Qua việc phân tích tham số và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số trong SGK Toán phổ thông chúng tôi đi đến một số kết luận sau đây:
Về tham số:
Cả trong SGK Đại số 10, SGK Đại số 10 nâng cao thì những mô tả về tham số trong hệ phương trình chứa tham số không phải là biến chỉ dạng mà ở đây người ta xem tham số như hằng số. Hơn nữa, việc mô tả tham số như những chữ cái khác ngoài ẩn x, y, z là khá đơn giản và chủ yếu dựa vào hình thức phô bày trên kí hiệu chữ, nghĩa là các kí tự x, y, z hiểu là ẩn, còn các chữ cái như m, n, … hiểu là tham
số. Điều này đã được kiểm chứng trong luận văn của Phạm Hải Dương (2012) qua hợp đồng được phát biểu như sau: “Trong phương trình bậc hai chứa tham số, HS có trách nhiệm xem x là ẩn và các chữ khác m, t, k … là các tham số”.
Về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
Trong thể chế dạy học Toán ở bậc THPT giai đoạn hiện hành, đối tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện trong SGK Đại số 10 nâng cao. Sự xuất hiện của tham số trong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gắn với sự hiện diện của kỹ thuật định thức. Kỹ thuật này đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số bởi vì nó đặc biệt đảm bảo được yêu cầu của bài toán biện luận là phân chia các trường hợp một cách triệt để, liên tục, không bỏ sót, không trùng lặp. Trong khi đó, hai kỹ thuật đại số: cộng, thế lại không mô tả một quy trình rõ ràng cho phép giải và biện luận tốt mọi hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Do vậy, kỹ thuật định thức trở thành kỹ thuật tối ưu (ở trường phổ thông) đối với KNV “Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn”.
Với ba KNV liên quan đến vai trò công cụ của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số được đặt ra:
+ Đối với KNV: “Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy”: HS học SGK Đại số 10 nâng cao hoàn toàn dễ dàng giải quyết được đối với trường hợp là các đường thẳng bất kỳ (có chứa tham số hoặc không chứa tham số) bằng kỹ thuật định thức, còn HS học SGK Đại số 10 có thể giải quyết bằng một kỹ thuật khác thay thế, đó là kỹ thuật thế. Tuy nhiên, kỹ thuật thế này khó khăn trong việc biến đổi đại số của HS.
+ Đối với KNV: “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz”: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số tạo điều kiện sinh thái cho việc tồn tại các kỹ thuật giải quyết KNV này. Vì vậy khi vắng mặt hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Đại số 10 thì KNV này cũng không có cơ hội để tồn tại trong SGK Hình học 12. KNV này tồn tại trong SGK Hình học 12 nâng cao với ba kỹ thuật giải. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số đóng vai trò là yếu tố công nghệ để biện minh cho kỹ thuật.
+ Đối với KNV “Giải bài toán thực tế” hay một tình huống trong môn Hóa học: Lời giải bài toán thực tế được đưa ra trong SBT Đại số 10 nâng cao, SGK Đại số 10 hay SBT Hóa học 12 nâng cao căn cứ vào hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số. Thế nhưng mối liên hệ giữa bài toán thực tế này và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số lại không hề tồn tại đối với HS (và giáo viên). Khi một HS (hay giáo viên) gặp bài toán thực tế này, họ lại không nghĩ đến việc đặt nó trong mối quan hệ với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số. Ấy thế mà, nếu chỉ xem xét về phương diện toán học, ta thấy ngay lập tức một mối liên hệ rất rõ có thể tồn tại.
Như vậy, SGK cũng như SBT Toán THPT trong giai đoạn đối tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đưa vào giảng dạy chỉ nhắm đến phương diện công cụ của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số ở các bài toán thuần túy toán học với các KNV liên quan đến các vấn đề về “Vị trí tương đối của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy”, “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz”, trong khi đó chỉ có một bài toán thực tế được đưa ra. Hơn nữa, HS cũng không thấy được sự liên kết giữa Toán học và các môn khoa học khác như Hóa học. Điều này dẫn tới kiến thức HS tiếp thu phần nào mang tính rời rạc, các em không thấy được ứng dụng mà đối tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số mang lại.
Qua phân tích thể chế ở trên đưa chúng tôi đến một số giả thuyết nghiên cứu như sau:
Giả thuyết H1: Khi thiếu vắng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số, HS có thể phạm một số sai lầm như phân chia các trường hợp một cách không triệt để, bỏ sót trường hợp trong việc giải quyết KNV xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.
Giả thuyết H2: Việc thiếu vắng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số sẽ gây ra cho HS một số quan niệm sai lầm như: “muốn tìm ba ẩn thì phải có ba phương trình”, “nghiệm của hệ phải luôn là số”, “những nghiệm chứa tham số thì không phải nghiệm cuối cùng của hệ” trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Chương 2
MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM