Kiểm định giả thuyết H0 : p = p0 với đối thuyết H1 : p < p0 Từ mẫu cụ thể tớnh f rồi tớnh thống kờ: 0 0 0 (f p ) n u p (1 p )
Với mức ý nghĩa , xác định giá trị tới hạn u theo cụng thức u 1 . Vỡ P U u suy ra miền bác bỏ H0 là:
W ( ; u )
Túm lại, để kiểm định cho tỷ lệ ta làm như sau:
1) Thiết lập giả thuyết H0 và đối thuyết H1.
- Kiểm định hai phớa: H0: p = p0 với H1: p p0 - Kiểm định phớa phải: H0: p = p0 với H1: p > p0 - Kiểm định phớa trái: H0: p = p0 với H1: p < p0 2) Tỡm giỏ trị kiểm định: 0 0 0 (f p ) n u p (1 p )
3) Tra bảng Laplace, tỡm uα/2 và uα sao cho: Φ(uα/2) = 1 –α/2 ; Φ(uα) = 1 –α
hoặc dựng hàm trong Excel: uα/2 = NORMSINV(1 - /2) uα = NORMSINV(1 - ) 4) Từ đó suy ra miền bác bỏ Wα
- Kiểm định 2 phớa: 2 2 W ; u u ; U - Kiểm định phải: W u ; - Kiểm định trái: W ; u 5) Kết luận: Nếu u W thỡ bác bỏ H0và chấp nhận H1; Nếu u W thỡ chấp nhận H0và bác bỏ H1.
Vớ dụ 1: Một trƣờng học báo cáo tổng kết năm học vừa qua có 20% sinh viờn khá giỏị Đoàn thanh tra kiểm tra ngẫu nhiờn 800 sinh viờn thấy có 128 sinh viờn xếp loại khá giỏị Biết độ tin cậy 95%, hóy kiểm định xem báo cáo của trƣờng có đỳng với thực tế khụng.
Giải:
Gọip là tỷ lệ sinh viờn giỏi của trƣờng (p chƣa biết).
Để kết luận tỷ lệ sinh viờn khá giỏi đạt 20% đỳng hay khụng ta kiểm định giả thuyết H0: p = 0,2 (H1: p 0,2)
Tỷ lệ sinh viờn khá giỏi của mẫu là: f 128 0,16 800 Ta cú: u (0,16 0,2) 800 2,828 0,2.0,8
Với mức ý nghĩa 0,05 thỡ phõn vị chuẩn
2
u 1,96. Khi đó miền bác bỏ là
W ; 1,96 U 1,96;
Ta thấy u W nờn bác bỏ giả thuyết H0, tức là p 0,2.
Kết luận: Báo cáo sai sự thật, tỷ lệ sinh viờn khá giỏi khụng đạt 20%.
Vớ dụ 2: Một máy sản xuất tự động, lỳc đầu tỷ lệ sản phẩm loại A là 45%. Sau khi áp dụng một phƣơng pháp sản xuất mới, ngƣời ta lấy ra 400 sản phẩm để kiểm tra, qua kiểm tra thấy có 215 sản phẩm loại Ạ Với mức ý nghĩa hóy kết luận
xem phƣơng pháp sản xuất mới có thực sự làm tăng tỷ lệ sản phẩm loại A lờn hay khụng?
Giải:
Gọi p là tỷ lệ sản phẩm loại A của nhà máy sau khi áp dụng phƣơng pháp sản suất mới (p chƣa biết). Để kết luận phƣơng pháp sản suất mới có thực sự làm tăng tỷ lệ sản phẩm loại A lờn hay khụng, ta kiểm định giả thuyết:
H0 : p = 0,45 với H1 : p 0,45 Tỷ lệ sản phẩm loại A của mẫu là: f = 0,5375.
Ta có giá trị kiểm định: u (0,5375 0,45) 400 3,5176 0,45.0,55
Với mức ý nghĩa , tra bảng ta đƣợc: uα =1,645 Miền bác bỏ: W (1,645 ; )
Ta thấy u W nờn bác bỏ H0và chấp nhận H1, tức là p > 0,45.
Kết luận: Phƣơng pháp sản suất mới thực sự làm tăng tỷ lệ sản phẩm loại A lờn.
Vớ dụ 3: Tỷ lệ phế phẩm ở một nhà máy cần đạt là 10%. Sau khi cải tiến, kiểm tra 400 sản phẩm thỡ thấy có 32 phế phẩm với độ tin cậy 99%. Hóy xột xem việc cải tiến kỹ thuật có kết quả hay khụng?
Giải:
Ta có n = 400. Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của nhà máỵ Ta cần kiểm định giả thuyết:
H0: p = 0,1 với H : p 0,11 Tỷ lệ phế phẩm trong 400 sản phẩm là f 32 0,08
400
.
Độ tin cậy 1 0,99 Phõn vị chuẩn u 2,33 Miền bác bỏ là W 2,33;
Giá trị quan sát 0
(0,08 0,1) 400
u 1,333.
0,1.0,9
Ta thấy u0 W nờn chấp nhận H0. Vậy việc cải tiến có hiệu quả.
Vớ dụ 4: Giả sử sản phẩm của một cụng ty sản xuất xe ụ tụ đó chiếm đƣợc 42% thị trƣờng. Hiện tại trƣớc sự cạnh tranh của các đối thủ và những điều kiện của mụi
trƣờng kinh doanh, ban lónh đạo muốn kiểm tra lại xem thị trƣờng của cụng ty có cũn đạt 42% nữa khụng. Chọn ngẫu nhiờn 550 xe ụ tụ trờn đƣờng kết quả cho thấy có 219 xe có sử dụng xe của cụngtỵ Có thể kết luận gỡ, ở mức ý nghĩa 1%.
Giải:
Trƣờng hợp này ta quan tõm đến việc thị phần cụng ty có thấp hơn 42% hay khụng. Do vậy ta đặt giả thuyết
H0 : p = 0,2 (H1 : p < 0,42) Tỷ lệ mẫu: f m 219 0,3982. n 550 Giá trị kiểm định: 0 0 0 (f p ) n (0,3982 0,42) 550 u 1,037 p (1 p ) 0,42(1 0,42)
Tra bảng phõn phối chuẩn, với 0,1 ta cú u 1,285 Miền bác bỏ là W ; 1,285
Do u W nờn chấp nhận giả thuyết H0.
Kết luận: Với mức ý nghĩa 10%, ta có thể tin rằng tại cụng ty chiếm ớt nhất 42% thị trƣờng xe ụ tụ.
Vớ dụ 5: Theo báo cáo, tỉ lệ hàng phế phẩm trong kho là 10%. Kiểm tra ngẫu nhiờn 100 sản phẩm thấy có 8 phế phẩm. Hỏi báo cáo trờn có đáng tin ở mức ý nghĩa 5% khụng?
Giải:
Gọi p là tỉ lệ phế phẩm trong kho hàng, p chƣa biết.
Ta giả thiết “ p = 10%” đỳng như bỏo cỏo, (ở đõy tỉ lệ giả thiết po = 10%).
Với = 5%, ta kiểm tra giả thuyết
H0: p = po và H1 : p ≠ po Ta có kớch thƣớc mẫu n = 100, tỉ lệ mẫu f 108 = 0,08. Tra bảng hàm số Laplace ta thấy
(1,96) = 1 0,05 2
= 0,975 nờn u/2 = 1,96. Miền bác bỏ là W ; 1,96(1,96;)
Tớnh giá trị kiểm định, ta đƣợc: u 0,08 0,1 100 0,6667. 0,1(1 0,1)
Vỡ u W nờn chấp nhận giả thuyết H0, nghĩa là báo cáo đáng tin cậỵ
Vớ dụ 6:Trƣớc đõy tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Năm nay ngƣời ta áp dụng một biện pháp kĩ thuật mới để sản xuất. Sau một thời gian, kiểm tra 800 sản phẩm thỡ thấy có 24 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 1%, hóy đánh giá hiệu quả của biện pháp kĩ thuật đó.
Giải:
Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy (xem là tổng thể) trƣớc đõy, tức là trƣớc khi áp dụng biện pháp kĩ thuật mới là 5%. Cũn tỉ lệ phế phẩm sau khi áp dụng biện pháp kĩ thuật là p chƣa biết.
Ta cần kiểm định giả thuyết:
H0 : p = 5% và H1 : p ≠ 5%
Rừ ràng, nếu giả thiết đỳng thỡ biện pháp kĩ thuật khụng tác dụng đến tỉ lệ phế phẩm của nhà máỵ Cũn nếu giả thiết sai thỡ biện pháp kĩ thuật đó làm thay đổi tỉ lệ phế phẩm đó.
Ta tiến hành kiểm tra giả thiết trờn với = 1%. Từ mẫu ta có n = 800, f = 800 24 = 0,03. Tra bảng hàm số Laplace, ta tỡm đƣợc u/2 = 2,58. Tớnh giá trị kiểm định, ta đƣợc 0,03 0,05 u 800 2,6 0,05 1 0,05 Vỡ u W nờn giả thiết p = 5% là saị
Do đó tỉ lệ phế phẩm của nhà máy hiện nay khụng phảilà 5% nhƣ trƣớc kiạ Vậy, biện pháp kĩ thuật mới đó làm giảm tỉ lệ phế phẩm của nhà máỵ
4.4. KIỂM ĐỊNH VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI KỲ VỌNG
Giả sử trờn hai tổng thể 1 và 2 tƣơng ứng có các đại lƣợng ngẫu nhiờn gốc X và Y là hai đại lƣợng ngẫu nhiờn độc lập có cựng phõn phối chuẩn với EX 1 và
2
EY chƣa biết.
Trờn các tổng thể 1 và 2 lấy các mẫu ngẫu nhiờn tƣơng ứng có kớch thƣớc n1 và n2. Ta xột các trƣờng hợp sau:
4.4.1 Bài toỏn 1: Trƣờng hợp đó biết VX = 2 1
và VY = 2 2
a) Kiểm định hai phớa
Ta cần kiểm định giả thuyết:
0 1 2 1 1 2 H : = (H : ) Trong trƣờng hợp này ta chọn thống kờ: 2 2 1 2 1 2 X Y U n n làm tiờu chuẩn kiểm định.
Từ mẫu cụ thể tớnh giá trị kiểm định:
2 2 1 2 1 2 x y u n n
Nếu giả thuyết H0 đỳng thỡ U ~ N(0, 1). Nờn với mức ý nghĩa , ta xác định đƣợc phõn vị u/2 (tra bảng Laplace) của đại lƣợng ngẫu nhiờn U ~ N(0, 1) sao cho:
2 2 P u U u
Suy ra miền bác bỏ H0 là:
2 2
W ; u u ;
U
b) Kiểm định phớa phải
Ta cần kiểm định giả thuyết
0 1 2 1 1 2
Tƣơng tự nhƣ kiểm định hai phớa, với mức ý nghĩa cho trƣớc, giá trị phõn vị chuẩn
/2
u đƣợc thay bằng phõn vị u. Suy ra miền bác bỏ:
W u ;
c) Kiểm định phớa trỏi
Ta cần kiểm định giả thuyết
0 1 2 1 1 2
H : (H : )
Tƣơng tự nhƣ kiểm định hai phớa, với mức ý nghĩa cho trƣớc, giá trị phõn vị chuẩn
/2
u đƣợc thay bằng phõn vị u. Suy ra miền bác bỏ:
W ; u
Túm lại, để kiểm định sự bằng nhau của hai kỳ vọng khi đó biết phương sai ta làm như sau:
1) Thiết lập giả thuyết H0 và đối thuyết H1.
- Kiểm định hai phớa: H0: 1 = 2 với H1: 1≠2 - Kiểm định phớa phải: H0: 1 = 2 với H1: 1 >2 - Kiểm định phớa trái: H0: 1 = 2 với H1: 1<2 2) Tỡm giá trị kiểm định: 2 2 1 2 1 2 x y u n n
3) Tra bảng Laplace, tỡm uα/2 và uα sao cho: Φ(uα/2) = 1 –α/2 ; Φ(uα) = 1 –α hoặc dựng hàm trong Excel: uα/2 = NORMSINV(1 - /2)
uα = NORMSINV(1 - ) 4) Từ đó suy ra miền bác bỏ Wα
- Kiểm định hai phớa:
2 2
W ; u u ;
U
- Kiểm định phớa phải: W u ;
- Kiểm định phớa trái: W ; u