Đối với bài tập 2.1, mơi trường vật chất trang bị cho tình huống là cần thiết vì học sinh tham gia thực nghiệm theo học chương trình chuẩn, quy tắc hợp hai lực song song ngược chiều khơng phải là đối tượng tri thức được giảng dạy.
Hình 9. Kết quả học sinh thao tác trên mơ hình trong BT 2.1.
Chúng tơi ghi nhận được: Yếu tố mơi trường đã cĩ tác động tích cực đến các nhĩm trong việc xác định vị trí giả định của điểm cân bằng. Nghĩa là chỉ ước chừng được vị trí và chưa tính chính xác được khoảng cách đến các điểm cố định.
Đã cĩ 5 nhĩm (các nhĩm N1, N3, N4, N5 và N6) xác định được vị trí giả định của điểm cân bằng căn cứ vàomơi trường, dựng được mơ hình hình học cho bài tập 2.1.
Nhĩm
Bài tập 2.1 Bài tập 2.2 Hai
hình tương thích Đẳng thức vectơ BT2.1 Chiến
lược Kết quả Hình vẽ Chiến lược quảKết Hình vẽ
N1 𝐒𝐒𝐡𝐡ợ𝐩𝐩𝐩𝐩ự𝐜𝐜𝟐𝟐 𝐒𝐒𝐯𝐯𝐯𝐯𝐜𝐜𝐯𝐯ơ𝟐𝟐 N2 𝐒𝐒𝐡𝐡ợ𝐩𝐩𝐩𝐩ự𝐜𝐜𝟐𝟐 𝐒𝐒𝐯𝐯𝐯𝐯𝐜𝐜𝐯𝐯ơ𝟐𝟐 N3 𝐒𝐒𝐡𝐡ợ𝐩𝐩𝐩𝐩ự𝐜𝐜𝟐𝟐 Khác 1 N4 𝐒𝐒𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐯𝐯𝐦𝐦𝟐𝟐 𝐒𝐒𝐯𝐯𝐯𝐯𝐜𝐜𝐯𝐯ơ𝟐𝟐 N5 𝐒𝐒𝐡𝐡ợ𝐩𝐩𝐩𝐩ự𝐜𝐜𝟐𝟐 Khác 2 N6 𝐒𝐒𝐡𝐡ợ𝐩𝐩𝐩𝐩ự𝐜𝐜𝟐𝟐 𝐒𝐒𝐯𝐯𝐯𝐯𝐜𝐜𝐯𝐯ơ𝟏𝟏
Bảng 2. Thống kê kết quả bài làm của các nhĩm sau thực nghiệm 2.
Kết quả làm việc trên phiếu số 3 – bài tập 2.1
Trong bài tập này, khĩ khăn mà học sinh gặp phải là: việc dựng hình biểu diễn vị trí của cácđiểm, xác định vị trícủa điểm cần treo quả cầu 10N.
Bốn nhĩm N1, N2, N5 và N6 căn cứ vào mơi trường vật chất được trang bị để dựng hình và xây dựng lời giải theo chiến lược 𝐒𝐒𝐡𝐡ợ𝐩𝐩𝐩𝐩ự𝐜𝐜𝟐𝟐 . Trong đĩ, ba nhĩm N1, N3 và N6 đạt được các kết quả mong đợi về khoảng cách của điểm cần tìm so với hai điểm cho trước và dựng thành cơng hình minh họa kết quả. Nhĩm N5 dựng được hình vẽ nhưng lập sai tỉ số biểu diễn mối liên hệ giữa các khoảng cách và độ lớn các lực.
Các em quan sát và rút ra được: Khi thanh ở trạng thái cân bằng thì hợp của hai trọng lực tạo nên bởi vật nặng 20N và quả cầu 10N sẽ là lực song song cùng chiều 𝐹𝐹���⃗′
cĩ cường độ 30N, cùng điểm đặt nhưng ngược chiều với lực nâng thanh địn. Từ đĩ, vị trí điểm cần tìm được tính chính xác bằng quy tắc hợp lực song song cùng chiều. Sau đây là bài làm của nhĩm 3.
Các em lập luận:
“Gọi A là điểm mà kinh khí cầu nâng thanh địn (𝐹𝐹���⃗1). B là điểm đặt của vật cĩ trọng
lực (𝐹𝐹���⃗2) 20N. C là điểm đặt cĩ trọng lực (𝐹𝐹���⃗3) 10N.
Để thanh địn 1m cân bằng thì phải cĩ một hợp lực giữa 𝐹𝐹2 và 𝐹𝐹3 bằng và khác hướng với 𝐹𝐹1 đặt tại A. Ta cĩ: 𝐹𝐹2
Hình 10. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N3.
Nhĩm N4 thành cơng với chiến lược 𝐒𝐒𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐯𝐯𝐦𝐦𝟐𝟐.𝟏𝟏 . Nhĩm N2 xây dựng lời giải chưa thành cơng và hình vẽ chưa chính xác.
Hình 11. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N4 (bên trái) và N2 (bên phải).
Kết quả làm việc trên phiếu số 3 – bài tập 2.2
Các nhĩm N1, N2 và N4 sử dụng chiến lược 𝐒𝐒𝐯𝐯𝐯𝐯𝐜𝐜𝐯𝐯ơ𝟐𝟐 . Nhĩm N6 sử dụng chiến lược 𝐒𝐒𝐯𝐯𝐯𝐯𝐜𝐜𝐯𝐯ơ𝟏𝟏 . Các nhĩm này đều giải thành cơng bài tập này.
Sự tiến triển được ghi nhận từ nhĩm N6, ở bài tập 1.1, các em giải bằng cách lập tỉ số giữa hai vectơ nhưng trong bài tập 2.2 các em đã khắc phục đượcvà sử dụng chiến lược 𝐒𝐒𝐯𝐯𝐯𝐯𝐜𝐜𝐯𝐯ơ𝟏𝟏 để xây dựng thành cơng lời giải.
Nhĩm N3 sử dụng chiến lược Khác 1 và mang lại kết quả mong đợi. Ở đây học sinh giải bài tập 2.2 bằng kỹ thuật τ3.3.2 (được chúng tơi chỉ ra khi phân tích kiểu nhiệm vụ T3 trong mục 3.2.2) rồi dựng thành cơng hình minh họa.
Hình 12. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 theo chiến lược Khác của N3.
Đối với nhĩm N5, trong phần chiến lược, chúng tơi viết Khác 2. Các em mắc sai lầm khi tìm vị trí điểm 𝑀𝑀 bằng cách lập tỉ sốhai vectơ (cuối thực nghiệm 1, chúng tơi đã nhấn mạnh là khơng tồn tại phép chia hai vectơ), nhưng xác định đúng được vị trí điểm 𝑀𝑀và dựng được hình.
Hình 13. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 của N5.
Sự tương thích về vị trí các điểm cần tìm trong hai hình vẽ
Hai hình minh họa cho vị trí các điểm cần tìm của hai bài tập được nhĩm N1 và N4 dựng tương thích nhau. Nhĩm N2 dựng sai hình trong bài tập 2.1. Các nhĩm cịn lại các hình chưa tương thích.
Minh họa về hai hình khơng tương thích của nhĩm N6 và hai hình tương thích của nhĩm N1 được chúng tơi trình bày ở trang kế tiếp.
Hình 14. Bài làm trên phiếu 3 của N6 (hai hình khơng tương thích).
Hình 15. Bài làm trên phiếu 3 của N1 (hai hình tương thích).
Trước khi xây dựng ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀, chúng tơi thể chế quy tắc hợp hai lực song song ngược chiều.
Quá trình xây dựng nghĩa vật lí của điểm 𝑴𝑴trong bài tập 2.2
Để xây dựng ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀, chúng tơi mời một học sinh lên bảng dựng lại hai hình vẽ minh họa cho các kết quả. Trong bài tập 2.1, học sinh kí hiệu 𝐴𝐴,𝑂𝑂,𝐵𝐵lần
lượt là điểm treo vật nặng, treo thanh địn và điểm cần treo khối cầu. Vị trí của điểm cần tìm trong hai bài tập là khơng tương thích. (Bên dưới là mơ tả lại các đoạn thẳng đã được dựng.)
Trên mơ hình đã dựng, đại diện của nhĩm 4 (một trong hai nhĩm cĩ các hình vẽ
tương thích) đưa ra nhận định:
106. GV: Từ bài làm và hình vẽ của các em, vai trị của điểm 𝐵𝐵 trong BT2.1 và vai trị của điểm 𝑀𝑀 trong BT2.2 là như thế nào với nhau. Mời Lâm.
107. Lâm: Dạ chúng cĩ vai trị như nhau.
(Nhiều học sinh tỏ ra hồi nghi về câu trả lời này.) 108. GV: Cảm ơn Lâm. Thầy mời Vũ.
(Vũ chưa tìm thấy câu trả lời.)
Theo ghi nhận của chúng tơi, nhiều học sinh thực hiện quan sát mơ hình trên bảng và chưa nhận ra sự tương đồng của hai điểm cần tìm. Chúng tơi dành cho các em thời gian trao đổi trong nội bộ nhĩm. Trong trao đổi, chúng tơi ghi nhận được: hai nhĩm N1 và N5, cho rằng “bài tập 2.2 y như bài tập 2.1”. Chúng tơi mời Mai đại diện của nhĩm N5 phát biểu:
109. Mai: Thưa thầy. lấy bài tập 2.1 cho biểu thức vectơ bài tập 2.2. 110. GV: Lấy bài tập 2.1 cho biểu thức vectơ của bài tập 2.2? 111. Mai: Dạ. Với điểm 𝑀𝑀 là điểm 𝐵𝐵trong bài tập 2.1.
Học sinh Mai phát hiện được: Điểm 𝑀𝑀trong đẳng thức 30𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗ −20𝑀𝑀𝐵𝐵������⃗ = 0�⃗ chính là điểm cân bằng, điểm hợp lực 𝐵𝐵 trong bài tập 2.1. Như vậy, ý nghĩa vật lí của điểm
𝑀𝑀 đã được học sinh phát hiện. Tuy nhiên, chúng tơi quan sát thấynhiều học sinhchưa thực sự nhận ra điều này. Chúng tơi mời ý kiến của Phương thuộc nhĩm N1 (em cũng đưa ra nhận định “bài tập 2.2 y như bài tập 2.1” trong thảo luận nội bộ nhĩm) nhưng em đã phủ nhận lại nhận định đã nêu:
Các phát biểu của Lâm và Mai khơng được chúng tơi thơng báo cơng khai là hợp thức để tránh tình trạng nhiều học sinh phải tiếp nhận kiến thức một cách thụ động, miễn cưỡng. Chúng tơi cho rằng, chính sự khơng tương thích về vị trí và kí hiệu của các điểm trên yếu tố mơi trường tạo nên những trở ngại đối với học sinh trong tiến trình phát hiện sự kết nối giữa hai bài tập. Do đĩ, các hình vẽđược chúng tơi dựng lại tương thích nhau. Trong bài tập 2.1, 𝐵𝐵,𝐴𝐴 là các vị trí được tác động bởi các lực ngược chiều cĩ độ lớn lần lượt là 20 và 30𝑁𝑁, 𝑂𝑂 là điểm cần tìm. (Bên dưới là mơ tả lại các đoạn thẳng đã được dựng.)
Với mơ hình mới, các nhĩm đều thấy rõ sự giống nhau về vị trí của hai điểm cần tìm 𝑂𝑂 và 𝑀𝑀 so với các điểm cốđịnh. Nhận định: Cĩ thể tìm vị trí điểm 𝑂𝑂 trong bài tập 2.1 bằng biểu thức vectơ được đưa ra bởi đại diện của nhĩm N1.
126. GV: Như vậy để xác định vị trí điểm hợp lực của hai lực song song ngược chiều, ngồi quy tắc hợp lực hai lực song song ngược chiều, cịn cĩ cách khác hay khơng? 127. Luân: Dạ thưa thầy, dùng momen lực.
128. GV: Cảm ơn em. Đúng rồi. Ta cĩ thể dùng quy tắc momen lực. Vậy cịn cách khác để xác định vị trí điểm hợp lực hay khơng?
129. Phương: Thưa thầy, lập biểu thức vectơ.
Chúng tơi ghi nhận phát biểu của học sinh. Tương tự thực nghiệm 1, các nhĩm được ủy thác nhiệm vụ xây dựng đẳng thức vectơ chứng minh cho nhận định đã nêu.
Những điều quan sát được từ quá trình xây dựng các đẳng thức vectơ biểu diễn vị trí điểm cân bằng ở bài tập 2.1 của học sinh:
- Đầu tiên, các nhĩm vận dụng quy tắc hợp hai lực ngược chiều đã được thể chế tường minh để lập các tỉ số vơ hướng.
- Tiếp đến, các em sử dụng kiến thức tích của vectơ với một số, quan sát hình vẽtrên bảng để chuyển đẳngthức vơ hướng về đẳng thức vectơ.
Kết quả: Cả 6 nhĩm đều xây dựng thành cơng các đẳng thức vectơ xác định vị trí điểm cân bằng trong bài tập 2.1.
Hình 16. Đẳng thức vectơ do N2 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT2.1.
Căn cứ vào mơi trường và đẳng thức 30𝑂𝑂𝐴𝐴�����⃗ −20𝑂𝑂𝐵𝐵�����⃗= 0�⃗vừa xây dựng kết hợp với đẳng thức 30𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗ −20𝑀𝑀𝐵𝐵������⃗= 0�⃗, học sinh nêu được tên gọi trong ngữ cảnh Vật lí của điểm 𝑀𝑀. Điểm 𝑀𝑀được các emgọi là “điểm cân bằng”, “điểm hợp lực của hai lực song song ngược chiều”. Các hệ số trong đẳng thức30𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗ −20𝑀𝑀𝐵𝐵������⃗= 0�⃗được hiểu: “30 là độ lớn của lực đặt tại điểm 𝐴𝐴, 20 là độ lớn của lực đặt tại 𝐵𝐵 và dấu trừ cĩ nghĩa là hai lực này song song ngược chiều”.
133. GV: Các em cĩ kết quả 30𝑂𝑂𝐴𝐴�����⃗ −20𝑂𝑂𝐵𝐵�����⃗ = 0�⃗, 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 đều là hai điểm cố định. Trong BT 2.2 điểm 𝑀𝑀 thỏa mãn đẳng thức vectơ 30𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗ −20𝑀𝑀𝐵𝐵������⃗= 0�⃗. Cịn trong BT 2.1 vị trí điểm cân bằng 𝑂𝑂 là 30𝑂𝑂𝐴𝐴�����⃗ −20𝑂𝑂𝐵𝐵�����⃗= 0�⃗. Như vậy, các em hãy cho thầy biết: Điểm 𝑀𝑀 trong BT 2.2 cĩ thể được gọi là điểm gì trong Vật lí?
134. HSHS: Thưa thầy, điểm cân bằng, điểm hợp lực.
136. Tiến: Dạ thầy, 30 là độ lớn của lực đặt tại điểm 𝐴𝐴, 20 là độ lớn của lực đặt tại 𝐵𝐵
và dấu trừ cĩ nghĩa là hai lực này song song ngược chiều.
Chúng tơi cĩ lưu ý trường hợp tổng các hệ số bằng khơng. Học sinh phát hiện được trong trường hợp này sẽkhơng tìm được vị trí của điểm 𝑀𝑀. Tiếp đến, chúng tơi thể chế hĩa kiến thức mục tiêu đã đề ra đối vớithực nghiệm 2.
139. GV: Cảm ơn em. Đúng rồi. Thầy cĩ câu hỏi phụ như sau. Tìm điểm 𝑀𝑀 sao cho
𝑀𝑀𝐴𝐴
143. Hiếu: Thưa thầy 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 trùng nhau.
145. Tiến: Thưa thầy trùng nhau bởi vì 𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗ − 𝑀𝑀𝐵𝐵������⃗ = 0�⃗ ⟺ 𝐵𝐵𝐴𝐴�����⃗= 0�⃗ vậy 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 trùng nhau.
146. GV: Cảm ơn Tiến. Như vậy 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 trùng nhau. Vậy khi 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 là hai điểm phân biệt thì cĩ tìm được điểm 𝑀𝑀thỏa mãn 𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗ − 𝑀𝑀𝐵𝐵������⃗ = 0�⃗ hay khơng?
147. HSHS: Dạ khơng.
148. GV: Như vậy khơng tìm được điểm 𝑀𝑀. Trong các bài tập các em đã làm trong Tốn và Vật lí, các em thấy, bài đầu tiên-1.2: các hệ số là cùng dấu và khác khơng. Bài thứ hai-2.2 các hệ số là 30 và -20 thì tổng hai hệ số này cũng khác khơng. Những điểm 𝑀𝑀 thỏa mãn các đẳng thức vectơ như vậy được gọi là điểm hợp lực hoặc điểm cân bằng hay là trọng tâm trong Vật lí. Với điều kiện ràng buộc là tổng các hệ số đứng trước các vectơ phải khác khơng.
Trước khi kết thúc buổi thực nghiệm, chúng tơi thể chế ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀
trong đẳng thức tổng quát 𝑘𝑘1𝑀𝑀𝐴𝐴��������⃗1+⋯+𝑘𝑘𝑛𝑛���������⃗𝑀𝑀𝐴𝐴𝑛𝑛 = 0�⃗ và tên gọi của điểm 𝑀𝑀 trong ngữ cảnh Hình học.
150.GV:[...]. Chúng ta cĩ thể tổng quát cho hệ 𝑛𝑛 điểm 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2, … ,𝐴𝐴𝑛𝑛, và các số thực
𝑘𝑘1,𝑘𝑘2, … ,𝑘𝑘𝑛𝑛.
Một điểm 𝑀𝑀 thỏa mãn đẳng thức 𝑘𝑘1𝑀𝑀𝐴𝐴��������⃗1+⋯+𝑘𝑘𝑛𝑛���������⃗𝑀𝑀𝐴𝐴𝑛𝑛 = 0�⃗với 𝑘𝑘1+⋯+𝑘𝑘𝑛𝑛 ≠0 thì điểm 𝑀𝑀vẫn được gọi là tâm của hợp lực, điểm cân bằng hoặc trọng tâm trong Vật lí. Như vậy, để tìm tâm hợp lực của các lực song song thì ta cĩ thể thiết lập các đẳng thức vectơ. Nếu các số 𝑘𝑘𝑖𝑖 trái dấu nhau thì khi đĩ 𝑀𝑀 là tâm hợp lực của các lực trái chiều. Nếu các số 𝑘𝑘𝑖𝑖 cùng dấu nhau thì khi đĩ 𝑀𝑀 là tâm hợp lực của các lực cùng chiều.
Trong Tốn học điểm 𝑀𝑀gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2, … ,𝐴𝐴𝑛𝑛 với họ các trọng số tương ứng 𝑘𝑘1,𝑘𝑘2, … ,𝑘𝑘𝑛𝑛. Nếu các hệ số bằng nhau thì ta gọi 𝑀𝑀 là trọng tâm của hệ điểm. Hai trường hợp đặc biệt mà các em đã biết là trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.
Kết luận Chương 3
Tiểu đồ án dạy bước đầu ghi nhận được một số kết quả.
• Học sinh phát hiện được điểm 𝑀𝑀 trong đẳng thức ∑ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗𝑖𝑖 = 0�⃗
𝑖𝑖=1 (∑ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑖𝑖 ≠
𝑖𝑖=1
0) chính là điểm cân bằng, điểm hợp lực hoặc trọng tâm và hiểu được ý nghĩa của các hệ số 𝑚𝑚𝑖𝑖.
• Học sinh biết được trong trường hợp tổng các hệ số là khơng thì hệ điểm đã cho khơng tồn tại “tâm tỉ cự” hoặc khơng tồn tại điểm hợp lực, điểm cân bằng.
• Học sinh phát hiện và chứng minh được nhận định Ngồi áp dụng quy tắc hợp lực song song cùng chiều, quy tắc momen lực, quy tắc hợp hai lực song song trái chiều thì vị trí điểm hợp lực, điểm cân bằng, trọng tâm cĩ thể được xác định bằng cách xây dựng một đẳng thức vectơ biểu diễn mối liên hệ giữa vị trí của điểm hợp lực với các điểm đã cho và độ lớn các lực thành phần đặt tại những điểm đĩ.
Ba yếu tố cần tính đến trong câu hỏi nghiên cứu CH3. Để xây dựng đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀 trong đẳng thức vectơ ∑ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑀𝑀𝐴𝐴������⃗𝑖𝑖 = 0�⃗
𝑖𝑖=1 , với
∑ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑖𝑖 ≠0
𝑖𝑖=1 cần tính đến những yếu tố nào? được chúng tơi rút ra:
• Một là, các tình huống thực nghiệm nên thuộc hai bộ mơn Vật lí và Hình học. Các giá trị được lựa chọn của biến V1 nên bao gồm V1a - Các hệ số cùng dấu và V1b - Các hệ số trái dấu. Hơn nữa, ở từng thực nghiệm, bộ trọng số được chọn trong các tình huốngphải tương ứng bằng nhau hoặc tỉ lệ.
• Hai là,một mơi trường vật chất nên được trang bị cho bài tập tìm điểm hợp lực của hai lực song song ngược chiều nếu đối tượng học sinh tham gia thực nghiệm theo học chương trình chuẩn.
• Ba là, hai hình vẽ biểu diễn chođiểm cần tìm trong bài tập thuộc ngữ cảnh Vật lí và điểm cần tìm trong bài tập Hình học nên tương thíchvì điều này tạo ra nhiều thuận lợi cho học sinh trong quan sát, phát hiện sự kết nối giữa hai ngữ cảnh Vật lí và Hình học vectơ.
KẾT LUẬN
Quá trình tìm hiểu lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự trong Tốn học giúp chúng tơi biết được:
• Các giai đoạn phát triển của khái niệm, những bài tốn làm cho khái niệm nảy sinh và được tổng quát hĩa.
• Một số ứng dụng mà khái niệm này mang lại trong các lĩnh vực Tốn học, Vật lí, Tin học, các hiệu ứng chuyển động của hình ảnh.
Quá trình nghiên cứu khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm và khái niệm tâm của hệ lực