Tuyển sơ cấp, hội sơ cấp
Định nghĩa 1:
(1) Một dạng tuyển sơ cấp (TSC) là một biểu thức logic chỉ chứa phép tuyển của các mệnh đềsơ cấp và phủđịnh của các mệnh đềsơ cấp.
(2) Một dạng hội sơ cấp (HSC) là một biểu thức logic chỉ chứa phép hội của các mệnh đề sơ cấp và phủđịnh của các mệnh đềsơ cấp.
Định lý 1:
(1) Một dạng TSC là đồng nhất đúng khi và chỉkhi TSC đó chứa đồng thời một mệnh đề sơ cấp và phủđịnh của nó.
(2) Một dạng HSC là đồng nhất sai khi và chỉ khi HSC đó chứa đồng thời một mệnh đề sơ cấp và phủđịnh của nó.
Dạng tuyển chuẩn tắc và dạng hội chuẩn tắc
Định nghĩa 2:Cho Alà một công thức trong logic mệnh đề.
(1) Nếu , trong đó A‟ là một tuyển của các HSC thì A‟ đƣợc gọi là một dạng tuyển chuẩn tắc (TCT) của A.
Nói cách khác, A‟ là một dạng TCT của A ( , với ).
(2) Nếu , trong đó A‟ là một hội của các TSC thì A‟đƣợc gọi là một dạng HCT của
A.
Nói cách khác,A‟ là một dạng HCT của A ( , với ).
Chú ý:Trong dạng HCT, TCT của Achỉ chứa đúng 3 phép toán:hội, tuyển, lấy phủ định.
Định lý 2:Mọi công thức trong logic mệnh đề đều có dạng HCT và TCT.
Các quy tắc biến đổi đưa một công thức về dạng HCT hoặc TCT tương đương logic :
(1) ̅
(2) ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅; ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅
(3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(Quy tắc (1) khử phép kéo theo, quy tắc (2) và (3) chuyển phép tuyển thành phép hội và ngược lại)
Điều kiện đồng nhất đúng. Điều kiện đồng nhất sai:
(1) Công thức khi và chỉ khi trong dạng HCT của A mọi TSC đều chứa đồng thời một mệnh đềsơ cấp và phủđịnh của nó.
(2) Công thức khi và chỉ khi trong dạng TCT của A mọi HSC đều chứa đồng thời một mệnh đềsơ cấp và phủđịnh của nó.
Ví dụ : Sử dụng các luật logic, chứng minh:
, ( )- ,( ) ( )- Giải. Đặt: , ( )- ,( ) ( )- ( ̅ ( ̅ )) (( ̅ ) ( ̅ )) (Khử phép kéo theo) ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ( ̅ )) (Khử phép kéo theo) ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (( ̅) ( ̅ )) (Áp dụng luật De Morgan) .( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ̅ )/ ( ̅) (Áp dụng luật kết hợp)
(( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ) (( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅) (Áp dụng luật phân phối)
(( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ) .( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ̅ ̅)/ (Áp dụng luật kết hợp) Ta có biểu thức tuyển ( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ̅ ̅) có dạng ̅ với công thức ̅ ̅.
Hơn nữa trong tuyển ( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ có chứa mệnh đề p và ̅ nên .
Vậy : ( ( )) (( ) ( )).