a) Kiểm định hai phớa
Kiểm định giả thuyết: 0 0
1 0 H : H : Chọn thống kờ: (X 0) n U
làm tiờu chuẩn kiểm định. Từ mẫu cụ thể tớnh x và tớnh giá trị kiểm định:
0
(x )
u n
Nếu H0 đỳng thỡ U ~ N(0,1) xác định hoàn toàn. Do đó với mức ý nghĩa cho trƣớc, xác định phõn vị chuẩn 2 u. Ta tỡm đƣợc miền bỏc bỏ H0 là: 2 2 W ; u u ; U Thật vậy: 2 2 2 2 P U W P U u P U u 2P U u 2 2P U u 2 2
b) Kiểm định phớa phải
Lập giả thuyết: H :0 0 với đối thuyết H :1 0
Tƣơng tự nhƣ kiểm định 2 phớa, với mức ý nghĩa cho trƣớc, phõn vị chuẩn trong trƣờng hợp này đƣợc thay bằng u. Ta tỡm đƣợc miền bác bỏ H0 là:
W u ;
c) Kiểm định phớa trỏi
Lập giả thuyết: H :0 0 với đối thuyết H :1 0
Tƣơng tự nhƣ kiểm định 2 phớa, với mức ý nghĩa cho trƣớc, phõn vị chuẩn trong trƣờng hợp này đƣợc thay bằng u. Ta tỡm đƣợc miền bác bỏ H0 là:
Túm lại, để kiểm định cho kỳ vọng ta làm như sau:
1) Thiết lập giả thuyết H0và đối thuyết H1.
- Kiểm định hai phớa: H0: = 0 với H1: ≠0 - Kiểm định phớa phải: H0: = 0 với H1: >0 - Kiểm định phớa trái: H0: = 0 với H1: <0 2) Tỡm giá trị kiểm định: (x 0)
u n
3) Tra bảng Laplace, tỡm uα/2 và uα sao cho: Φ(uα/2) = 1 –α/2 ; Φ(uα) = 1 –α hoặc dựng hàm trong Excel: uα/2 = NORMSINV(1 - /2)
uα = NORMSINV(1 - ) 4) Từđó suy ra miền bác bỏ Wα nhƣ sau:
- Kiểm định 2 phớa:
2 2
W ; u u ;
U
- Kiểm định phớa phải: W u ;
- Kiểm định phớa trỏi: W ; u
5) Kết luận:
Nếu u W thỡ bác bỏ H0 và chấp nhận H1; Nếu u W thỡ chấp nhận H0và bác bỏ H1.
Vớ dụ 1: Mỳ chớnh đƣợc đóng gói 453 gam một gói trờn máy tự động. Có thể coi trọng lƣợng các gói mỳ chớnh tuõn theo luật phõn phối chuẩn với độ lệch chuẩn 36 gam. Kiểm tra ngẫu nhiờn 81 gói thấy trọng lƣợng trung bỡnh 448 gam. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho kết luận trọng lƣợng gói mỳ chớnh có xu hƣớng giảm khụng?
Giải:
Gọi là trọng lƣợng trung bỡnh của gói mỳ chớnh ( chƣa biết).
Để kết luận trọng lƣợng trung bỡnh của gói mỳ chớnh có xu hƣớng thấp hơn 453 gam hay khụng ta kiểm định giả thuyết sau:
H0 : = 453 với H1 : < 453 Từ mẫu 81 gói ta thu đƣợc x 448 gam .
0 x 448 453 u n 81 1,25 36
Với mức ý nghĩa thỡ u 1,645. Miền bác bỏ giả thuyết H0: W ; 1,645
Ta thấy u W nờn giả thuyết H0 đƣợc chấp nhận.
Kết luận: Chƣa có cơ sở để kết luận trọng lƣợng trung bỡnh của các gói mỳ chớnh có xu hƣớng giảm.
Vớ dụ 2: Một tớn hiệu của giá trị đƣợc gửi từ địa điểm A và đƣợc nhận ở địa điểm B có phõn phối chuẩn với trung bỡnh và độ lệch tiờu chuẩn 2. Tin rằng giá trị của tớn hiệu = 8 đƣợc gửi mỗi ngàỵ Ngƣời ta tiến hành kiểm tra giả thuyết này bằng cách gửi 5 tớn hiệu một cách độc lập trong ngày thỡ thấy giá trị trung bỡnh nhận đƣợc tại điểm B là x 9,5 . Với độ tin cậy 95%, hóy kiểm tra giả thuyết = 8 đỳng hay khụng?
Giải:
Ta cần kiểm định hai phớa giả thuyết sau:
H0: = 8 và H : 1 8 Ta có n = 5. Độ tin cậy 1 0,95 1 0,975
2 . Phõn vị chuẩn 2 u 1,96. Miền bác bỏ là W ; 1,96 U 1,96; Giá trị kiểm định (x 0) 9,5 8 u n 5 1,68. 2
Ta thấy u W nờn giả thuyết H0đƣợc chấp nhận.
Kết luận: Vậy với độ tin cậy 95%, có thể tin rằng giá trị của tớn hiệu = 8 đƣợc gửi mỗi ngày là đỳng.
4.2.2. Bài toỏn 2: Phƣơng sai VX = σ2chƣa biết
a) Kiểm định hai phớa
Kiểm định giả thuyết: 0 0
1 0 H : H : Chọn thống kờ X 0 T n s
làm tiờu chuẩn kiểm định. Từ mẫu cụ thể tớnh x, s và tớnh giá trị kiểm định:
0 (x ) t n s
Nếu H0 đỳng thỡ T ~ T(n 1) . Do đó với mức ý nghĩa đó cho, ta xác định phõn vị Student (n -1) bậc tự do mức 1 2 là: n 1 2 2 t t (1 )
Khi đó miền bác bỏ là:
2 2
W ; t t ;
U
b) Kiểm định phớa phải
Kiểm định giả thuyết: 0 0
1 0
H : H :
Với mức ý nghĩa cho trƣớc, giá trị phõn vị Student đƣợc thay bằng: n 1
t t (1 ) Khi đó miền bác bỏ là: W t ;
c) Kiểm định phớa trỏi
Kiểm định giả thuyết: 0 0
1 0
H : H :
Với mức ý nghĩa cho trƣớc, giá trị phõn vị Student đƣợc thay bằng: n 1
t t (1 )
Khi đómiền bác bỏ là: W ; t
Chỳ ý: Khi n > 30 thống kờ T sẽ có phõn phối tiệm cận chuẩn N(0; 1), do đó có thể thay thế: tα = uα , tα/2 = uα/2
Túm lại, để kiểm định cho kỳ vọng ta làm như sau:
1) Thiết lập giả thuyết H0 và đối thuyết H1.
- Kiểm định hai phớa: H0: = 0 với H1: ≠0 - Kiểm định phớa phải: H0: = 0 với H1: >0 - Kiểm định phớa trái: H0: = 0 với H1: <0 2) Tỡm giá trị kiểm định: (x 0) t n s 3) Tra bảng Student, tỡm tvà t : t= tn-1(1 –α/2); t = tn-1(1 –) hoặc dựng hàm trong Excel: t = TINV(, n - 1) ;t
= TINV(2*, n - 1)
Chỳ ý: nếu n > 30 thỡ t = uα/2 = NORMSINV(1 - /2)
t
= uα = NORMSINV(1 - ) 4) Từ đó suy ra miền bác bỏ Wα :
- Kiểm định 2 phớa:
2 2
W ; t t ;
U
- Kiểm định phớa phải: W t ;
- Kiểm định phớa trái: W ; t
5) Kết luận:
Nếu t W thỡ bác bỏ H0và chấp nhận H1; Nếu t W thỡ chấp nhận H0 và bác bỏ H1.
Vớ dụ 3: Một cửa hàng nhận thấy lõu nay trung bỡnh mỗi khách hàng mua 15 ngàn đồng. Tuần này cửa hàng chọn ngẫu nhiờn 16 khách hàng thỡ thấy trung bỡnh mỗi ngƣời mua 14 ngàn đồng và độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 2 ngàn đồng. Cho biết sức mua của khách hàng có phõn phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5%, xột xem sức mua của khách hàng có giảm sỳt khụng?
Giải:
Gọi là sức mua trung bỡnh hiện nay, o = 15 ngàn đồng là sức mua trung bỡnh trƣớc kiạ
Ta kiểm định giả thiết:
H0 : = o với đối thuyết là H1: < o
Nếu giả thiết đỳng thỡ sức mua của khỏch hàng khụng thay đổi, nếu giả thiết sai thỡ sức mua đó giảm sỳt.
Tớnh giá trị kiểm định: t = 14 - 15 16
2 = 2.
Vỡ kớch thƣớc mẫu n = 16 ≤30 nờn tra bảng phõn phối Student dũng 15 cột ta đƣợc:
t = 2,131.
Miền bác bỏ: W ( ; 2,132)
Suy ra: t W ta chấp nhận H0. Vậy: sức mua của khách hàng khụng giảm sỳt.
Vớ dụ 4: Trọng lƣợng trung bỡnh khi xuất chuồng ở một trại chăn nuụi gà cụng nghiệp năm trƣớc là 2,8 kg/con. Năm nay ngƣời ta sử dụng một loại thức ăn mớị Cõn thử 25 con khi xuất chuồng ngƣời ta tớnh đƣợc trung bỡnh mẫu là 3,2 kg, phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh s2 = 0,25. Với mức ý nghĩa 0,05
a) Hóy kết luận về tác dụng của loại thức ăn này (có thực sự làm tăng trọng lƣợng của đàn gà lờn hay khụng).
b) Nếu trại chăn nuụi báo cáo trọng lƣợng trung bỡnh khi xuõt chuồng là 3,3 kg/con thỡ có chấp nhận đƣợc khụng?
Giải:
a) Gọi trọng lƣợng trung bỡnh thực tế khi xuất chuồng của đàn gà ở trại chăn nuụi là (chƣa biết).
Ta cần kiểm định giả thuyết H0: = 2,8 với H1: > 2,8
Đõy là trƣờng hợp kiểm định giả thuyết phớa phải về trung bỡnh tổng thể với n ≤ 30 và phƣơng sai chƣa biết.
Ta cú: 0 x 3,2 2,8 t n 25 4 s 0,25
Với 0,05 ta tra bảng Student xác định đƣợc phõn vị: t 1,711. Nờn miền bác bỏ là: W (1,711 ; ).
Ta thấy t W nờn giả thuyết H0bị bác bỏ, chấp nhận đối thuyết H1.
Kết luận: Loại thức ăn đó có tác dụng làm tăng trọng lƣợng trung bỡnh của đàn gà ở trại chăn nuụi này
b) Để kiểm tra xem trại chăn nuụi này cú bỏo cỏo đỳng với thực tế hay khụng ta căn cứ vào số liệu bài toỏn đó cho và tiến hành kiểm định giả thuyết:
H0 : 3,3 (H1 : 3,3) Ta có giá trị kiểm định: t 3,2 3,3 25 1
0,25
Với mức ý nghĩa 0,05 ta tra bảng Student xác định đƣợc phõn vị:
2
t 2,064. Nờn miền bác bỏ là: W ( ; 2,064) (2,064 ; )
Ta thấy t W nờn giả thuyết chấp nhận giả thuyết H0.
Kết luận: Chấp nhận báo cáo của trại chăn nuụi này về trọng lƣợng trung bỡnh của đàn gà khi xuất chuồng.
Vớ dụ 5: Khối lƣợng quy định cho mỗi gói bánh đƣợc đóng gói tự động là 250 gam. Nghi ngờ việc đóng gói khụng đạt tiờu chuẩn về khối lƣợng, ngƣời ta kiểm tra ngẫu nhiờn 81 gói thỡ thấy khối lƣợng trung bỡnh là 235 gam và độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 36 gam. Với mức ý nghĩa 0,01 hóy kết luận về nghi ngờ nói trờn.
Giải:
Khối lƣợng trung bỡnh của các gói bánh thuộc tổng thể là chƣa biết. Ta kiểm định giả thuyết:
Nếu giả thiết được chấp nhận thỡ kết luận đúng gúi đạt tiờu chuẩn.
Nếu giả thiết bị bỏc bỏ thỡ kết luận đúng gúi khụng đạt tiờu chuẩn
Ta tiến hành kiểm định giả thiết với n = 81 > 30, X = 235g, s = 36. Vỡ = 0,01 và n = 81 > 30 nờn tα/2 = u/2 = 2,58.
Miền bác bỏ là: W ( ; 2,58) (2,58; )
Ta cú: u = 2,35 - 250 81
36 = - 3,75
Suy ra u W nờn giả thuyết H0 bị bác bỏ hay chấp nhận đối thuyết H1.
Mặt khác, vỡ khối lƣợng trung bỡnh của mẫu X= 235gam bộ hơn khối lƣợng quy định nờn việcđóng gói tự động chƣa đạt yờu cầu về khối lƣợng các gói bánh.
Vớ dụ 6: Trọng lƣợng của các bao gạo là đại lƣợng ngẫu nhiờn có phõn phối chuẩn với trọng lƣợng trung bỡnh là 50kg. Sau một khoảng thời gian hoạt động ngƣời ta nghi ngờ trọng lƣợng các bao gạo có thay đổị Cõn 25 bao gạo thu đƣợc các kết quả sau:
Khối lƣợng 40-48,5 48,5-49 49-49,5 49,5-50 50-50,5
Số bao 2 5 10 6 2
Với độ tin cậy 99%, hóy kết luận về điều nghi ngờ nói trờn.
Giải:
Gọi μlà trọng lƣợng trung bỡnh của bao gạọ
Ta kiểm địnhgiả thuyết H0: = 50 (H : 1 50) Dựng máy tớnh bỏ tỳi, tớnh đƣợc: 1231,75 x 49, 27; 25 2 60695,062 2 S (49, 27) 0, 27; 25 2 25 s *0, 27 0, 2812 s 0,53 24 Giá trị kiểm định: t (x 0) n (49, 27 50) 25 6,886. s 0,53
Ta có n = 25 ≤30. Độ tin cậy 1 0,99 1 0,995 2
Phõn vị Student mức 0,995 với bậc 24 là t0,995 2,797. Miền bác bỏ là W ; 2,797 U 2,797;
Ta thấy t W nờn giả thuyết H0 bị bác bỏ.
Kết luận: Với độ tin cậy 99%, hóy kết luận về điều nghi ngờ nói trờn là có thể chấp nhận đƣợc.
Vớ dụ 7: Một nhóm nghiờn cứu tuyờn bố rằng trung bỡnh một ngƣời vào siờu thị X tiờu hết 140 ngàn đồng. Chọn một mẫu ngẫu nhiờn gồm 50 ngƣời mua hàng, tớnh đƣợc số tiền trung bỡnh họ tiờu là 154 ngàn đồng với độ lệch mẫu hiệu chỉnh s 62 . Với mức ý nghĩa 0,02 hóy kiểm định xem tuyờn bố trờn có đỳng khụng?
Giải:
Ta cần kiểm định giả thuyết H0: = 140 (H : 1 140)
Ta có n = 50 > 30. Độ tin cậy 1 –α = 0,98 1 –α/2 = 0,99 Tra bảng 3, ta đƣợc: 2 u 2,33. Miền bác bỏ là W ; 2,33 U 2,33; Giá trị kiểm định u x 0 n 154 140 50 1,59. s 62
Ta thấy u W nờn chƣa có cơ sở để loại bỏ giả thuyết H0.
Kết luận: Vậy tạm thời chấp nhận rằng báo cáo của nhóm nghiờn cứu là đỳng.