Phần này đề cập đến hai bài toán quan trọng của đại số Boole
1. Bài toán thứ nhất: Tìm biểu thức biểu diễn hàm số Boole khi biết tất cả giá trị của hàm số. Lời giải của bài toán thứ nhất tồn tại và nó cho biết mọi hàm số Boole có thể biểu diễn qua ba phép toán cơ bản cộng, nhân và lấy phần bù.
2. Bài toán thứ hai là với hàm Boole cho trước, liệu ta có thể tìm được tập phép toán nhỏ nhất để biểu diễn hàm Boole không? Bài toán này có thể giải với việc sử dụng duy nhất một phép toán hàm Boole.
Định nghĩa 7.7
a) Từ đơn y liên kết một biến Boole x chính là x hay phần bù x̅.
b) Một từ tối tiểu theo n biến Boole x1, x2, …, xn là tích Boole dạng y1y2…yn với
yk là một từ đơn liên kết biến xk, k=1,…,n,
c) Biểu diễn hàm Boole bằng tổng các từ tối tiểu được gọi là khai triển tổng các tích hay dạng phân lychuẩn tắc (dạng nối rời chuẩn tắc – dạng tuyển chuẩn tắc)
Định nghĩa 7.8
Bộ ba phép toán Boole {+,∙, ̅} đủ để biểu diễn một hàm Boole bất kỳ. Bộ ba {+,∙, ̅} được nói là có tính đầy đủ hàm.
Mệnh đề 7.2
a) Bộ hai phép toán Boole nhân và lấy phần bù {∙, ̅} hay bộ hai phép toán Boole cộng nhân và lấy phần bù {+, ̅} có tinh đầy đủ hàm,
b) Bộ hai phép toán Boole cộng và nhân {+,∙} là không đầy đủ hàm.
c) Phép toán hai ngôi NAND (ký hiệu |): tương đương (∗∙∗)̅̅̅̅̅̅có tinh đầy đủ hàm d) Phép toán hai ngôi NOR (ký hiệu ↓): tương đương (∗ + ∗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅có tinh đầy đủ hàm