải quyết vấn đề, có nhiều cách chứng minh định lí côsin nhưng H1 đã chọn phương pháp về vectơ để có thể đơn giản cách giải, gần gũi với kiến thức tích vô hướng của HS. Đối với chúng tôi, sự lựa chọn này phù hợp.
Kết quả của việc giải quyết bài toán cho ra định lí côsin được thể chế hóa như trên.
Hoạt động 2 tiếp theo, HS được yêu cầu phát biểu định lí bằng lời. SGV cũng đã nói rõ cần tập cho HS phát biểu bằng lời như sau:
(Trần Văn Hạo et al., 2006)
Hoạt động này nhằm tạo ra sự ghi nhớ bằng lời ở HS, mà việc ghi nhớ có thể sẽ hiệu quả không kém công thức và giúp hiểu định lí côsin một cách rõ ràng.
Câu hỏi “Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc nào?” ở hoạt động 3 (H1, tr. 48) tiếp tục là gợi ý để dẫn đến mạch suy luận: định lí
côsin là trường hợp mở rộng của định lí Py – ta – go, cho phép HS liên hệ giữa hai định lí.
Như vậy, định lí côsin được trình bày theo dạng Bài toán → Định lí, có xuất phát từ một tình huống có vấn đề và tiến hành giải quyết tình huống để tìm ra định lí. Vì bài toán là thuần toán học nên mô hình hóa toán học không có lí do để xuất hiện ở phần này.
Hệ quả định lí côsin:
Từ việc biết hai cạnh và một góc xen giữa trong tam giác, tính cạnh còn lại thì tồn tại vấn đề khác là biết ba cạnh trong tam giác, tính một trong các góc. Hệ quả của định lí côsin cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ trên:
(Trần Văn Hạo et al., 2014) Mặc dù SGK trình bày ngay hệ quả nhưng SGV (tr. 63) cũng gợi ý “nên cho HS tự tìm hiểu và có thể cho HS làm các ví dụ tại lớp học”.
Độ dài đường trung tuyến:
Đây là một mảng ứng dụng định lí côsin và hệ quả để tính được độ dài đường trung tuyến theo ba cạnh tam giác và từ đó, kết quả tìm ra được khái quát thành công thức độ dài đường trung tuyến. Cụ thể là:
(Trần Văn Hạo et al., 2014) Để thực hành thì sau khi đã trình bày phần chứng minh công thức, H1 đưa ra hoạt động 4 (tr. 49): “Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến 𝑚𝑎 của tam giác ABC đã cho”.
Ví dụ áp dụng:
Có hai ví dụ được đưa ra để củng cố định lí côsin và hệ quả của nó.
Ví dụ 1 là một bài toán toán học. Nó dễ dàng được giải quyết bằng việc áp dụng trực tiếp định lí côsin và hệ quả:
“Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm và góc 𝐶̂ = 110°. Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.” (H1, tr. 49).
Ở ví dụ 2, nhiệm vụ đã được mở rộng hơn với một bài toán ngoài toán học, thuộc lĩnh vực vật lí: “Hai lực 𝑓⃗⃗⃗ 1 và 𝑓⃗⃗⃗ 2 cho trước cùng tác dụng lên một vật và tạo thành góc nhọn (𝑓⃗⃗⃗ , 𝑓1 ⃗⃗⃗ ) = 𝛼2 . Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực 𝑠 ” (H1, tr. 50).
Đây là một bài toán ngoài toán học song không hẳn là bài toán thực tiễn một cách tự nhiên do chưa toát lên được nhu cầu tính toán của người sử dụng. Tuy nhiên nó vẫn nằm trong khả năng có thể phân tích được ở phương diện mô hình hóa:
- Bước đầu cần tiến hành đó là lập mô hình trung gian, mô hình toán học
(Trần Văn Hạo et al., 2014)
- Việc kế tiếp là làm việc với mô hình toán học
- Cuối cùng, cần trả lời cho câu hỏi ban đầu. Do đặc điểm bài toán nên bước này rơi vào khả năng 1. Ta chỉ thấy H1 chọn giá trị không âm để phù hợp với kiểu đại lượng về cường độ.
Mô hình hóa trong ví dụ 2 hoàn toàn đơn giản, không đòi hỏi HS phải huy động nhiều kiến thức. Mặt khác đến thời điểm này, HS đã biết về tổng của hai vector ở phần đầu của hình học 10, tổng hợp và phân tích lực ở đầu chương II vật lí 10 và đã thực hành với các dạng bài này rất nhiều nên chúng tôi đánh giá đây là bài toán không gây nhiều khó khăn cho HS.
Ngoài 4 phần chính mà chúng tôi phân ra, định lí côsin và hệ quả của nó còn được xuất hiện trong lời giải của ví dụ 2 thuộc mục công thức tính diện tích tam
Độ dài vectơ chính là độ dài đoạn thẳng. Đoạn thẳng này được nhìn như là cạnh trong một tam giác và áp dụng định lí côsin để thiết lập công thức. Sử dụng thêm kiến thức về hai cung bù nhau để cho ra kết quả tối giản.
(Trần Văn Hạo et al., 2014)
Các lực trong vật lí đã được mô hình hóa thành các vectơ trong toán học có điểm đầu và điểm cuối. Hợp lực cần tìm chính là tổng của hai vectơ này. Mô hình tạo thành có hình bình hành và HS cần chọn cho mình một tam giác thành phần để làm việc với nó.
giác (tr. 55), lời giải ví dụ 2 và 3 ở phần giải tam giác (tr. 56) nhưng vẫn là các bài toán thuần toán học.
(Trần Văn Hạo et al., 2014) Như vậy trong phần lí thuyết, mô hình hóa chỉ xuất hiện ở một ví dụ về tính cường độ hợp lực với thao tác lập mô hình toán học, giải mô hình toán học dễ dàng và chưa mang nhiều tính thực tế. Những hoạt động còn lại là giải các bài toán toán học và chỉ cần ghi nhớ công thức để giải quyết bài toán.
Tiếp nối, chúng tôi sẽ khảo sát trong hệ thống bài tập các kiểu nhiệm vụ được đặt ra và chú ý đến những bài toán thực tiễn, để nghiên cứu các bước mô hình hóa có thể được thực hiện trong đó.
Bài tập
Vì tổ chức toán học là một công cụ hiệu quả để soi rõ mối quan hệ của thể chế đối với một đối tượng tri thức toán nên chúng tôi sẽ vận dụng nó vào phân tích.
Các tổ chức toán học mà chúng tôi tìm thấy được trình bày ngắn gọn trong bảng sau:
Bảng 1.1. Các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 cơ bản
Kiểu nhiệm vụ T Kĩ thuật 𝝉
Công nghệ 𝜽 – Lí thuyết
𝐓𝟎: Tính giá trị côsin của góc khi cho trước ba cạnh (c.c.c) 𝝉𝟎: Sử dụng hệ quả định lí côsin để tính côsin của góc cần tìm 𝜽𝟎: Hệ quả định lí côsin 𝟎: Định lí côsin
𝐓𝟏: Tính góc trong tam giác khi cho trước ba cạnh (c.c.c)
𝝉𝟏: - 𝝉𝟎
- Tìm số đo góc này (dựa vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hoặc sử dụng máy tính bỏ túi) → 𝐓𝟎là KNV con của 𝐓𝟏 𝜽𝟏: - 𝜽𝟎 - Máy tính bỏ túi có chức năng này 𝟏:𝟎 𝐓𝟐: Tính cạnh trong tam giác khi cho trước hai cạnh còn lại và một góc xen giữa (c.g.c) 𝝉𝟐: Sử dụng định lí côsin để tính cạnh chưa biết 𝜽𝟐: Định lí côsin 𝟐: Các yếu tố dùng chứng minh định lí côsin 𝐓𝟑: Tính góc trong tam giác khi cho trước hai cạnh và một góc xen giữa (c.g.c) 𝝉𝟑: - 𝝉𝟐 - 𝝉𝟏
→ Từ hướng dẫn như trên của SGV, ta thấy 𝐓𝟐, 𝐓𝟏 là các KNV con của
𝐓𝟑. Để giải quyết KNV 𝐓𝟑 này đòi hỏi HS không những nhớ được từng công thức (định lí, hệ quả) mà còn phải biết quan sát để liên kết chúng lại 𝜽𝟑: - 𝜽𝟐 - 𝜽𝟏 𝟑: - 𝟐 - 𝟏 𝐓𝟒: Tính góc lớn nhất của tam giác khi biết ba cạnh
𝝉𝟒:
- Xác định góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc cần tính
- 𝝉𝟏
→ 𝐓𝟏là KNV con của 𝐓𝟒
𝜽𝟒:
- 𝜽∗: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
𝟒: - Chứng minh cho 𝜽∗ - 𝟏 𝐓𝟓: Nhận dạng tam giác (tù, nhọn, vuông) khi biết ba cạnh
𝝉𝟓: - 𝝉𝟒
- Dựa vào số đo của góc này để kết luận đặc điểm tam giác → Dựa vào đặc điểm 𝝉𝟒 ta cũng suy ra 𝐓𝟏 là KNV con của 𝐓𝟓
𝜽𝟓:𝜽𝟒
𝟓:𝟒
𝐓𝟔: Chứng minh hệ thức
Dựa vào bài toán cụ thể
𝐓𝟕: Chứng minh mệnh đề (tương đương hoặc kéo theo, …)
Trình bày ở dưới
𝐓𝟖: Tính cường độ hợp lực khi cho trước hai lực và góc tạo bởi hai lực đó
Đây là bài toán ngoài toán học xuất hiện ở ví dụ 2 tr. 50, các bước giải đã được nêu ở trên
KNV𝐓𝟕: Cụ thể:
(Trần Văn Hạo et al., 2014) Kĩ thuật𝝉𝟕:Trích SGV tr. 72
(Trần Văn Hạo et al., 2006) Công nghệ𝜽𝟕:
- Định nghĩa côsin của cung (góc) lượng giác - Hệ quả định lí côsin (𝜽𝟎)
Lí thuyết𝟕: Định lí côsin(𝟎)
Qua đó chúng tôi rút ra một sơ đồ tóm tắt về mối quan hệ giữa các tổ chức toán học này:
Sơ đồ 1.1. Mối quan hệ giữa các tổ chức toán học trong SGK hình học 10 cơ bản
Vậy:
- Từ KNV 𝐓𝟎 cho ra KNV 𝐓𝟏; hai KNV 𝐓𝟏 (tính góc khi biết ba cạnh) và 𝐓𝟐
(tính cạnh khi biết hai cạnh còn lại và một góc xen giữa) là hai KNV cơ bản. Bắt nguồn từ đó để phát triển thành các KNV khác có nhiều tính chất hơn bằng cách thêm vào công nghệ khác như 𝜽𝟏kết hợp với 𝜽∗cho ra hai KNV 𝐓𝟒(tính góc lớn nhất), 𝐓𝟓 (nhận dạng tam giác); 𝜽𝟏 kết hợp với 𝜽𝟐 cho ra KNV 𝐓𝟑
(tính góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa). KNV khác như 𝐓𝟔 (chứng minh hệ thức) và 𝐓𝟕(chứng minh mệnh đề) được đặt ra giúp rèn luyện kĩ năng chứng minh và biến đổi hệ thức cho HS.
𝐓𝟏 𝐓𝟑 𝐓𝟒 𝐓𝟓 𝐓𝟐 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝜽∗
- Riêng 𝐓𝟖 (tính cường độ hợp lực) là bài toán ngoài toán học duy nhất, nằm trong phần ví dụ. Ngoài ra chúng tôi không tìm thấy bất cứ KNV nào khác là bài toán ngoài toán học liên quan đến định lí côsin.
Các KNV trong SBT tương tự trong H1 là 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟒, 𝐓𝟔, không có KNV 𝐓𝟎,
𝐓𝟑, 𝐓𝟓, 𝐓𝟕 và 𝐓𝟖. Thay vào đó SBT có thêm KNV khác là:
𝐓𝟗: Tính góc, cạnh, côsin của góc trong các bài toán hình học phẳng (đặc điểm: Đề bài cho giả thiết liên quan đến trung tuyến, một hệ thức cho trước). Kĩ thuật giải dựa vào từng bài toán cụ thể.
Chúng tôi thấy có KNV tính góc (c.c.c), tính cạnh (c.g.c) nhưng không có mặt KNV tính cạnh (c.c.g) như phần mở đầu luận văn đề cập.
Để đánh giá KNV nào được ưu tiên, chúng tôi liệt kê số lần có mặt các KNV tổng cộng ở H1 và SBT:
Bảng 1.2. Số lượng các KNV trong SGK và SBT hình học 10 cơ bản
KNV Ví dụ, hoạt động Bài tập Tổng 𝐓𝟎 0 + 0 1 + 0 1 𝐓𝟏 3 + 1 4 +5 13 𝐓𝟐 3 + 3 2 +5 13 𝐓𝟑 0 + 0 1 +0 1 𝐓𝟒 0 + 0 1 +1 2 𝐓𝟓 0 + 0 1 +0 1 𝐓𝟔 0 + 1 0 +1 2 𝐓𝟕 0 + 0 2 +0 2 𝐓𝟖 (ngoài toán học) 1 + 0 0 +0 1 𝐓𝟗 0 +0 0 + 2 2 Tổng 12 26 38
Bảng 1.3. Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán học trong chương trình hình học 10 cơ bản
KNV thuộc bài toán thực tế KNV thuộc bài toán toán học
Số lượng 1 (3%) 37 (97%)
Từ bảng 1.2 cho thấy KNV 𝐓𝟏, 𝐓𝟐 chiếm tỉ lệ vượt trội trong tất cả các KNV, các KNV còn lại là 𝐓𝟎,𝐓𝟑đến 𝐓𝟗 chiếm số lượng rất ít ỏi.
Bài toán ngoài toán học duy nhất là bài toán chứa KNV 𝐓𝟖 – tính cường độ hợp lực, tri thức sử dụng cho KNV này là định lí côsin áp dụng trong trường hợp cạnh – góc – cạnh trong tam giác để tìm cạnh còn lại. Bảng 1.3 cho thấy số lượng hiếm hoi của các KNV thuộc bài toán thực tế (chỉ chiếm 3%).
Kết luận về thể chế dạy học hình học 10 cơ bản:
- Thể chế quan tâm nhiều đến các bài toán toán học với hai KNV trọng tâm là tính cạnh và góc trong tam giác, ứng dụng của định lí côsin trong thực tế không được chú trọng.
- Mô hình hóa toán học không được sắp xếp trong phần giới thiệu định lí côsin và bài tập. Chỉ duy nhất một ví dụ minh họa cho định lí là có tính đến mô hình hóa. Trong các bước giải ví dụ này thì bước 1, 2, 3 có tồn tại, bước 4 thuộc khả năng 1.
Như vậy, vấn đề mô hình hóa đối với định lí côsin hiện diện không đáng kể trong thể chế dạy học hình học 10 cơ bản.
1.1.2. Mô hình hóa trong hình học 10 nâng cao
Sau đây chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thể chế dạy học hình học 10 nâng cao để có được cái nhìn tổng thể.
Khung chương trình của hình học 10 nâng cao về định lí côsin giống khung chương trình của hình học 10 cơ bản. Mức độ cần đạt và ghi chú được đưa ra là như nhau.
Lí thuyết
Sự khác biệt trong trình tự đưa vào các khái niệm ở hai SGK:
H2: Định lí côsin Hệ quả Ví dụ áp dụng Độ dài trung tuyến Công thức Hê – rông Ví dụ áp dụng.
H1: Định lí côsin Hệ quả Độ dài trung tuyến Ví dụ áp dụng. Định lí côsin:
Bắt nguồn từ việc chứng minh định lí Py – ta – go theo phương pháp vectơ, tác giả đã để lại một khuôn mẫu với dụng ý hướng HS đến cách làm tương tự nhằm tìm được hệ thức tính cạnh đối với tam giác bất kì. Cụ thể:
(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2012) Câu hỏi 1 đặt ra cho HS để lí giải hạng tử tích vô hướng trong biểu thức bằng 0. Sau đó HS thực hiện hoạt động 1 để tìm ra định lí côsin:
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) Để lí giải cách biên soạn này, SGV hình học 10 nâng cao đã viết:
(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2011) Điều này có thể cho phép HS có cái nhìn liên hệ từ tam giác vuông (ứng với định lí Py – ta – go) mở rộng phạm vi áp dụng sang tam giác thường (ứng với định lí côsin). Nhưng cách trình bày chứng minh trong tam giác vuông trước đó và yêu cầu của hoạt động 1 có thể sẽ làm giảm vai trò tự chứng minh định lí ở HS.