Biến ngẫu nhiờn rời rạc X có phõn phối Poisson vói tham số , ký hiệu X ~ P(), nếu X nhận một trong các giá trị có thể có X = 0 , 1 , 2 , . . . với các xác suất tƣơng ứng đƣợc tớnh bằng cụng thức: P{X = k} = k e k! Ngƣời ta đó lập bảng (bảng 1) để tớnh sẵn k i i ! i e k X P 0
với các giá trị
khỏc nhau hoặc dựng máy tớnh bỏ tỳi để tớnh P{X = k} = k e k! hoặc cú thể dựng hàm trong Excel là: P{X = k} = POISSON(k , , 0) P{X ≤ k} = POISSON(k , , 1)
Vớ dụ 4: Một gara cho thuờ ụ tụ thấy rằng số ngƣời đến thuờ ụ tụ vào ngày thứ 7 là một ĐLNN X có phõn phối Poát xụng với tham số = 2. Giả sử ga ra có 4 chiếc ụ tụ. Hóy tỡm xác suất để:
a) Khụng phải tất cả 4 chiếc đều đƣợc thuờ. b) Tất cả 4 ụ tụ đều đƣợc thuờ.
c) Gara khụng đáp ứng đƣợc yờu cầụ
d) Gara cần có ớt nhất bao nhiờu ụ tụ để xác suất khụng đáp ứng đƣợc nhu cầu thuờ xe bộ hơn 2%.
Giải:
a) P{Khụng phải tất cả 4 chiếc đều đƣợc thờu} = P{X ≤ 3} = 0,857
b) P{Tất cả 4 ụ tụ đều đƣợc thuờ} = P{X 4} = 1 –P{X ≤ 3} = 1 – 0,857 = 0,143 c) P{Gara khụng đáp ứng đƣợc yờu cầu} = P{X > 4}
= 1 –P{X ≤ 4} = 1 – 0,947 = 0,053 d) Gọi n là số xe ụ tụ gara cần có. Ta cần tỡm n sao cho:
P{X > n} < 0,2 P{X ≤ n} > 0,98 Vỡ P{X ≤ 4} = 0,947 ; P{X ≤ 5} = 0,983
Suy ra: n = 5.
Chỳ ý:
1) Trong tỡnh huống nào chỳng ta gặp phõn phối Poisson ?
Xột một biến cố A xuất hiện ở những thời điểm ngẫu nhiờn. Giả thiết rằng số lần xuất hiện A trong khoảng thời gian (t1 , t2) khụng ảnh hƣởng đến xác suất xuất hiện của A trong các khoảng thời gian kế tiếp. Thờm vào đó “cƣờng độ’’ xuất hiện A là khụng thay đổi, nghĩa là số lần A xuất hiện trung bỡnh trong khoảng thời gian (t1 , t2) tỉ lệ với độ dài của khoảng thời gian đó.
Gọi X là số lần xuất hiện A trong khoảng thời gian (t1 , t2). Ngƣời ta đó chứng minh đƣợc rằng X có phõn phối Poát xụng với tham số = c(t2 – t1), trong đó c là hằng số. Hằng số c đƣợc gọi là cƣờng độ xuất hiện của Ạ
Phõn phối Poát xụng có ứng dụng rộng rói trong nhiều lĩnh vực thực tế nhƣ kiểm tra chất lƣợng sản phẩm, lý thuyết phục vụ cụng cộng, lý thuyết quản lý dự trữ . . . Trong lý thuyết phục vụ cụng cộng, ngƣời ta đề cập đến các hệ thống phục vụ dũng các yờu cầu đến nhƣ dũng ngƣời vào siờu thị, dũng các con tàu đến cảng chờ bốc xếp, dũng xe ụ tụ vào một xƣởng sửa chữa . . .
2) Giữa phõn phụ́i Nhi ̣ thức và phõn phụ́i Poisson có mụ́i quan hờ ̣ với nhau: Khi n → ∞ , p → 0 (n đủ lớn, p khá bộ) thỡ ta có thể xấp xỉ phõn phối nhị thức bởi phõn phối Poisson nhƣ sau:
P{X = k} = Ckn pk (1 - p)n - k ≈ e k k!
với = n.p
Vớ dụ 5: Mụ ̣t lụ cõy hoa giụ́ng có 10000 cõy, xác suất mỗi cõy khụng ra hoa là 0,001. Tỡm xác suất để trong lụ cõy giống đó có 3 cõy khụng ra hoa ; có nhiều nhất 5 cõy khụng ra hoạ
Giải:
Ta thṍy: p = 0,001 là khá bộ và n = 10000 là khá lớn, cho nờn có thờ̉ thay phõn phối Nhi ̣ thƣ́c bằng phõn phụ́i Poisson với np = 10. Ta có:
Xác suất để trong lụ cõy giống có 3 cõy khụng ra hoa là: P{X = 3} = 10103 e
3!
Xác suất để trong lụ cõy giống có nhiều nhất 5 cõy khụng ra hoa là: P{X ≤ 5} = k 5 10 k 0 10 e k! = POISSON(5,10,1) = 0,067
b) Định lý: Giả sử X ~ P(). Khi đó:
EX = VX = ; modX = []
Vớ dụ 6:Ở một tổng đài Bƣu điện, các cỳ điện thoại gọi đến xuất hiện một cách ngẫu nhiờn, độc lập với nhau và tốc độ trung bỡnh 2 cuộc gọi trong một phỳt. Tỡm xác suất để:
a) Có đỳng 5 cỳ điện thoại trong 2 phỳt.
b) Khụng có cỳ điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giõy c) Có ớt nhất một cỳđiện thoại trong khoảng thời gian 10 giõy
Giải:
a) Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong vũng 2 phỳt
X ~ P(4)
(trung bỡnh 1 phỳt có 2 cuộc gọi trung bỡnh 2 phỳt có 4 cuộc gọi) Suy ra: P{X = 5} = e 445
5!
= 0,156
b) Gọi Y là sốcuộc điện thoại gọi đến trong vũng 30 giõy
X ~ P(1)
Suy ra: P{X = 0} = e 110 0!
= 0,3679
c) Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong vũng 10 giõy
X ~ P(1/3)
(trung bỡnh 1 phỳt có 2 cuộc gọi trung bỡnh 10 giõy có 1/3 cuộc gọi) Suy ra: P{X 1} = 1 – P{X = 0} = 1 - e1/3 = 0,2835