4.1.1. Toán học phản ánh sự chuyển động
Trong lịch sử toán học, thế kỉ XVII chiếm vị trí đặc biệt, nó mở ra một giai đoạn mới, giai đoạn toán học của những đại lượng biến thiên.
Tới cuối thế kỉ XVI, các môn đại số, tam giác lượng, hình học và những phương pháp tính toán đã tích lũy được khá nhiều kiến thức và đã đạt đến trình độ là có thể thực sự thúc đẩy sự tiến bộ của khoa học và kĩ thuật nói chung. Ở thế kỉ thứ VII, các phương pháp toán học vẫn tiếp tục được áp dụng hết sức mạnh mẽ vào khoa học tự nhiên, trước hết là vào cơ học. Chẳng hạn trong những năm 1632 và 1638, Galilê đã tìm ra được biểu thức toán học cho các định luật và sự rơi các vật thể. Trước đó ít lâu, Kê-Ple (1609-1619) đã phát minh ra và đồng thời phát biểu về mặt toán học những định luật nổi tiếng về chuyển động của các hành tinh. Năm 1686, Niuton tìm ra định luật vạn vật hấp dẫn. Những thành tựu này, do toán học, đã nảy sinh tư tưởng triết học về tính vạn năng của phương pháp toán học, nó thống trị khối óc nhiều nhà bác học và triết học lớn nhất của thế kỉ XVII như Đề-các, Xpinôda, Lépnit, Niuton.
Trong thế kỉ này đã có những sự biến đổi trong các hình thức tổ chức nghiên cứu toán học. Năm 1662, hội Hoàng gia Luân Đôn bắt đầu hoạt động. Năm 1666, Viện hàn lâm Paris được thành lập và có những tập san khoa học định kì. Việc sáng tạo toán học chịu áp lực trực tiếp của nhu cầu thực tiễn, làm cho toán học chuyển sang giai đoạn nghiên cứu các yếu tố động, các phép biến đổi và sự phụ thuộc hàm số. Ăng ghen đã nói: “Đại lượng biến thiên của Đề Các là một bước ngoặc trong
toán học. Nhờ nó sự vận động và phép biện chứng đã xâm nhập vào toán học và cũng chính là nhờ nó, phép tính vi tích phân đã có sơ sở để xuất hiện và được Niuton, Lépnit hoàn thành chứ không phải do hai ông tạo ra.”
4.1.2. Toán học thế kỉ XVII và XVIII.
Thế kỉ XVII đã mở đầu tất cả, hoặc hầu như tất cả các ngành toán học mà ngày nay là cơ sở cổ điển của nền giáo dục toán học cao cấp. Điểm qua những thành tựu của thế kỉ XVII ta thấy:
Các công trình của Đề các và Phécma, lần đầu tiên, môn hình học giải tích được trình bày như là một phương pháp biểu thị các kích thước, các dạng và các tính chất hình học của các đối tượng bằng những hệ thức số, thực chất là phương pháp tọa độ.
Giải tích toán học đã bắt đầu xuất hiện dưới những hình thức khác nhau. Đầu tiên vào khoảng từ năm 1665 đến 1666, trong các công trình của Niuton, phép tính tích phân ra đời dưới dạng lí thuyết thông lượng (mãi đến thế kỉ thứ XVII mới xuất bản) và trong các tác phẩm của Lép nít (xuất bản trong các năm 1682 – 1688 và sau
nữa) nó có dạng phép tính các vi phân.
Ngay sau khi xuất hiện giải tích toán học, những bài toán cơ học và vật lí được viết dưới dạng các phương trình vi phân mà từ đó việc giải chúng gần như là nhiệm vụ chủ yếu nhất của toán bộ toán học. Từ giải tích, người ta nói đến những bài toán biến phân, mà việc giải chúng, về sau đã làm xuất hiện được tính biến phân, bộ phận ra đời sớm nhất của giải tích hàm.
Liên hệ mật thiết với giải tích, các ứng dụng hình học của nó tạo thành một phần riêng của toán học. Từ công thức bán kính cong của Kêple (Kepler Johann,
1571-1630) năm 1604 các biểu thức toán học của đường túc bế, thân khai của
Huyghen (1629-1695) năm 1673, đã trở thành môn hình học vi phân do Klerô
Bộ môn hình học xạ ảnh cũng đã xuất hiện. Năm 1636, Đêgiácgơ (1593 – 1662), kĩ sư và kiến trúc sư người pháp, người sáng tạo ra lí thuyết phối cảnh đã phát triển một cách hệ thống và đầy đủ sự biểu diễn phối cảnh hình học các phần xa
vô tận, phép đối hợp,… Ngoài Đêgiácgơ còn có Pascal (1640), Laghe (1685) đã đưa sự biểu diễn phối cảnh vào lí thuyết diện cônic. Hình học xạ ảnh được hoàn thiện bởi nhà toán học Pháp Pôngxơlê (Jean Victor Poncelet, 1788-1867). Hình học họa hình được đánh giá là quan trọng trong kiến trúc, kĩ thuật cơ khí … do nhà toán học Pháp Mônggiơ (Gaspard Monge, 1764-1818) đặt nền móng. Thực ra trong nhiều thế kỉ trươc đó, nhất là vào thời kì Trung cổ, việc xây dựng các đền đài lăng tẩm đều do những kiến trúc sư chỉ đạo. Họ đã phải sử dụng khá nhiều khái niệm về hình học họa hình nhưng tiếc là chưa có ai đúc kết thành kí thuyết và ghi lại thành sách. Công lao của Mônggiơ là xây dựng hình học họa hình thành lí luận, có tính ứng dụng cao.
Trong thế kỉ XVII, đại số ngày càng thoát khỏi các yếu tố hình học. Trong đó công cụ kí hiệu bằng chữ đã được củng cố. Lí thuyết tổng quát về các phương trình được xác định. Trong phạm vi này có thể kể:
- Việc xác lập và có đôi chút tiến triển của vấn để khả quy của các phương trình đại số
- Việc đặt cơ sở cho lí thuyết định thức và quy tắc, mang tên Cơrame, do Lépnit nêu ra năm 1693. Cần nói thêm rằng danh từ “định thức” mới được dùng từ năm 1815 (Do Côsi) và kí hiệu định thức được dùng từ năm 1841 (do Keli).
- Những cố gắng liên tục (những tất nhiên là vô hiệu) trong việc tìm cách giải bằng căn thức các phương trình bậc cao hơn bốn.
- Những cố gắng nhằm chứng minh định lí cơ bản của đại số và số nghiệm của phương trình đại số.
Lí thuyết được số phong phú thêm bởi những nghiên cứu xuất chúng của Phéc-
ma, quyết định sự phát triển về sau của nó. Đặc biệt, có hai định lí do ông phát biểu mà không chứng minh.
- Định lí Phéc-ma lớn “Phương trình Đi ô phăng xn + yn = zn, n > 2 và nguyên,
không có nghiệm nguyên dương”.
- Định lí Phéc-ma nhỏ: “Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên không chia hết
cho p thì ap-1 1 (mod p), nghĩa là ap-1 = 1 chia hết cho p. (Ơ le là người đầu tiên đã chứng minh định lí này, một định lí cơ sở của lí thuyết đồng dư).
Năm 1665, Pascan lần đầu tiên đã phát biểu nguyên lí của phép quy nạp toán học. Ông cùng với Phecma và Lepnit đã sáng tạo ra những khái niệm cơ bản về tổ hợp trong một loại bài báo.
Lí thuyết xác xuất mà những bài toán của nó cũng được nghiên cứu với lí thuyết tổ hợp, khoảng giữa thế kỉ thứ XVII đã bắt đầu được hình thành như một khoa học. Nhưng chỉ với những tác phẩm của Pascan, Phecma và Huyghen , khái niệm kì vọng toán học mới trở thành quen thuộc.
Vào cuối thế kỉ thứ XVII, Bec-nu-li (1654-1705) đã phát minh ra dạng đơn giản nhất của quy luật các số lớn (xuất bản năm 1713) hoàn thành giai đoạn đầu tiên của lịch sử lí thuyết xác xuất theo sự phân loại của Kônmôgôrốp.
4.1.3. Sự hoàn thiện của phương pháp và các công cụ tính toán trong thế kỉ thức XVII và XVIII.
Toán học ở thế kỉ XVII và đầu thế kỉ XVIII đã trải qua những khó khăn lớn lao, có tính chất toán thực hành, tập trung vào việc lập các bảng hàm số lượng giác và vấn đề xác định giá trị số .
Nhờ sự nỗ lực phi thường của các nhà bác học có tiếng và những người tính toán không tên tuổi, các bảng lượng giác đã lập xong, tính với các cung sai kém 2. Tham gia bảng tính có Cô-péc-níc, Kếp-lê, Buyghi, Vi-ét. Những bản này hết sức
cần thiết đối với những người đi biển, các nhà thiên văn, người xây dựng và nhà chế tạo.
Để tính toán người ta đã phải dùng những đường tròn có bán kính khổng lồ. Chẳng hạn để xác định sin 1’, Vi-et đã đưa về việc tính cạnh của một đa giác đều nội tiếp có 3.211cạnh và của đa giác đều ngoại tiếp có 3.212 cạnh. Kết quả là người ta đã được những giá trị gần đúng của số với độ chính xác cao. Sen Ksơ đã tìm được trên 700 số lẻ thập phân của , và từ đó không còn nhu cầu phục vụ thực hành nữa.
Lô-ga-rit được tìm thấy từ đầu thế kỉ XVII, nhưng cơ sở lí thuyết của nó thì đã được bàn đến từ lâu. Vấn đề là so sánh hai cấp số, cấp số cộng và cấp số nhân và mở rộng cho đầy đủ khái niệm lũy thừa. Nhiều nhà toán học đã liên tiếp khắc phục những khó khăn xây dựng xong bảng lô-ga-rít thập phân, lô-ga-rit Nêpe (cơ số e)
lô-ga-rit các hàm số lượng giác và từ năm 1620 đã lập xong thước tính logarit.
Trong khoảng chưa đầy một thế kỉ, các bảng logarit và thước tính logarit đã được phổ biến trên toàn thế giới và đã là một công cụ hỗ trợ không gì thay thế được trong tính toán. Logarit giữ vai trò đặc biệt quan trọng vào nửa sau thế kỉ thứ
XVIII, được coi là phương tiện trung gian làm giảm nhẹ phép tính trong lượng giác và thiên văn. Đầu tiên các tính chất của logarit được biết và được trình bày bằng ví dụ số. Từ cách viết bằng chữ (năm 1684) chuyển sang cách viết tắt (1742), chẳng hạn Lab= La+ Lb. Trong thời gian này các phép tính logarit là phép tính ngược của phép tính nâng lên lũy thừa và coi logaritt là một lũy thừa nào đó. Sự phân biệt kí hiệu Ln và log cho logarit tự nhiên và logarit thập phân đã có từ năm 1821 (do Cô
si).
Chúng ta nhận xét thấy rằng trong quá trình giải các bài toán để lập các bảng tính toán thuần túy đã xuất hiện những yếu tố của giải tích các đại lượng vô cùng bé. Đó là khái niệm về hàm số logarit do Nê-pe nêu ra và việc bỏ đi các đại lượng nhỏ, không đáng kể, chẳng hạn trong công trình của Bơ-ric. Ngược lại, việc áp
dụng các yếu tố của giải tích các đại lương vô cùng bé đã tạo ra phương pháp thuận lợi để tính các logarit.
Các nhà toán học thế kỉ thứ XVII cũng đã tìm ra được những con đường khác nhằm khắc phục khó khăn trong tính toán và đã bắt đầu xuất hiện những máy tính. Có lẽ chiếc máy tính cổ điển nhất là máy của giáo sư người Đức Vinhem Sichka (1623) dùng để giảng toán và thiên văn. Đến năm 1958 người ta mới tìm thấy sơ đồ và bản giải thích sơ đồ của máy này trong hồ sơ lưu trữ của Kếp le. Chính vì phát hiện muộn nên đến thời gian gần đây nhất người ta vẫn coi rằng Bơ-le Pat-xcan (1623-1662) là người làm ra chiếc máy tính kế toán đầu tiên (1642). Chiếc máy tính của Pat-xcan được xây dựng theo nguyên tắc bánh xe tạo ra một thiết bị đặc biệt, gọi là bánh xe Ốtne dùng trong các máy tính đơn sơ.
Nhiều phương pháp tính đã được tìm ra trong khi giải bằng số các phương trình đại số một cách gần đúng. Vi-et là người đầu tiên có ý nghĩ này. Niu-tơn đặc biệt chú ý đến phương pháp gần đúng ngay từ bước đầu cuộc đời sáng tạo toán học của ông. Năm 1676 Niu tơn trình bày phương pháp tính gần đúng nghiệm của các phương trình mà ngày nay còn trình bày trong các giáo trình đại số cao cấp và sơ cấp. Ta sẽ thấy rõ phương pháp của Niu tơn qua ví dụ giải phương trình: y3 – 2y – 5 = 0. Giả sử y = 2 là nghiệm của cần tìm, với sai số nhiều nhất là
10
1 , nghiệm đúng sẽ là biểu thức chứa y = 2 + p. Đưa giá trị này vào phương trình xuất phát ta được phương trình mới đối với ẩn p là: p3 + 6p2 + 10p – 1 = 0. Bỏ qua những lũy thừa bậc cao của p, ta được p = 0,1. Lại thay vào phương trình trên có giá trị p = 0,1 + q ta được một phương trình được biểu thị thành dãy: y = 2 + 0,1 –0,0054… (phương pháp này được Niu tơn phát triển để giải phương trình 2 ẩn).
Những thành từ mới mẻ vừa kể trên đã làm giàu thêm cho toán học sơ cấp. Đồng thời mỗi phát minh này cũng giúp ích nhiều cho sự phát triển của giải tích toán học và đại số cao cấp. Ở đây ta thấy sự phát triển gắn bó không phân chia
được trong toàn bộ các thành phần của toán học. Những quan niệm của toán học sơ cấp chuyển sang phạm vi cao cấp, ngược lại, toán học sơ cấp được bồi bổ bằng những sự kiện và quan điểm của toán học cao cấp. “Toán học sơ cấp” là một thuật ngữ chưa được định nghĩa và giải thích thống nhất. Sự phân chia toán học ra sơ cấp và cao cấp, mà ngày nay hay dùng, mang tính chất quy ước lịch sử, và không thể đòi hỏi có tính chất khoa học được.