Khái niệm đồ thị Hamilton và đồ thị nửa Hamilton xuất phát từ trò chơi đố vui do William Rowan Hamilton, nhà toán học Ailen, nghĩ ra năm 1857 nhƣ sau:
Trò chơi “Vòng quanh thế giới”:
Giả sử có một khối đa diện 12 mặt, mỗi mặt là một hình ngũ giác đều nhƣ Hình 3.8a. Mỗi đỉnh trong 20 đỉnh của khối này đƣợc đặt bằng tên của một thành phố. Hãy tìm một đƣờng xuất phát từ một thành phố, đi dọc theo các cạnh của khối, ghé thăm 19 thành phố còn lại, mỗi thành phố đúng một lần, cuối cùng trở về thành phố ban đầu.
a) b) c) d)
Hình 3.8. Trò chơi “Vòng quanh thế giới” của Hamilton.
Bài toán trên đƣợc phát biểu tƣơng đƣơng: Trong đồ thị trên Hình 3.8b có tồn tại hay không một chu trình đi qua mọi đỉnh, mỗi đỉnh đúng một lần?
Một lời giải cho trò chơi này là Hình 3.8d. 3.2.1. Định nghĩa.
Cho đồ thị G = (X, U). Chu trình Hamiltoncủa đồ thị G là chu trình đơn đi qua tất cả các đỉnh của G, mỗi đỉnh đúng một lần. Đường đi Hamilton của G là đƣờng đi đơn đi qua tất cả các đỉnh của G, mỗi đỉnh đúng một lần.
Đồ thị có chu trình Hamilton gọi là đồ thị Hamilton. Đồ thị không có chu trình Hamilton, nhƣng có đƣờng đi Hamilton là đồ thị nửa Hamilton.
Hiển nhiên, đồ thị G không phải là đồ thị nửa Hamilton thì chắc chắn không phải là đồ thị Hamilton.
Ví dụ : Đồ thị trong Hình 3.9a, Hình 3.9c là đồ thị Hamilton, với các chu trình Hamilton là
<G; A; B; D; C; E; F; G > và <x3; x6; x7; x5; x2; x4; x1; x3>. Đồ thị H trong Hình 3.9b
không có chu trình Hamilton, chỉ có đường đi Hamilton là <g; a; b; c; d; e; f>. Đồ thị trong
Hình 3.9d không có chu trình Hamilton và không có đường đi Hamilton.
a) b) c) d)
Hình 3.9. Đồ thị Hamilton, đồ thị nửa Hamilton.