Sau đây chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thể chế dạy học hình học 10 nâng cao để có được cái nhìn tổng thể.
Khung chương trình của hình học 10 nâng cao về định lí côsin giống khung chương trình của hình học 10 cơ bản. Mức độ cần đạt và ghi chú được đưa ra là như nhau.
Lí thuyết
Sự khác biệt trong trình tự đưa vào các khái niệm ở hai SGK:
H2: Định lí côsin Hệ quả Ví dụ áp dụng Độ dài trung tuyến Công thức Hê – rông Ví dụ áp dụng.
H1: Định lí côsin Hệ quả Độ dài trung tuyến Ví dụ áp dụng. Định lí côsin:
Bắt nguồn từ việc chứng minh định lí Py – ta – go theo phương pháp vectơ, tác giả đã để lại một khuôn mẫu với dụng ý hướng HS đến cách làm tương tự nhằm tìm được hệ thức tính cạnh đối với tam giác bất kì. Cụ thể:
(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2012) Câu hỏi 1 đặt ra cho HS để lí giải hạng tử tích vô hướng trong biểu thức bằng 0. Sau đó HS thực hiện hoạt động 1 để tìm ra định lí côsin:
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) Để lí giải cách biên soạn này, SGV hình học 10 nâng cao đã viết:
(Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, và Bùi Văn Nghị, 2011) Điều này có thể cho phép HS có cái nhìn liên hệ từ tam giác vuông (ứng với định lí Py – ta – go) mở rộng phạm vi áp dụng sang tam giác thường (ứng với định lí côsin). Nhưng cách trình bày chứng minh trong tam giác vuông trước đó và yêu cầu của hoạt động 1 có thể sẽ làm giảm vai trò tự chứng minh định lí ở HS.
Hoạt động 2 và câu hỏi 2 tiếp theo có cùng mục đích với hoạt động 2 và hoạt động 3 trong SGK cơ bản (phát biểu định lí bằng lời; khi tam giác là vuông thì định lí côsin trở thành định lí nào?).
Như vậy cách giới thiệu định lí côsin ở hai SGK có sự khác biệt: - H1:
Hoạt động nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông → Bài toán → Giải quyết bài toán → Định lí côsin
- H2:
Chứng minh định lí Py – ta – go bằng công cụ vectơ → Áp dụng chứng minh này đối với tam giác thường → Định lí côsin
Và hai sách không lựa chọn dạy học bằng mô hình hóa. Hệ quả định lí côsin:
Hoạt động 3 tr. 54 được đưa ra: “Từ định lí côsin hãy viết công thức tính giá trị cosA, cosB, cosC theo a, b, c” là điểm khác nhau tiếp theo giữa hai sách (H1 chỉ dùng câu dẫn “Từ định lí côsin ta suy ra” và đưa đến hệ quả). Theo chúng tôi, nếu không có hoạt động 3 này HS vẫn có thể tìm ra được hệ quả.
Ví dụ áp dụng:
Kết thúc phần hệ quả, H2 đưa ra hai ví dụ trong đó ví dụ 1 là bài toán thực tế, ví dụ 2 là bài toán toán học:
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) Đây là cũng là một bài toán liên môn toán – lí như bài toán tìm hợp lực ở H1 và đòi hỏi HS phải biết lập mô hình toán học:
Quãng đường đi được của hai tàu từ vị trí xuất phát đến vị trí sau 2 giờ đã được biểu diễn thành các đoạn thẳng AB, AC. Và để tính nó cần sử dụng công thức vật lí trong chuyển động thẳng đều: quãng đường = vận tốc x thời gian.
(Đoàn Quỳnh et al., 2012)
Tiếp tục là bước giải mô hình toán học. Theo chúng tôi, đến giai đoạn này HS dễ dàng nghĩ đến việc sử dụng định lí côsin để giải quyết.
(Đoàn Quỳnh et al., 2012)
Bước cuối cùng trả lời cho bài toán ban đầu, H2 chọn lấy căn bậc hai số học như là tính có lí của kết quả.
Bài toán này có cho thấy được ứng dụng của định lí côsin trong thực tế và có thể sẽ gây hứng thú hơn cho HS so với bài toán tìm hợp lực trong H1 vì đối tượng con tàu bao giờ cũng dễ tưởng tượng hơn là lực. Nhưng xem xét về nhu cầu để nảy
sinh ra bài toán thì tình huống này chưa cho thấy được điều đó. Học sinh rất có thể tự hỏi “tính khoảng cách giữa hai tàu để làm gì?” Về kĩ thuật giải, bài toán này không chứa nhiều kĩ thuật phức tạp.
Ví dụ 2 tiếp theo là một bài toán toán học cơ bản áp dụng hệ quả định lí côsin nên chúng tôi sẽ không phân tích nó:
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) H2 có phần chú ý về cách sử dụng máy tính bỏ túi: tính 𝐴̂ từ cosA. Ngược lại, H1 không có chi tiết này. Như vậy, thể chế dạy học hình học 10 nâng cao có quan tâm và đưa ra quan điểm về việc sử dụng máy tính bỏ túi để giải toán. Đối với thể chế dạy học hình học 10 cơ bản, điều này không được trình bày trên H1 mà có lẽ được sử dụng trong thực tế giải toán hay được hướng dẫn bởi GV.
Độ dài đường trung tuyến:
Trước hết H2 đưa ra bài toán 1 và đặt ra một hoạt động (tr. 58) để gợi ý HS đến chứng minh công thức:
Hoạt động 5 được giải như sau (Đoàn Quỳnh et al., 2011)
Sau đó từ kết quả
này, công thức trung tuyến được đưa ra trong bài toán 3:
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) Như vậy H1 lựa chọn chứng minh công thức trung tuyến theo định lí côsin kết hợp với hệ quả của nó, còn H2 chứng minh công thức này dựa vào vectơ và tính toán trên chúng. Điều này lí giải sự sắp xếp công thức trung tuyến không cần liền sau hệ quả định lí côsin ở H2.
Theo chúng tôi, mỗi lựa chọn có một ưu điểm riêng. Nếu chứng minh theo định lí côsin và hệ quả thì điều này cho thấy thêm lợi ích của định lí côsin; ngược lại dùng phương pháp vectơ thì rất phổ dụng và hiệu quả, không cần phụ thuộc vào định lí.
Công thức Hê – rông được trình bày trong phần Diện tích tam giác và hệ quả định lí côsin
đóng vai trò là một phần trong chứng minh công thức (cosA được thay thế bởi 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2𝑏𝑐 ):
(Đoàn Quỳnh et al., 2012)
Cuối cùng những ví dụ áp dụng được giới thiệu: Ví dụ áp dụng:
Có ba ví dụ liên quan đến định lí côsin và hệ quả, lần lượt là ví dụ 6, ví dụ 7 và ví dụ 8.
Ví dụ 6 tr. 61: “Cho tam giác ABC. Biết a = 49, 4; b = 26,4; 𝐶̂ = 47°20′. Tính hai góc A, B và cạnh c”; ví dụ 7 tr. 62: “Cho tam giác ABC. Biết a = 24; b = 13; c = 15. Tính các góc A, B, C” là các ví dụ thuần toán học. Chúng tôi sẽ đi vào ví dụ 8 tr.
62 để phân tích.
Ví dụ 8: “Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A
đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8 km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng 75°. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C (h. 57)”.
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) Ở đây mô hình toán học đã được cho sẵn cùng đề bài nên việc giải quyết bài toán không có gì khó khăn. Do đó nhiệm vụ tiếp theo của HS chỉ là áp dụng định lí côsin để tìm ra khoảng cách:
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) Câu trả lời cho bài toán thực tế cũng chính là kết quả giải bài toán toán học. Như vậy, kết thúc phần lí thuyết, H2 đã trình bày định lí côsin thông qua chứng minh hệ thức trong tam giác vuông và qua một câu hỏi cùng một hoạt động dành cho HS thực hiện để dẫn đến định lí. Phần trình bày hệ quả khá đơn giản như H1 nhưng về phần công thức trung tuyến thì H2 lại lựa chọn chứng minh công thức theo phương pháp vectơ. Số lượng ví dụ trong H2 bằng với H1 (5 ví dụ), trong đó có 2 ví dụ về mô hình hóa (H1 chỉ có một ví dụ). Nhìn chung, các bài toán mô hình hóa chưa toát lên nhiều lợi ích của định lí côsin trong thực tế. Chỉ giới hạn ở tính khoảng cách thông thường. Phần câu hỏi và hoạt động chứng minh của HS ở H2 nhiều hơn so với H1. Ngoài ra H2 còn lưu ý về việc sử dụng máy tính bỏ túi và có sử dụng hệ quả định lí côsin trong chứng minh công thức diện tích tam giác (công thức Hê – rông).
Tương tự như phần làm việc đối với H1, chúng tôi sẽ phân tích hệ thống bài tập của chương trình nâng cao (trong H2 và SBT hình học 10 nâng cao).
Bài tập
Kiểu nhiệm vụ
Những KNV mà chương trình nâng cao trùng với chương trình cơ bản gồm có:
𝐓𝟎, 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟑, 𝐓𝟔, 𝐓𝟕, 𝐓𝟖, 𝐓𝟗.Cụ thể hơn H2 có các KNV 𝐓𝟎, 𝐓𝟏, 𝐓𝟐 (ngoài các bài toán toán học thì có một bài toán được lồng ghép ngữ cảnh thực tế), 𝐓𝟑, 𝐓𝟔, 𝐓𝟕, 𝐓𝟖, ngoài ra không còn KNV nào khác. Đối với SBT nâng cao, ngoài các KNV 𝐓𝟎, 𝐓𝟏,
𝐓𝟐, 𝐓𝟔, 𝐓𝟕, 𝐓𝟗(đặc điểm: đề bài cho nhiều giả thiết đa dạng liên quan đến trung tuyến, tứ giác, bán kính r, đường tròn ngoại tiếp (O ; R), một hệ thức cho trước) thì còn một KNV mới 𝐓𝟏′.
(Đoàn Quỳnh et al., 2012) Cũng giống như bài toán “đường dây cao thế”, mô hình toán học đã được cho sẵn và HS chỉ cần áp dụng định lí côsin để giải. Ngữ cảnh “hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường” có dụng ý làm vật cản trở hai vị trí B, C nhưng HS có thể không cần quan tâm đến vấn đề này mà vẫn có thể giải như một bài toán thuần toán học và tính ra được đáp án bình thường. Cách đưa ra bài toán như vậy khiến mức độ tích cực của HS có thể bị giảm sút so với việc không cho trước mô hình toán học. Do đặc điểm bài toán mà bước 4 không vấp phải mâu thuẫn nào trong thực tế.
Bài toán ngoài toán học chứa KNV 𝐓𝟖như sau:
Các bước mô hình hóa bài toán và kĩ thuật, công nghệ cũng đã được nêu trong bảng 1.1.
KNV mới trong SBT nâng cao là:
KNV𝐓𝟏′: Tìm đặc điểm một góc khi cho trước ba cạnh trong tam giác (c.c.c) Kĩ thuật𝝉𝟏′:
- Sử dụng hệ quả định lí côsin để tính côsin của góc cần xét đặc điểm
- Dấu của côsin của góc xét đặc điểm là dương thì góc sẽ nhọn, âm thì góc sẽ tù và bằng 0 thì góc sẽ vuông.
Công nghệ 𝜽𝟏′: - Hệ quả định lí côsin
- Định nghĩa côsin của cung (góc) lượng giác Lí thuyết 𝟏′
:Định lí côsin Như vậy có thể thấy:
- Điểm khác nhau trong các loại KNV ở chương trình nâng cao và chương trình cơ bản là: chương trình cơ bản có KNV 𝐓𝟒, 𝐓𝟓 mà chương trình nâng cao không có, trong khi chương trình nâng cao có KNV 𝐓𝟏′ độc lập.
- Đối ngược với H2 có một vài bài toán có gắn với thực tế, SBT nâng cao không có một bài toán nào liên quan đến thực tế.
Chúng tôi cũng thấy không xuất hiện KNV tính cạnh (c.c.g) trong H2 và SBT nâng cao.
Kế tiếp, chúng tôi lập bảng liệt kê số lượng từng KNV cũng ở H2
và ở SBT giống như chương trình cơ bản:
Bảng 1.5. Tỉ lệ giữa KNV thuộc bài toán thực tế và KNV thuộc bài toán toán học trong chương trình hình học 10 nâng cao
KNV thuộc bài toán thực tế
KNV thuộc bài toán toán học
Số lượng 4 (11%) 32 (89%)
Từ bảng 1.4 thì KNV 𝐓𝟏 (tính góc khi biết ba cạnh), 𝐓𝟐 (tính cạnh còn lại khi biết hai cạnh và góc xen giữa) chiếm số lượng rất lớn. Cho thấy thể chế dạy học hình học 10 nâng cao cũng coi hai KNV áp dụng trực tiếp hệ quả định lí côsin và định lí côsin là trọng tâm như thể chế dạy học hình học 10 cơ bản. Điểm khác biệt lớn nhất là KNV 𝐓𝟔 ở đây (chứng minh hệ thức) chiếm tỉ lệ cao hơn nhiều so với H1 (số lượng
𝐓𝟔là 2) và cao nhất tính trong hệ thống bài tập sách nâng cao. Điều này cho thấy thể chế dạy học hình học 10 nâng cao đặc biệt quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng chứng minh hệ thức cho HS, và đây cũng là một đặc trưng để có thể phân biệt hai thể chế. Bên cạnh đó KNV 𝐓𝟕(chứng minh mệnh đề), 𝐓𝟗 (tính góc, cạnh, côsin của góc trong các bài toán hình học phẳng với giả thiết đa dạng hơn) cũng khá được thể chế chú ý khi chiếm số lượng trung bình (mỗi KNV 4 lần). Cuối cùng, những KNV còn lại 𝐓𝟎,
𝐓𝟑, 𝐓𝟖 (tính cường độ hợp lực) và 𝐓𝟏′ được có mặt một lần như là để làm phong phú thêm các tính chất và ứng dụng liên quan đến định lí côsin.
Bảng 1.5 cho thấy tỉ lệ các KNV thuộc bài toán thực tế (11%) cao hơn so với chương trình cơ bản (3%). H2 chú trọng đến vấn đề thực tiễn xung quanh định lí côsin nhiều hơn H1 nhưng nhìn chung các vấn đề thực tế vẫn rất ít so với các nhiệm vụ thuần toán học trong cùng một chương trình nâng cao (11% so với 89%). Ngoài ra, chúng tôi thấy những bài toán này tập trung tất cả vào ứng dụng tính cạnh của định lí côsin (𝐓𝟐), ứng dụng tính góc không được ưu tiên. Mặc dù đề bài đã được mô tả qua những câu từ thực tế, song các lợi ích khác của định lí côsin chưa được mang lại. Về phương diện mô hình hóa, có bốn bài toán trong đó: hai bài toán tr. 30, 36 có các
bước 1, 2, 3; hai bài toán tr. 34, 35 chỉ có bước 3, và bước 4 của cả bốn bài toán đều rơi vào khả năng 1 (mô hình và kết quả tính toán đã phù hợp với thực tế).
Nhận xét về thể chế dạy học hình học 10 nâng cao:
- Thể chế chú trọng đến kĩ năng, tính góc và cạnh trong tam giác, chứng minh các hệ thức (các bài toán toán học). Mặt ứng dụng định lí côsin vào thực tế không được coi là trọng tâm và không nổi bật.
- Ở phương diện mô hình hóa, các bài toán mô hình hóa xuất hiện chủ yếu trong các ví dụ, có mặt một lần trong phần bài tập, thể hiện được ít tính hữu dụng của định lí. Các bài toán này có cả hai loại cho trước và không cho trước mô hình toán học. Kết quả khi giải bài toán toán học cũng là câu trả lời cho bài toán thực tiễn.
Liên hệ lại ở cả thể chế dạy học hình học cơ bản và nâng cao, chúng tôi thấy trong SGK cũng như SBT không có KNV tính cạnh (c.c.g) này. Nguyên nhân theo chúng tôi có thể là do xuyên suốt từ lớp 7 cho đến về sau, SGK chỉ đề cập đến 3 trường hợp của tam giác làm cho tam giác xác định duy nhất (c.c.c, c.g.c, g.c.g). Nên mặc nhiên để không gây mâu thuẫn trong hệ thống bài, người ta buộc phải đưa ra các KNV giới hạn trong ba trường hợp này.