Hiệu quả của một mạch tổ hợp tùy thuộc vào số cổng và sự sắp xếp các cổng. Quy trình thiết kế mạch xuất phát từ bảng giá trị đầu ra cho mỗi tổ hợp các giá trị biến đầu vào, từ bảng giá trị ta luôn tìm được khai triển tổng các từ tối tiểu cho mạch tổ hợp này. Tuy nhiên khai triển này luôn cung cấp nhiều cổng hơn nhu cầu, Có mạch tổ hợp có bốn cổng (một cổng NOT, hai cổng AND với một cổng OR) và dạng thu gọn chỉ sử dùng duy nhất một cổng AND như F(x, y, z) = xyz + xy̅z = xz(y + y̅) = xz
Ta sẽ trinh bày hai phương pháp thu gọn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc. Mục tiêu của các phương pháp này là tìm ra biểu diễn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc thành tổng các phần tử chứa số từ đơn ít nhất, quy trình này được gọi là cực tiểu hóa hàm Boole. Quy trình cực tiểu hóa hàm Boole giúp xây dựng mạch tổ hợp sử dụng ít nhất các cổng và ít nhất số biến đầu vào, điều này giúp tiết giảm chi phí xây dựng mạch.
1. 6. a. Phương pháp Karnaugh
Karnaugh đưa ra phương pháp đồ họa trực quan dùng các biểu đồ tìm các từ có thể kết hợp tạo ra từ chứa ít biến Boole đơn giản hơn. Các biểu đồ này thường được gọi là biểu đồ Karnaugh hay biểu đồ K. Phương pháp Karnaugh là phương pháp đồ họa trực quan nên không thích hợp cho việc xây dựng chương trình máy tính.
Định nghĩa 7.12
1. Biểu đồ Karnaugh dùng một bảng có 2n ô để biểu diễn 2n từ tối tiểu tương ứng. Mỗi ô thường được gọi là một tế bào. Khi biểu diễn hàm Boole tương ứng, nếu từ tối tiểu xuất hiện trong triển khai dạng phân ly chuẩn tắc của hàm thì ô tương ứng ghi giá trị 1.
2. Biểu đồ Karnaugh có số dòng và cột đươc tổ chức tùy theo số biến n. Ví dụ với n=2, biểu đồ Karnaugh có 2 dòng và 2 cột; với n = 3, biểu đồ Karnaugh có 2 dòng và 4 cột và với n = 4, biểu đồ Karnaugh có 4 dòng và 4 cột.
3. Hai tế bào được gọi là liền kề nếu hai từ tối tiểu biểu diễn tương ứng chỉ khác duy nhất một từ đơn. Ví dụ xy và 𝐱̅𝐲 là hai tế bào liền kề trong biểu đồ K hai biến.
Để tìm ra các ô có thể kết hợp thành từ ít biến Boole đơn giản hơn, ta cần chú ý đến các
khối lớn nhất chứa 2k ô liền kề. Các dòng biên hay các cột biên có những ô liền kề
theo kiểu cuốn tròn theo dòng hay theo cột thành hình trụ tròn xoay tương ứng như trong hàm Boole ba biến. Ta cũng có thể nhìn ra các ô liền kề bằng cách thêm vào một cột và sau đó một dòng biên như trong hàm Boole ba biến để có bảng mở rộng gồm 5 cột với 5 dòng.
Nhận xét rằng:
1. Hai ô liền kề cho phép kết hợp hai từ tối tiểu thành từ ít hơn một từ đơn. 2. Bốn ô liền kề cho phép kết hợp bốn từ tối tiểu thành từ ít hơn hai từ đơn. 3. Tám ô liền kề cho phép kết hợp tám từ tối tiểu thành từ ít hơn ba từ đơn. 4. Mười sáu ô liền kề cho phép kết hợp thành hàm hằng 1.
Khi số biến lớn hơn ta rất khó dùng biểu đồ K, bảng K có rất nhiều ô và người dùng rất khó biểu diễn. Việc vẽ và chọn ô liền kề sẽ không còn tính trực quan dễ dàng và mất nhiều thời gian cùng công sức. Một phương pháp khác giúp chúng ta làm việc một cách tổng quát hơn và có thể chuyển phương pháp này thành dạng bài toán được lập trình để chạy trên máy tính, đó là phương pháp Quine–McClusKey.
1. 6. b. Phương pháp Quine–McCluskey
Phương pháp Quine–McClusKey chia ra hai giai đoạn, giai đoạn đầu tìm các từ có thể là ứng viên cho việc rút gọn và giai đoạn sau xác định chính xác các từ được rút gọn. Ta sẽ biểu diễn các từ tối tiểu bằng chuỗi bit (chiều dài bằng số biến), giá trị từ đơn liên kết biến Boole b được ấn định theo quy ước:
Từ đơn Giá trị
b 1
b̅ 0
Xây dựng bảng giá trị chuỗi bit tương ứng các từ tối tiểu, xếp thứ tự số bit 1 giảm dần. Từng bước kết hợp tìm ra dạng tối tiểu
Thuật toán Quine–McClusKey
Đầu vào: khai triển dạng phân ly chuẩn tắc của hàm Boole. Đầu ra: dạng thu gọn đơn giản của hàm Boole.
1. Biểu diễn các từ tối tiểu chứa n từ đơn thành dãy n bit tương ứng với giá trị 1 cho b và 0 cho b̅.
2. Nhóm các dãy bit theo thứ tự giảm dần của số bit 1 trong các dãy bit.
3. Xác định các cặp từ giống nhau đúng (n−1) bit để có tổng rút gọn còn n−1 từ đơn, tính các tổng này để ghi lại kết quả đồng thời dùng dấu − đánh dấu vị trí biến được thu gọn.
4. Từ các kết quả có được ở bước 3, xác định các cặp từ giống nhau đúng (n−2) bit để có tổng rút gọn còn n−2 từ đơn, tính các tổng này để ghi lại kết quả đồng thời dùng dấu − đánh dấu chỗ biến được thu gọn.
5. Tiếp tục so sánh và thu gọn các tích Boole thành các từ đơn giản có ít biến Boole hơn một cách tương tự.
6. Tìm ra tất cả các từ xuất hiện mà không thể dùng cho việc rút gọn thành từ ít biến Boole hơn nữa.
7. Tìm tập nhỏ nhất chứa các từ không còn khả năng rút gọn, tổng các từ này tạo thành biểu thức biểu diễn hàm Boole. Đây là bước khó xác định nhất, phải đảm bảo bất kỳ từ tối tiểu trong biểu diễn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc được phủ bởi ít nhất một từ của tập nhỏ nhất các từ này.
2. Ví dụ
Ví dụ 7.1
Tìm giá trị của 1 ∙ 0 + (0 + 1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Giải:
Ta có 1 ∙ 0 + (0 + 1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0 + (1)̅̅̅̅ = 0 + 0 = 0
Nếu xem 0 như giá trị F (FALSE) và 1 như T (TRUE) thì ba phép toán Boole như ba phép toán luận lý tương ứng: ¬ (phủ định – đảo − bù), ᴠ (tuyển − hay) và ᴧ (hội − và) Trở lại với ví dụ nêu trên 1 ∙ 0 + (0 + 1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = TᴧFᴠ¬(TᴠF) = FᴠF = F
Trong một số trường hợp khi không sợ bị nhầm lẫn, ta có thể bỏ dấu ∙ của phép nhân.
Ví dụ 7.2
Xét hàm Boole F: B2 → B với 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝒙̅𝒚.
Giải:
Lập bảng giá trị ta dễ thấy kết quả.
Ta có: F(0, 0) = 0; F(0, 1) = 1; F(1, 0) = 0, F(1, 1) = 0. x 𝐱̅ y F(x,y) 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 Ví dụ 7.3
Cho 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚 + 𝒛̅. Hãy xây dựng bảng giá trị hàm F. Giải:
x y z xy 𝐳̅ 𝐱𝐲 + 𝐳̅
0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Ví dụ 7.4
Cho 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚 + 𝒛̅. Hãy dùng hình lập phương biểu diễn giá trị hàm F. Giải:
F(x, y, z) = 1 khi (x, y, z) nhận giá trị (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0) và (1,1,1). Tô đậm 5 đỉnh có giá trị 1 như hình vẽ.
Ví dụ 7.5 Với n = 2, số hàm Boole cấp 2 là 222 = 16 Giải 2 biến 16 Hàm Boole cấp 2 x y F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 Ví dụ 7.6
Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole 3 biến F và G với giá trị cho trong bảng kế bên.
Giải:
1) F = 1 (x, y, z) = (1, 0, 1) nên dễ thấy 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲̅𝐳. 2) G = 1 (x, y, z) có giá trị (1, 1, 0) hay (0, 1, 0) nên dễ thấy
𝐆(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲𝐳̅ + 𝐱̅𝐲𝐳̅ x y z F G 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Ví dụ 7.7
Giải:
Dễ thấy từ đơn liên kết y1 = x̅̅̅̅; y1 2 = x2; y3 = x̅̅̅̅; y3 4 = x4; y5 = x5 và do đó kết quả là x̅̅̅̅x1 2 x̅̅̅̅x3 4x5
Ví dụ 7.8
Tìm dạng phân ly chuẩn tắc của hàm 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)𝑧̅. Giải:
PP1: F(x, y, z) = (x + y)z̅ = xz̅ + yz̅
= x(y + y̅)z̅ + (x + x̅)yz̅ = xyz̅ + xy̅z̅ + xyz̅ + x̅yz̅ = xyz̅ + xy̅z̅ + x̅yz̅
PP2: Lập bảng giá trị hàm F, xác định các từ tối tiểu, lấy tổng ra hàm F.
x y z x+y 𝐳̅ (𝐱 + 𝐲)𝐳̅ F 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 𝐱𝐲𝐳̅ 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 𝐱𝐲̅𝐳̅ 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 𝐱̅𝐲𝐳̅ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 F(x, y, z) = xyz̅ + xy̅z̅ + x̅yz̅
Ví dụ 7.9
Một bóng đèn tại cầu thang cần điều khiển bởi hai công tắc điện. Hãy thiết kế mạch cho công tắc này.
Giải
Gọi x là biến Boole diễn tả trạng thái công tắc thứ nhất (1: đóng; 0: mở) Gọi y là biến Boole diễn tả trạng thái công tắc thứ hai (1: đóng; 0: mở)
Gọi F là hàm Boole theo hai biến x và y, hàm F diễn tả trạng thái bóng đèn theo hai công tắc (1: đèn sáng; 0: đèn tắt)
Bảng giá trị x y F 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Ví dụ 7.10
Tìm dạng tối tiểu của hàm Boole 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲𝐳 + 𝐱𝐲̅𝐳
Giải
Ta có F(x, y, z) = xyz + xy̅z = xz(y + y̅) = xz Dạng thu gọn chỉ sử dùng duy nhất một cổng AND.
Dạng thu gọn duy nhất một cổng
Dạng gốc có 4 cổng
Dạng gốc 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲𝐳 + 𝐱𝐲̅𝐳 có bốn cổng
Ví dụ 7.11
Cho hàm 𝐅𝟏(𝐱, 𝐲) = 𝐱𝐲 + 𝐱𝐲̅ và𝐅𝟐(𝐱, 𝐲) = 𝐱̅𝐲 + 𝐱𝐲̅ + 𝐱̅𝐲̅. Tìmbiểu đồ K hai biến biểu diễn hàm tương ứng. Giải F1 y 𝐲̅ F2 y 𝐲̅ x 1 1 x 1 𝐱̅ 𝐱̅ 1 1 Do đó 𝐅𝟏(𝐱, 𝐲) = 𝐱và 𝐅𝟐(𝐱, 𝐲) = 𝐱̅ + 𝐲̅
Ví dụ 7.12
Tìm biểu đồ K biểu diễn hàm Boole ba biến 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) =𝐱𝐲𝐳̅+ 𝐱𝐲̅𝐳̅+ 𝐱̅𝐲𝐳̅+ 𝐱̅𝐲̅𝐳̅+ 𝐱̅𝐲̅𝐳
Giải
Với 3 biến, ta dùng biểu đồ có 2 dòng 4 cột biểu diễn 23 = 8 ô
yz 𝐲𝐳̅ 𝐲̅𝐳̅ 𝐲̅𝐳 x 1 1 𝐱̅ 1 1 1 𝐱𝐲𝐳̅ + 𝐱𝐲̅𝐳̅ + 𝐱̅𝐲𝐳̅ + 𝐱̅𝐲̅𝐳̅ + 𝐱̅𝐲̅𝐳 = 𝐱̅𝐲̅ + 𝐳̅ Vậy F(x, y, z) = x̅y̅+ z̅ Ví dụ 7.13
Tìm biểu đồ K biểu diễn hàm Boole bốn biến 𝐅(𝐰, 𝐱, 𝐲, 𝐳)
F =wxyz̅+ wxy̅z̅+ wx̅yz + wx̅yz̅+ wx̅y̅z̅+ w̅xyz + w̅xyz̅+ w̅xy̅z̅+ w̅xy̅z + w̅x̅𝑦z̅
+ w̅x̅y̅z̅
Giải
Với 4 biến, ta dùng biểu đồ có 4 dòng 4 cột biểu diễn 24 = 16 ô yz yz̅ y̅z̅ y̅z
wx 1 1 wx̅ 1 1 1 w̅x̅ 1 1 w̅x 1 1 1 1 wx̅y + w̅ x + z̅ Vậy F(w, x, y, z) =wx̅y + w̅x + z̅ Ví dụ 7.14
Dung phương pháp Quine–McClusKey cực tiểu hóa hàm Boole 3 biến F(x, y, z) = xyz̅ + xy̅z̅ + x̅yz̅ + x̅y̅z̅ + x̅y̅z
Giải
Lập bảng chuỗi bit và sắp xếp thứ tự theo số bit 1 giảm dần
STT Từ tối tiểu Chuỗi bit Bước 1 Bước 2
2 xy̅z̅ 100 (1,3) −10 yz̅ (1,3,2,5) −−0 z̅ 3 x̅yz̅ 010 (2,5) −00 y̅z̅
4 x̅y̅z 001 (3,5) 0−0 x̅z̅
5 x̅y̅z̅ 000 (4,5) 00− x̅y̅ (4,5) 00− x̅y̅ F(x, y, z) = x̅y̅+ z̅ (rõ ràng {1,2,3,4,5} có đủ trong các từ của tổng này) Vậy F(x, y, z) = x̅y̅+ z̅
Ví dụ 7.15
Dung phương pháp Quine–McClusKey cực tiểu hóa hàm Boole 4 biến
F =wxyz̅+ wxy̅z̅+ wx̅yz + wx̅yz̅+ wx̅y̅z̅+ w̅xyz + w̅xyz̅+ w̅xy̅z̅+ w̅xy̅z + w̅x̅𝑦z̅
+ w̅x̅y̅z̅
Giải
Lập bảng chuỗi bit và sắp xếp thứ tự theo số bit 1 giảm dần
STT T.T.T C.Bit Bước 1 Bước 2
1 wxyz̅ 1110 (1,4) 1−10 wyz̅ (1,4,5,9) 1—0 wz̅ * 2 w̅ xyz 0111 (1,5) 11−0 wxz̅ (1,4,7,10) −−10 yz̅ ** 3 wx̅yz 1011 (1,7) −110 xyz̅ (1,5,4,9) 1—0 wz̅ * 4 wx̅yz̅ 1010 (2,6) 01−1 w̅ xz (1,5,7,8) −1−0 xz̅ *** 5 wxy̅z̅ 1100 (2,7) 011− w̅ xy (1,7,4,10) −−10 yz̅ ** 6 w̅ xy̅z 0101 (3,4) 101− wx̅y (1,7,5,8) −1−0 xz̅ *** 7 w̅ xyz̅ 0110 (4,9) 10−0 wx̅z̅ (2,6,7,8) 01−− w̅ x **** 8 w̅ xy̅z̅ 0100 (4,10) −010 x̅yz̅ (2,7,6,8) 01−− w̅ x **** 9 wx̅y̅z̅ 1000 (5,8) −100 xy̅z̅ (3,4) 101− wx̅y
10 w̅ x̅yz̅ 0010 (5,9) 1−00 wy̅z̅ (4,9,10,11) −0−0 x̅z̅ # 11 w̅ x̅y̅z̅ 0000 (6,8) 010− w̅ xy̅ (4,10,9,11) −0−0 x̅z̅ # (7,8) 01−0 w̅ xz̅ (5,8,9,11) −−00 y̅z̅ ## (7,10) 0−10 w̅ yz̅ (5,9,8,11) −−00 y̅z̅ ## (8,11) 0−00 w̅ y̅z̅ (7,8,10,11) 0—0 w̅ z̅ ### (9,11) −000 x̅y̅z̅ (7,10,8,11) 0—0 w̅ z̅ ### (10,11) 00−0 w̅ x̅z̅
Bước 2 Bước 3 (1,4,5,9) 1—0 wz̅ (1,4,5,9,7,8,10,11) −−−0 z̅ (1,4,7,10) −−10 yz̅ (2,6,7,8) 01−− w̅ x (1,5,7,8) −1−0 xz̅ (3,4) 101− wx̅y (2,6,7,8) 01−− w̅ x (3,4) 101− wx̅y F(w, x, y, z) =wx̅y + w̅x + z̅ (phủ khắp 11 từ tối tiểu) (4,9,10,11) −0−0 x̅z̅ (5,8,9,11) −−00 y̅z̅ (7,8,10,11) 0—0 w̅ z̅
Nhận xét: qua bước 2, có nhiều từ trùng nhau nên ta có thể lược bớt để dễ thấy hơn và từ rút gọn wx̅y xuất phát từ 3 và 4 không kết hợp với từ nào khác nên ta phải giữ lại để tránh việc thiếu sót, có một số từ trùng nhau sau từng bước thu gọn ta loại bớt được. Kết quả này cho thấy sau bước 3 ta tìm ra hàm Boole rút gọn còn ba từ phủ khắp 11 từ tối tiểu đã cho
𝐅(𝐰, 𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐰𝐱̅𝐲 + 𝐰̅𝐱 + 𝐳̅
3. Bài tập
Bài 7.1
Hãy xây dựng bảng giá trị hàm F a) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 b) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 c) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦𝑧 d) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + (𝑥𝑦𝑧) e) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(𝑦𝑧 + 𝑦 𝑧) f) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 g) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + (𝑥𝑦𝑧) h) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦(𝑥𝑧 + 𝑥 𝑧) Bài 7.2
Hãy dùng hình lập phương biểu diễn giá trị hàm F trong Bài 7.1. Tô đậm những đỉnh mà hàm F có giá trị 1.
Bài 7.3
Bài 7.4
Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole 3 biến F và G với giá trị cho trong bảng kế bên.
x y z F G 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 Bài 7.5
Tìm dạng phân ly chuẩn tắc của hàm 𝐹 a) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 b) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧)𝑦 c) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 d) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 e) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 f) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 g) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 + 𝑥𝑦 h) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦𝑧 i) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑦 j) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑦 Bài 7.6
Tìm đầu ra của mạch logic sau
Hình 7-1 Hình 7-2
Bài 7.7
Hình 7-3
Hình 7-4 Bài 7.8
Tìm biểu đồ K (Karnaugh) biểu diễn hàm Boole F và suy ra dạng tối tiểu của hàm F a) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 b) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 c) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 d) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 e) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 f) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 g) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 h) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 i) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 j) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 k) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 l) 𝐹(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦 𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 m) 𝐹(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦 𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 n) 𝐹(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥 𝑦𝑧 + 𝑤𝑥 𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥 𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 o) 𝐹(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥 𝑦𝑧 Bài 7.9
Dùng phương pháp Quine–McCluskey tìm dạng tối tiểu của hàm F trong Bài 7.8
Bài 7.10
Cho hàm Boole 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑥 𝑦 a) Lập bảng giá trị hàm 𝐹
b) Tìm dạng phân ly chuẩn tắc 𝐺 của hàm 𝐹 c) Tìm dạng tối tiểu hóa của hàm 𝐺. Nhận xét gì?
Tài liệu tham khảo
[1]. Giáo trình Toán rời rạc. Đoàn Thiện Ngân, Huỳnh Văn Dức, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Công Trí, Khoa Tin học quản lý. 2010
[2]. Discrete Mathematics And Its Applications, Seventh Edition, Kenneth H.