Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r, … (gọi là các tiền đề), ta áp dụng các quy tắc suy diễn để suy ra mệnh đề h (mà ta gọi là kết luận) là chân lý
hay đồng nhất đúng.
Nói cách khác, dùng các quy tắc suy diễn để chứng minh:
( )có hệ quả logic là h. Tức là: ( ) (*) . Một cách để chứng minh đồng nhất đúng (*) là lập bảng giá trị chân lý. Tuy nhiên cách làm này không hiệu quả nếu số biến mệnh đề lớn.
Để khắc phục điều này, ta sử dụng các quy tắc suy diễn đã được khẳng định là đúngđể chia bài toán thànhcác modul nhỏ, nghĩa là từ một số tiền đề suy ra một số kết luận trung gian, và coi các kết luận này nhƣ là các tiền đề để suy ra kết luận cuối cùng.
Ta thƣờng mô hình hóa phép suy luận đó dƣới dạng: ̅̅̅̅
Sau đây là một số quy tắc suy diễn quan trọng. Việc chứng minh tính đúng đắn của các quy tắcnày chính là việc chứng minh các đồng nhất đúngtƣơng ứng, mà ta có thể thực hiện bằng cách đơn giản là lập bảng chân trị.
Bảng 6.3. Một số quy tắc suy diễn quan trọng.
Các quy tắc suy diễn Dạng sơ đồ Ví dụ minh họa
1. Quy tắc khẳng định
,( ) -
- Nếu Hoa chăm học thì Hoa sẽ đạt điểm cao.
- Mà Hoa chăm học.
- Suy ra :Hoa đạt điểm cao.
2. Quy tắc phủđịnh
,( ) ̅- ̅
̅ ̅
- Nếu Hoa chăm học thì Hoa sẽ đạt điểm cao.
- Mà Hoa không đạt điểm cao.
- Suy ra :Hoa không chăm học.
3. Quy tắc tam đoạn luận
,( ) ( )- ( )
- Nếu trời mƣa nhiều thì bạn sẽ không đi chơi.
- Nếu bạn không đi chơi thì bạn sẽ học tốt.
- Suy ra : Nếu trời mƣa nhiều thì bạn sẽ học tốt.
4. Quy tắc tam đoạn luận rời
,( ) ̅- ̅
- Thứ bảy, Hoa thƣờng đi xem phim ở rạp hoặc về quê.
- Thứ bảy này, Hoa không về quê. - Suy ra : Thứ bảy này, Hoa đi xem
phim ở rạp.
5. Quy tắc nối liền
( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
- Hôm nay, trời mƣa nhiều. - Hôm nay, Hoa ở nhà.
- Suy ra : Hôm nay, trời mƣa nhiều và Hoa ở nhà.
6. Quy tắc đơn giản
( )
- Hôm nay, Hoa về quê và ngủ sớm. - Suy ra : Hôm nay, Hoa về quê.
7. Quy tắc chứng minh theo
trường hợp ,( ) ( )- ,( ) - ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ - Chứng minh mệnh đề: « n là số tự nhiên thì ( ) ». - Suy ra : Chỉ cần chứng minh 2 mệnh đề đồng nhất đúng là: «n là số tự nhiên chẵn thì ( ) » và « n là số tự nhiên lẻ thì ( ) »
8. Quy tắc mâu thuẫn (Hay chứng minh bằng phản chứng) ,( ) - [( ̅) ] ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ - Chứng minh mệnh đề: "Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ". - Suy ra : Chỉ cần chứng minh phản chứng, tức là chứng minh mệnh đề : "a là số hữu tỉ, b là số vô tỉ và
a+b là số hữu tỷ" là SAI (hay là mâu thuẫn). 9. Quy tắc phản đảo ̅ ̅ Để chứng minh là đúng ta chỉ cần chứng minh mệnh đề phản đảo ̅ ̅cũng là đúng. - Chứng minh mệnh đề: “Nếu n là một số tự nhiên và 3n+2 là một số lẻ thì n là số lẻ”. - Suy ra : Chỉ cần chứng minh mệnh đề phản đảo : “Nếu n là số tự nhiên chẵn thì 3n+2 là chẵn”. 10.Phản ví dụ Để chứng minh một phép suy luận: ( ) LÀ SAI.
hay công thức : ( ) không phải là đồng nhất đúng, ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.
Tức là chỉ ra một bộ chân trị của các mệnh đề có trong công thức, làm cho giá trị chân lý của công thức là sai.
Trƣờng hợp đơn giản nhất, ta chọn bộ ( ) ( ) tức là chỉ ra trƣờng hợp tất cả các tiền đề đều đúng còn kết luận sai.
Bộ chântrị trên gọi làmột phản ví dụ của phép suy luận đã cho.
- Chứng minh mệnh đề: “Tứ giác có hai đƣờng chéo vuông góc thì tứ giác đó là hình thoi”, LÀ SAI. - Suy ra: Chỉ cần lấy một phản ví
dụ:
Cho hình vuông ABCD có . Gọi E là trung điểm của OD. Suy ra „Tứ giác ABCE có hai đƣờng chéo vuông góc nhƣng không có các cạnh đối song song nên tứ giác đó không là hình thoi‟.
Ví dụ 1: Suy luận sau có đúng không?
Ông Minh nói rằng, nếu không tăng lương thì ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt khác, nếu ông ấy nghỉ việc và vợ ông ấy mất việc thì phải bán xe.
Biết rằng, vợ ông ấy hay đi làm trễ thì trước sau gì cũng sẽ bị mất việc. Nhưng ông Minh đã được tăng lương.
Suy ra, nếu ông Minh không bán xe thì vợ ông ta đã không đilàm trễ.
Kí hiệu các mệnh đề như sau: p: Ông Minh được tăng lương. q: Ông Minh nghỉ việc.
r: Vợ ông Minh mất việc.
s: Ông Minh bán xe.
t: Vợ ông Minh hay đi làm trễ.
Từ bài toán và theo quy tắc phản đảo ta có các tiền đề (các khẳng định đúng) và quy tắc suy diễn sau: ( ̅ ( ) ̅ ̅ ) ( ̅ ( ) )
Một phản ví dụ thỏa mãn mọi tiền đề đều đúng nhưng kết luận sai là: .
Vậy suy luận trên không đúng. Tức là ông Minh không bán xe thì vợ ông Minh vẫn có thể đi làm trễ.
Thật vậy, ông Minh được tăng lương nên ông Minh không bỏ việc. Mà ông Minh không bỏ việc thì chắc chắn không phải bán xe. Do vậy việc vợ ông ấy hay đi làm trễ (tức là vợ bị mất việc) không ảnh hưởng đến việc ông Minh không phải bán xe.
Ví dụ 2 : Cho các tiền đề :
„Nếu anh đến thì em đi chơi khuya‟. „Nếu anh không đến thì em đi ngủ sớm‟.
„Nếu em ngủ sớm thì mai em sẽ đi học đúng giờ‟.
Hãy chứng minh hệ quả logic: „Nếu em không đi chơi khuya thì mai em sẽ đi học đúng giờ‟ .
Giải.
Kí hiệu các mệnh đề
là:
p: Anh đến.
q : Em đi chơi khuya. r: Em đi ngủ sớm. s: Em đi học đúng giờ.
Sơ đồ suy diễn là :
( ) ̅ ( ) ( ) ̅
Áp dụng các quy tắc suy diễn như sau:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (Từ (1) và quy tắc phản đảo) (Tiền đề (2))
(Quy tắc tam đoạn luận) (Tiền đề (3))
(Quy tắc tam đoạn luận) Vậy: „Nếu em không đi chơi khuya thì mai em sẽ đi học đúng giờ‟ là đồng nhất đúng.
Chú ý : Phải dùng hằng các đồng nhất đúng để suy luận, nếu dùng TIẾP LIÊN (là một công thức không phải là đồng nhất đúng, cũng không phải là đồng nhất sai), chúng sẽ khiến suy luận thành NGỤY BIỆN.
Bảng 3.4. Một số suy diễn là NGỤY BIỆN.
Tiếp liên Ngụy biện Ví dụ
,( ) - Ngụy biện khẳng định kết luận Nếu anh ta cƣới vợ thì anh ta sẽ có con. Anh ta đã có con. Vậy anh ta đã có gia đình. ,( ) ̅- ̅ Ngụy biện phủđịnh
giả thiết
Nếu anh ta cƣới vợ thì anh ta sẽ có con. Anh ta không lập gia đình. Vậy anh ta không thể có con.