6 Biểu diễn quan hệ bằng ma trận

Cho R là một quan hệ từ tập A = {a1, a2, ... am} đến tập B = {b1, b2, ..., bn}. Khi đó quan hệ R có thể được biểu diễn bằng ma trận MR = (mij), với i = 1,…, m, j = 1,…, n

mij = {1 khi (ai, bj) ∈ 𝑹 0 khi (ai, bj) ∉ 𝑹

Một biểu diễn như vậy rõ ràng phụ thuộc vào thứ tự của các phần tử đang xét trên các tập A và B. Khi A và B trùng nhau, chúng ta sử dụng cùng một thứ tự trên A.

Hệ quả

a) Quan hệ R trên tập A là phản xạ nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận biểu diễn MR đều bằng 1.

b) Quan hệ R là đối xứng nếu nếu và chỉ nếu MR là ma trận đối xứng.

c) Quan hệ R là phản đối xứng nếu và chỉ nếu khi i  j thì hoặc mij = 0 hoặc mji = 0.

Định nghĩa 4.10

Cho A = (aij) và B = (bij) là các ma trận 0–1 cùng cấp m  n.

1. Phép kết Boole của A và B, tạo thành ma trận 0–1 cấp m  n (cij), ký hiệu AB, với cij = aijbij. Ma trận AB cũng được gọi là ma trận kết Boole của A và B (ma trận hợp hay ma trận tổng (Boole)).

2. Phép tụ Boole của A và B, tạo thành ma trận 0–1 cấp m  n (cij), ký hiệu AB, với cij = aijbij. Ma trận AB cũng được gọi là ma trận tụ Boole của A và B (ma trận giao Boole).

Định nghĩa 4.11

Cho 2 ma trận 0–1 là A = (aij) có cấp mk và B = (bij) có cấp kn. Tích Boole của A và B, ký hiệu là A⊙B, là ma trận Cmn = (cij) có cấp mn với

cij = (ai1b1j)(ai2b2j)…(aikbkj)

Định nghĩa 4.12

Cho A là ma trận vuông 0–1 có cấp n, lũy thừa Boole bậc p của A được ký hiệu là A[p] được định nghĩa

1. A[0] = In

2. A[p] = A⊙A⊙…⊙A (p lần, với p nguyên dương)

Chú ý: Ta dùng A[p] để phân biệt với phép tính lũy thừa ma trận thông thường Ap.

Định lý 4.2

a) Cho R1 và R2 là các quan hệ trên tập A, có ma trận biểu diễn tương ứng là M1 và M2. Ma trận biểu diễn quan hệ hợp và quan hệ giao của hai quan hệ đó là:

MR1∪R2 = 𝑀1∨ 𝑀2 và MR1∩R2 = 𝑀1∧ 𝑀2

b) Cho R là quan hệ từ tập A đến B và S là quan hệ từ tập B đến C, tập A, B và C tương ứng có m, n và p phần tử. Gọi ma trận biểu diễn các quan hệ R, S và S◦R tương ứng là MR = (rik), MS = (skj) và MSoR = (tij) với có kích thước lần lượt là mn, np và mp thì MS∘R = MR⊙ MS, khi đó

tij = (ri1∧ s1j) ∨ … ∨ (rin∧ snj)

c) Với R là quan hệ trên tập A thì ma trận biểu diễn 𝑹𝒏 là MRn = MR[n]