Bài toán : Có n đại biểu từ n nƣớc đến dự hội nghị quốc tế. Mỗi ngày họp một lần ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi phải bố trí bao nhiêu ngày và bố trí nhƣ thế nào sao cho trong mỗi ngày, mỗi ngƣời có hai ngƣời kế bên là bạn mới. (Lƣu ý rằng nngƣời đều muốn làm quen với nhau).
Xét đồ thị gồm n đỉnh, mỗi đỉnh ứng với mỗi ngƣời dự hội nghị, hai đỉnh kề nhau khi hai đại biểu tƣơng ứng muốn làm quen với nhau. Nhƣ vậy, ta có đồ thị đầy đủ Kn. Đồ thị này là Hamilton và rõ ràng mỗi chu trình Hamilton là một cách sắp xếp nhƣ yêu cầu của bài toán. Bài toán trở thành tìm các chu trình Hamilton phân biệt của đồ thịđầy đủKn (hai chu trình Hamilton gọi là phân biệt nếu chúng không có cạnh chung).
Định lý:Trong Kn(với nlẻ, n 3) có đúng chu trình Hamilton phân biệt.
Chứng minh: Kn có ( ) cạnh và mỗi chu trình Hamilton có n cạnh, nên số chu trình Hamilton phân biệt nhiều nhất là .
Giả sửcác đỉnh của Kn là 1, 2, ..., n. Đặt đỉnh 1 tại tâm của một đƣờng tròn và các đỉnh 2, ..., nđặt cách đều nhau trên đƣờng tròn sao cho đỉnh lẻ nằm ở nửa đƣờng tròn trên và đỉnh chẵn nằm ở nửa đƣờng tròn dƣới (hai đỉnh liên tiếp cách nhau
Ta có ngay chu trình Hamilton đầu tiên là <1; 2; ...; n;1> (Hình 3.16).
Các đỉnh đƣợc giữ cố định, xoay khung theo chiều kim đồng hồ với các góc quay:
đƣờng tròn ta đƣợc n – 1
chu trình Hamilton nhƣng chỉ có chu trình Hamilton
khác nhau. Hình 3.16. Đồ thị sắp xếp chỗ ngồi.
Chu trình Hamilton cuối cùng thứ là .
Ví dụ : Hãy liệt kê tất cả các chu trình Hamilton phân biệt (không có cạnh chung) trong đồ thị đầy đủ K9?
Chú ý: Với n chẵn, chứng minh tƣơng tự ta cũng có số chu trình Hamilton khác nhau của là không quá chu trình. Nói cách khác số chu trình Hamilton khác nhau của là 0 1.