Dấu hiệu 1: Nếu đồ thị Gchứa một đồ thị con không phẳng thì G không phải là đồ thị phẳng.
Dấu hiệu 2: Đồ thị G không thỏa mãn kết luận của Hệ quả 1, Hệ quả 2 là đồ thị không phẳng.
Định nghĩa: Ta nói đồ thị G‟sinh ra từ Gbởi phép chia theo cạnh (x, y) nếu G‟ có đƣợc từ
G bằngcách bỏ đi cạnh (x, y) đồng thời thêm đỉnh z và hai cạnh (x, z), (z, y).
Các đồ thị G1 và G2đƣợc gọi là đồng phôi với nhau nếu chúng sinh ra từ cùng một đồ thị G
bằng một dãy các phép chia cạnh.
Dấu hiệu 3 (Định lý Kuratowski): Đồ thị G không phẳng khi và chỉ khi G chứa một đồ thị con đồng phôi với K hoặc K .
Ví dụ:
Chứng tỏ rằngcác đồ thị saulà đồ thị
không phẳng?
Hình 3.24. Đồ thị không phẳng.
BÀI TẬP CHƢƠNG 3.
3.1. Đồ thị vô hƣớng nào sau đây là đồ thị Euler, nửa Euler?Đồ thị nào là đồ thị Hamilton, nửa Hamilton? Tìm chu trình Euler hoặc đƣờng đi Euler, nếu có? Tìm tất cả các chu trình Hamilton hoặc đƣờng đi Hamilton, nếu có?
a) b) c)
d) e) f )
3.2. Đồ thị có hƣớng nào sau đây là đồ thị Euler, nửa Euler? Tìm chu trình Euler hoặc đƣờng đi Euler, nếu có?
a) b) c)
d) e)
f) g)
3.3. Xét các đồ thị cho bởi ma trận kề sau: Đồ thị nào là đồ thị Euler (nửa Euler), đồ thị Hamilton, (nửa Hamilton)? Tại sao?
a) [ ] b) [ ]
3.4. Đồ thị nào dƣới đây là đồthị phân đôi? Hãy tìm dạng biểu diễn phân đôi của nó (nếu có).
a) b)
3.5. Giải bài toán ngƣời đƣa thƣ Trung Hoa với các đồ thị trên (trong bài 3.4).
3.6. Chỉ ra các đồ thị phẳng, đồ thị không phẳng trong các hình dƣới đây? Tìm biểu diễn phẳng của nó (nếu có).
Chương 4. CÂY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÂY
Mục tiêu: Ngƣời học xác định và trình bày lại đƣợc các tính chất cơ bản của cây, cây m –
phân. Trình bày lại đƣợc các phép duyệt cây nhị phân. Nhận diện đƣợc mã tiền tố và ứng dụng cây để tìm mã tiền tố tối ƣu. Ngƣời học xác định đƣợc cây khung và cây khung nhỏ nhất của đồ thị.