Chương 2 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
2.3. Phân tích hậu nghiệm
2.3.2. Phân tích chi tiết
Pha 1: Ôn tập, giới thiệu bài toán mở đầu
Chúng tôi xây dựng phiếu ôn lại kiến thức ở pha mở đầu như sau:
“Em hãy viết các tỉ số lượng giác của góc C” Như đã nói, tích vô hướng chưa được dạy ở thời điểm
này nên chúng tôi quyết định chọn tri thức để ôn tập liên quan đến 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐,
𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄. Mục tiêu ban đầu là HS tìm ra định lí côsin qua sự dẫn dắt của GV nên HS sử dụng chiến lược nào để tìm ra kết quả bài toán cũng đều được khuyến khích.
Ở pha này, phiếu ôn lại kiến thức được phát cho mỗi HS làm cá nhân. Kết quả thu được là cả 24 HS đều làm tốt hoạt động này:
(PL1)
Như vậy, các HS đều đã nhớ lại công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn, tạo cơ sở cho các chiến lược giải trong bài toán tiếp theo.
Ngay sau đó GV giới thiệu bài toán mở đầu tới 6 nhóm, hướng dẫn quy trình thực hiện thảo luận, viết biên bản, phổ biến cuộc thi cho các nhóm, nhóm nào có số lượng bài toán làm đúng nhiều nhất và nhanh nhất trong 3 vòng tới tương ứng với 3 bài toán sẽ là nhóm thắng cuộc.
Pha 2: Thảo luận nhóm giải bài toán mở đầu
+ Mô hình toán học: Mô hình toán học từ một số nhóm
(PL5) (PL8) (PL6)
Chỉ có một nhóm làm trực tiếp mà không trình bày mô hình toán học. Các nhóm còn lại đều thực hiện bước này tương đối tốt (theo cách vẽ tượng trưng, đa số không tuân theo tỉ lệ các cạnh)
Chiến lược của mỗi nhóm như sau:
Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Nhóm 5 Nhóm 6
𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 𝑺𝑻𝑽𝑯 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 Chưa có lời giải Như vậy chiến lược 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 đã xuất hiện nhiều nhất đúng như dự kiến (4/6 nhóm, chiếm tỉ lệ 66,67%). Với bốn nhóm 1, 2, 3, 5 này, lời giải có sự khác nhau nhưng thực chất vẫn là tổ hợp của các cách tính đường cao và việc kẻ đường cao từ các đỉnh. Có thể phân loại cách giải của 4 nhóm này như sau:
Cách tính đường cao Kẻ đường
cao từ đỉnh
Dùng Pytago trong
tam giác vuông nhỏ Dùng giác vuông nhỏ 𝑠𝑖𝑛60° trong tam
B Nhóm 3
C Nhóm 5 Nhóm 1, nhóm 2
(xem chi tiết trong PL5, PL6, PL8) 4 nhóm đều thế số vào ngay mỗi bước khi có thể tính ra kết quả nên khi thể chế hóa định lí côsin chúng tôi sẽ phải mất thêm thời gian như trong tiên đoán.
Một minh họa: (PL6)
Khi được hỏi tại sao em biết dùng cách này trong khi toán hình trên lớp chưa học đến tích vô hướng thì câu trả lời nhận được là “em đã đọc bài trước rồi” (protocole 74). Lúc đầu nhóm 4 đã kẻ đường cao BH để tính đến chiến lược 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐, nhưng chưa chứng minh được nên nhóm đã quyết định dùng đến 𝑺𝑻𝑽𝑯.
Việc không có lời giải ở nhóm 6 có thể được lí giải qua phần nháp và protocole:
× Ban đầu nhóm 6 có bạn đã kẻ đường cao từ góc 60° (PL10):
Để giải được theo cách vẽ này, HS phải sử dụng 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄. Với những khó khăn về 𝑺𝑳𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒄như phân tích ở trên, HS đã bị mất một khoảng thời gian đáng kể
× Nhóm 6 bắt đầu thay đổi chiến lược sang một chiến lược khác. Có lẽ nhắm đến 𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 nhưng không còn kịp thời gian để viết. Manh mối trong protocole và bài giải giấy roki:
(Protocole 56 – 62, PL28)
(PL9)
Như vậy:
𝑺𝑷𝒚𝒕𝒂𝒈𝒐 là chiến lược phổ biến nhất với HS. Sản phẩm trình bày cho thấy HS ưu tiên viết kết quả dưới căn.
Về vấn đề mô hình hóa:
× Lập mô hình toán học: Bước đầu từ bài toán thực tế, HS đã biết biểu diễn các địa điểm thành các điểm, các con đường trở thành các đoạn thẳng trong mặt phẳng, áp các dữ kiện đề bài vào mô hình trung gian để tạo thành mô hình toán học đầy đủ và đã biết mình cần phải tìm gì.
× Giải mô hình toán học: Kết quả cho thấy kĩ năng giải bài toán thuần túy ở HS là khá tốt.
× Trả lời cho bài toán ban đầu: Với tình huống này, câu trả lời cho bài toán ban đầu là kết quả tính ra được mà không cần phải xem xét hay loại trừ. Do đó, ngoại việc HS không viết ra kết luận theo lời văn (khoảng cách giữa hai thành phố B và C là
√7 𝑘𝑚) thì không có chi tiết nào khác để chúng tôi nhận xét về bước này. Như vậy, đa số HS đã có thể giải quyết được bài toán mở đầu.
Pha 3: Tìm ra tri thức cần giảng dạy
Cả lớp cùng theo dõi sản phẩm của các nhóm, nhận xét, GV điều khiển lớp. Và để HS nhận ra được mình đã có thể tìm thấy kiến thức mới thì GV tiếp tục thực hiện công việc thể chế hóa:
GV chỉ ra cho HS từ hệ thức 𝐵𝐶 = √𝐵𝐻2+ 𝐻𝐶2 mà HS vừa xây dựng, tiếp tục thay 𝐵𝐻2 = 𝐴𝐵2− 𝐴𝐻2 như các em đã làm, thay 𝐻𝐶2 = (𝐴𝐶 − 𝐴𝐻)2 và sau đó khai triển hằng đẳng thức này ra, rút gọn biểu thức, thay
𝐴𝐻 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠60°, cuối cùng được 𝐵𝐶 = √𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2− 2. 𝐴𝐶. 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠60°
Kế tiếp, GV treo bảng dạy học đã vẽ sẵn ba hình tam giác nhọn, tù, vuông có tên và góc. GV đặt tên các cạnh theo góc đối diện và yêu cầu HS viết lại hệ thức vừa tìm theo các tên gọi mới này, bình phương hai vế và ra được
𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2− 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴.
(Protocole 82 – 97; PL29, PL30) GV lấy ví dụ về các trường hợp tam giác tù góc 120°, tam giác vuông trong bảng trên cho HS và kết quả là định lí vẫn đúng:
Trường hợp tam giác tù cũng kẻ đường cao xuống và cách làm gần giống với trường hợp tam giác nhọn. Đến bước cần biểu diễn 𝑐𝑜𝑠60° theo 𝑐𝑜𝑠120°, GV cho HS bấm máy tính 𝑐𝑜𝑠120° để tìm ra mối liên hệ với 𝑐𝑜𝑠60° (do thời điểm thực nghiệm này HS chưa học đến bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt từ 90° đến
Trường hợp tam giác vuông, GV yêu cầu HS viết hệ thức xây dựng vừa rồi nhưng áp dụng cho góc vuông, sau đó cho HS bấm máy tính tính 𝑐𝑜𝑠90° và hệ thức trở thành định lí Py – ta – go.
(Protocole 98 – 112, PL30)
(PL24) Cuối cùng, GV cho HS ghi định lí côsin vào vở như trong bảng dạy học:
(PL24) Sau khi được giới thiệu về định lí côsin, GV cho HS làm bài toán 1 và bài toán 2 để kiểm tra xem HS đã vận dụng định lí côsin vào giải quyết vấn đề thực tế như thế nào.
Tuy nhiên, trong bài 1 có câu hỏi b liên quan đến kiến thức về góc giữa hai vectơ – một khái niệm mà HS chưa học đến vào thời điểm thực nghiệm này. Nên trước khi vào bài toán 1, GV đã giảng sơ lược cho HS khái niệm góc giữa hai vectơ (Protocole 117 – 121, PL31).
Pha 4: Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn
Bài toán 1:
+ Về mặt mô hình toán học:
(PL11, PL12, PL13, PL14, PL15, PL17) Như vậy hầu hết các nhóm đều thiết lập mô hình một cách tương đối như trong phân tích tiên nghiệm. Trong đó: nhóm 2 hơi bất thường khi để xoay mô hình nằm ngang, nhóm 3 và 5 vẽ chi tiết nhất khi cả hai cùng vẽ đường pháp tuyến với đường
Nhóm 2 Nhóm 3
Nhóm 1
Nhóm 5 Nhóm 6
bay ban đầu để chia đều hai góc 45°. Nhóm 3 biết vẽ đường đứt đoạn hướng Tây Bắc để chỉ máy bay không đi thẳng nữa mà rẽ theo đoạn CB. Chúng tôi đánh giá cao nhóm 5 vì đã mô tả hướng chuyển động của máy bay bằng các vectơ, cho thấy nhóm 5 nắm được vai trò của vectơ và sử dụng vectơ vào biểu diễn hiện tượng thực tế. Điều này cũng tạo thuận lợi cho việc trả lời câu hỏi b.
+ Giải mô hình toán học: Câu a:
Phân loại lời giải của các nhóm:
𝑺𝑫𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒂𝒑𝒌𝒉𝒖𝒄 Lời giải 1 Lời giải 2
Nhóm 2, 3, 5, 6 1, 4
(xem chi tiết trong PL11 – PL17) Điều này cho thấy lời giải 1 chiếm ưu thế hơn lời giải 2. Chứng tỏ nhiều nhóm biết phân tích vấn đề một cách sâu sắc và tìm được cách trình bày ngắn gọn.
Cả 6 nhóm đều đưa ra đáp số xấp xỉ 13 triệu. Sự khác nhau là do chọn vị trí chữ số thập phân cần làm tròn khác nhau của đoạn DU:
Giá trị DU Đáp số Nhóm 1 306,22 → 13 009 220 đ Nhóm 2 306,2 → 13 003 200 đ Nhóm 3 306,222 → 13 009 822 đ Nhóm 4 306 → 12 943 000 đ Nhóm 5 306,222 → 13 001 000 đ Nhóm 6 306 → 12 943 000 đ
Nếu nhóm 5 làm tròn như nhóm 3 thì kết quả ra được phải giống nhóm 3, nhưng nhóm tiếp tục làm tròn thành giá tiền 13 triệu 1 nghìn đồng (lúc đầu nhóm 5 ghi dư một số 0 là 130010000 nhưng sau đó đã sửa lại là 13 001 000) (Protocole 206, PL34).
Vậy, tất cả các nhóm đã biết vận dụng định lí côsin để giải quyết câu a. Câu b:
Chúng tôi dự kiến hai đáp số 120° và 60° đều có thể xuất hiện nhưng kết quả thực tế cho thấy chỉ có 3 nhóm ra 120°, 3 nhóm còn lại ra 74°, 74°58′.
Với 3 nhóm ra 120°, cách giải cũng là áp dụng định lí côsin như trong lời giải 2 của 𝑺𝑫𝒍𝒄𝒐𝒔𝒊𝒏 và trình bày vắn tắt. Một ví dụ về câu b của nhóm 1 (PL11):
Với kết quả 74° hoặc 74°58′, cũng là lời giải 2 nhưng các nhóm đã bấm máy sai nên dẫn đến kết quả sai. Minh họa bài làm nhóm 6 (PL17):
Tiếc là nhóm 5 đã vẽ các vectơ trong mô hình nhưng không chú ý kĩ câu hỏi nên đã dừng lại ở góc 120° và không tính tiếp.
Như vậy trong câu b không có nhóm nào làm theo lời giải 1 (tức xác định đúng góc cần tìm).
Sau khi GV sửa bài của các nhóm, mặt tích cực là HS đã hiểu ra vấn đề và đồng tình với lời giải của GV về việc chọn góc 60° này.
Câu c:
Có 4 nhóm ra kết quả xấp xỉ 931,5, một nhóm ra kết quả 892 và một nhóm chưa ra. Có thể lí giải sự xuất hiện các đáp số như sau:
Giá trị DU Đáp số Lí giải
Nhóm 1 306,22 → 931,5 km/h Làm tròn đúng Nhóm 2 306,2 Chưa giải
Nhóm 3 306,222 → 931,4 km/h Làm tròn sai vì kết quả ra 931,47… Nhóm 4 306 → 892 km/h Hiểu nhầm câu hỏi
Nhóm 6 306 → 931 km/h Làm tròn đúng
(xem chi tiết trong PL11 – PL17) Nhóm 4 ra vận tốc nhỏ hơn hẳn so với bốn nhóm khác. Bài làm của nhóm 4 như sau (PL14):
Từ đây cho thấy nhóm 4 đã hiểu nhầm câu hỏi thành “Để tránh bão nhưng vẫn đi đến được TP Hải Phòng đúng thời điểm theo lộ trình ban đầu đề ra thì vận tốc mới của máy bay ở đoạn gấp khúc là bao nhiêu?”. Do đó nhóm 4 nghĩ vận tốc thay đổi bắt đầu từ điểm A và tính vận tốc mới trên đoạn gấp khúc AC + CB (theo hình của nhóm). Nếu tinh ý một chút thì nhóm sẽ nhận ra GV chỉ hỏi “tính từ lúc bẻ lái đến Hải Phòng” là có ý đồ mà từ đó hiểu đúng được câu c.
Nhóm 2 không đủ thời gian trình bày, nhưng trong giấy nháp có cùng cách giải với nhóm 4:
(PL12)
Câu c nhằm mang lại ý nghĩa nối tiếp cho tình huống thực tế này, ngoài ra giúp HS ứng dụng kiến thức về chuyển động đều. Định lí côsin không nằm trong mục đích của câu c. Từ các kết quả cho thấy các nhóm cũng đã giải quyết tương đối tốt câu hỏi này.
Kết luận: Qua phân tích hậu nghiệm bài toán 1, chúng tôi rút ra được những điểm sau:
Học sinh đã biết thiết lập các đường đi của máy bay, xử lí được các dữ liệu cơ bản ban đầu như xác định đúng góc 45°, đổi thời gian. Như vậy HS không gặp trở ngại ở bước lập mô hình toán học.
Giải mô hình toán học:
+ Một số kết quả cho thấy sát với phân tích tiên nghiệm. Tức là HS biết ứng dụng định lí côsin vào tìm cạnh ở câu a và tìm góc ở câu b cũng như giải được bài toán chuyển động đơn giản ở câu c.
+ Tiên đoán có thể xuất hiện kết quả 60° đã không xảy ra. Mặc dù chúng tôi đã giới thiệu cho HS khái niệm góc giữa hai vectơ trước đó nhưng chưa đủ để HS ghi nhớ.
+ Do kĩ năng bấm máy tính và kĩ thuật làm tròn chưa chính xác nên những kết quả lạ về góc bẻ lái hay vận tốc mới không có trong dự đoán của chúng tôi.
Trả lời cho bài toán ban đầu:
Kết quả tính ra được cũng trùng với câu trả lời cho bài toán ban đầu.
Bài toán 2:
+ Về mặt mô hình toán học:
Có 3 nhóm trình bày mô hình vào bài giải, 3 nhóm còn lại vẽ trong nháp và đề. Có lẽ do hình ảnh minh họa trong đề như gần với mô hình trung gian nên đã được 2 nhóm tận dụng vẽ vào đề.
(PL22, PL20, PL21, PL19, PL18, PL20) Có thể thấy các HS cơ bản đã tạo lập được mô hình tam giác gồm hai cạnh và một góc đối.
+ Giải mô hình toán học: Câu a:
Tất cả các nhóm đều sử dụng 𝑺𝑫𝒍𝒄𝒐𝒔𝒊𝒏:
4 nhóm áp dụng định lí côsin đúng đối tượng, trong đó 3 nhóm cho ra cùng kết quả với hình thức khác nhau và một nhóm chưa giải xong. Cụ thể:
(rút gọn chưa triệt để) (PL18)
(rút gọn triệt để nhưng kết quả dưới viết thiếu số 2 trong số 128)
(PL20)
(rút gọn chưa triệt để) (PL22)
(giải chưa xong) (PL21)
Các trường hợp này đều dừng lại kết quả ở đây và không loại nghiệm – điều này giống như đã dự đoán. Vì vậy, chúng tôi đã dựa vào đó để dạy thêm cho HS về bước trả lời cho bài toán thực tế: Đó là phải xét dấu của nghiệm OB xem chúng như thế nào, có phù hợp với thực tế không khi mà vị trí O và pít tông B trong thực tế không thể chạm nhau. Từ đó các em phải loại đi nghiệm không dương (Protocole 374, PL42).
2 nhóm còn lại đọc nhầm góc trong câu hỏi dẫn đến áp dụng không đúng định lí côsin:
(PL19) Nhóm 2 đã đặt sai góc 𝛼 là góc 𝑂𝐴𝐵̂ (mô hình thứ nhất trong nháp) và áp dụng định lí côsin cho cạnh x (cạnh OB)
(PL20)
Nhóm 3 sau một thời gian áp dụng định lí côsin nhầm cho cạnh AB và biến đổi một loạt các bước thì mới nhận ra đã áp dụng sai đối tượng. Dòng cuối cùng cho thấy nhóm đã khá rối, sửa lại áp dụng cho cạnh OB nhưng vẫn sai góc và viết không kịp. Chúng tôi nhận thấy sự bối rối của nhóm 3 khi đứng trước trường hợp tam giác có hai cạnh và một góc đối:
“292. AT: Sai sai gì rồi! Cái góc 𝐴𝑂𝐵̂ người ta cho đâu đúng với định lí
hàm số cos? Muốn tính OB phải tính góc 𝑂𝐴𝐵̂ mà đề cho tính OB phải có góc
𝐵𝑂𝐴̂
297. AT: Không phải! Muốn tính OB phải có cos góc này phải không?”
(Protocole 292, 297; PL38) Như vậy:
Bước lập mô hình toán học tương đối ổn ở HS.
4/6 nhóm đã biết ứng dụng định lí côsin linh hoạt để giải câu hỏi a. 2 nhóm còn lại có sử dụng định lí côsin nhưng chưa xác định đúng đối tượng nên đã làm sai so với yêu cầu đề bài. Sự áp dụng sai định lí côsin nằm ngoài dự kiến của chúng tôi.
Học sinh chưa chú ý so sánh với điều kiện thực tế ở bước 4. Câu b:
(PL18) Có thể do quá luống cuống mà nhóm 1 đã viết sai biểu thức tính độ dịch chuyển x. Trong mô hình này, có thể tính x như sau:
x = OA + OB – AB (OA phía dưới, OB phía trên, AB phía dưới) = OA + (OA + AB) – AB
= 4 + (4 + 12) – 12 = 8
hoặc x = OA + AB – OB (OA, AB phía trên, OB phía dưới) = OA + AB – (AB – AO)