Từ thế kỉ XIX đã nảy sinh những yếu tố mới của đại số, có khả năng dẫn đến những sự thay đổi cơ bản, chuẩn bị cho những nguyên lí của đại số hiện dại, tách
khỏi lí thuyết số trước đây và tách khỏi giải tích.
Nếu trước đây đại số nghiên cứu những vấn đề về giải phương trình, thì ngày nay trọng tâm lại là việc nghiên cứu các phép toán đại số được cho trong những tập hợp có bản chất tùy ý. Nói cho đúng thì trước đây đại số cùng nghiên cứu những
phép toán những là những phép toán liên quan đến đại lượng. Đối tượng của lí thuyết đại số hiện đại là cấu trúc.
Áp dụng phương pháp tiên đề ta hãy xét một cấu trúc đại số, đó là lí thuyết nhóm trừu tượng, một lí thuyết già nhất và cũng là đơn giản nhất. Chúng ta xét hai phép toán sau đây:
- Cộng các số thực, trong đó tổng 2 số thực (dương, âm, số không) được xác định như thông thường.
- Sự hợp thành của các phép dời hình trong không gian Ơclít 3 chiều. Kết quá
của sự hợp thành (tích) của hai phép dời hình T và S (lấy theo thứ tự đã cho) là
một phép dời hình nhận được do thực hiện liên tiếp phép T (tịnh tiến) rồi S (dối xứng).
Ta quy ước kí hiệu phần tử thứ ba suy từ hai phần tử x và y là x y, đó là một phép toán. Phân tích thì thấy trong cả hai ví dụ, phép toán này đều có tính chất:
a. Tính kết hợp của phép toán x y
b. Tồn tại phần tử e sao cho với mọi x: e x = x e = x
(Đối với ví dụ thứ nhất đó là số, đối với ví dụ thứ hai, đó là phép dời hình đồng nhất).
c) Với mỗi phần tử x, tồn tại phần tử x’ sao cho: x x’ = x’ x= e.
(Đối với ví dụ thứ nhất đó là số(-x), đối với ví dụ thứ hai, đó là phép dời hình
đảongược).
Từ đó các hệ quả logic khác từ hai ví dụ trên đều giống nhau.
Một tập hợp mà trên đó phép toán x y được đặc trưng bởi 3 tính chất trên gọi là một cấu trúc nhóm. Các tính chất trên được gọi là các tiên đề của nhóm.
Như vậy để xác định một cấu trúc, người ta đưa một hay một số quan hệ và phát biểu dưới dạng tiên đề những điều kiện ràng buộc của các quan hệ. Xãy dựng một lí thuyết tiên đề của một cấu trúc đã cho có nghĩa là dẫn ra các hệ quả logic từ các tiên đề của cấu trúc đó.
Lí thuyết nhóm xuất hiện lần đầu tiên do nhu cầu của đại số.
Lagơrăng (Joseph Louis Lagrange, 1736 - 1813, người Pháp) khảo sát nhóm các phép thế liên quan đến việc giải các phương trình bậc cao. Ngày nay lí thuyết nhóm được thâm nhập vào nhiều ngànhtoán học và phi toán.
Những quan hệ là điểm xuất phát trong định nghĩa của một cấu trúc. Quan hệ trong cấu trúc nhóm ở trên gọi là "quy luật hợp thành”. Đó là quan hệ giữa 3 phần tử và quan hệ ấy xác định một cách đơn trị phần tử thứ ba như là một hàm của 2
phần tử đầu.
Khi quan hệ là quy luật hợp thành thì cấu trúc tương ứng được gọi là cấu trúc đại số. Các cấu trúc đại số bao gồm: nhóm, vành, thể, trường, v.v... Một loại quan trọng khác là cấu trúc thứ tự, được xác định bởi quan hệ thứ tự, đó là quan hệ “x nhỏ hơn hay bằng y". Ở đây không giả thiết quan hệ này xác định một cách đơn trị một trong hai phần tử x, y như một hàm của phần tử kia. Các tiên đề mà quan hệ thứ tự phải thoả mãn là:
1. x, xRx
2. xRy, yRx x = y;
3. xRy, yRz xRz.
Chú ý là ta không sử dụng tiên đề sau "Dù x và y như thế nào thì cũng xảy ra
x/R/y hoặc yRx”. Tức là, ta không loại trừ trường hợp khi hai phần tử có thể không thể so sánh được.
Loại cấu trúc quan trọng thứ ba là cấu trúc tôpô.Trong các cấu trúc này, ta diễn tả các khái niệm toán học trừu tượng về lân cận, giới hạn, liên tục,...
Các cấu trúc là những công cụ của nhà toán học hiện đại. Nhóm Buốcbaki, một trường phái toán học lớn của Pháp, xem cấu trúc toán học là những đối tượng toán
học duy nhất. “Với hình thức tiên đề, toán học tự biểu thị là những dạng trừu tượng, đó là những cấu trúc toán học. Trong việc nghiên cứu các quá trình và hiện
tượng của hiện thực, có thể sử dụng những cấu trúc nàv như những vũ khí đã chuẩn bị sẵn” (Nicôlas Buốcbaki, tập I, 1939).
Dựa trên quan điểm này, họ không phân chia toán học theo lối cổ truyền: đại số, giải tích, lí thuyết số, hình học v.v... mà sắp xếp theo cấu trúc. Ở trung tâm có nhũng cấu trúc cơ bản gọi là cấu trúc mẹ. Từ các cấu trúc mẹ, bổ sung thêm tiên đề thì lại có những cấu trúc mới. Ví dụ, từ lí thuyết nhóm, suy ra lí thuyết nhóm hữu hạn, lí thuyết nhóm Aben, lí thuyết nhóm Aben hữu hạn,... Từ các tập hợp sắp thứ tự tuyến tính đi đến tập hợp sắp thứ tự hoàn toàn, tập hợp sắp thứ tự tốt, v.v... Từ những hạt nhân đầu tiên này lại xuất hiện những cấu trúc gọi là cấu trúc phức hợp.
Như vậy ta thấy đại số hiện đại khác với đại số cổ điển cả ở đối tượng, cả ở phương pháp. Đại số cổ điển phát triển trên cơ sở các phép toán số học và về cơ bản biểu thị những quy luật tính toán (angôrit). Đại số hiện đại tách rời khỏi con đường đó, thay thế tính toán bằng một hệ tiên đề, các phép toán được áp dụng đối với các tập hợp trừu tượng (các lớp, các hệ thống yếu tố',...) Những điều này cho
phép mở rộng phạm vi ứng dụng của các phương pháp đại số.
Đại số hiện đại xuất hiện là nhờ sự phát triển mạnh mẽ của lí thuyết tập hợp theo quan điểm của Căngto, của lí thuyết phương trình theo Galoa (Evariste Galois, 1811 - 1832, người Pháp). Sự hoàn chỉnh đạt được nhờ ảnh hưởng lớn lao của đại số logic của Bun. (George Boole, 1815 - 1864, nhà toán học người Anh).
Tên gọi “Đại sô' hiện đại’ là do Vande Vácđen (Vander Waerden B. L) nêu ra
từ khoảng cách năm 1930 - 1931 trong một tác phẩm ghi lại những kết quả thu lượm được từ trước cho đến bấy giờ. Mối liên hệgiữa đại sốhiện đại và logic ngày càng dễthấy. Cái tạo nên sự gần gũi đặc biệt đó là phương pháp giống nhau của cả hai ngành. Những kết quả của tư tưởng đại số mới đã đạt được bởi nhà toán học thế kỉ XX, làm thành một ngành mới quan trọng của kiến thức nhân loại.
Khuynh hướng trừu tượng hoá đối tượng mà đại số và hình học nghiên cứu, được biểu thị đầy đủ trong lí thuyết tập hợp và liên quan chặt chẽ với phương pháp tiên đề. Vì rằng những yếu tố của tập hợp có thể là những đối tượng tuỳ ý nào đó,
nên đối tượng của một ngành toán học nào đó cũng có thể được xác định nhờ lí
thuyết tập hợp. Vì vậy lí thuyết tập hợp đã trở thành một phương pháp phổ dụng mới, xâm nhập nhanh chóng toàn bộ toán học.
Lí thuyết ngây thơ về tập hợp được Căngto nêu ra vào năm 1879. Căngto (Georg Cantor, 1845 - 1918) là nhà toán học vĩ đại Đan Mạch, sinh tại Nga và hầu hết cuộc đời làm việc tại các trường đại học Đức (Gớttinghen, Béclin, Han).
Căngto là một trong những người đầu tiên nhấn mạnh tầm quan trọng của khái niệm tập hợp đối với toán học, coi đó là cơ sở của toán học hiện đại. Theo Căngto
thì: “Tập hợp là một toàn thể các đối tượng xác định được, xem như một cái gì hoàn chỉnh, toàn bộ”. Bản chất các đối tượng của tập hợp hoàn toàn tuỳ ý, có thể cụ thể hoặc trừu tượng. Điều cốt vếu là tính chất “thuộc”hay không thuộc tập hợp. Đó là một định nghĩa mô tả về tập hợp. Khi tiên đề hoá thì những khái niệm đó là những khái niệm nguyên thuỷ (tập hợp, phần tử, quan hệ thuộc).
Tính chất tùy ý của đối tượng trong định nghĩa của Căngto là cả về bản chất, cả về số lượng. Căngto công nhận tập hợp hữu hạn và cả tập hợp vô hạn, xem như một cái gì hoàn chỉnh, toàn bộ. Như vậy, Căngto đã sử dụng vô hạn hiện thực lần đầu
tiên trong lịch sử. Công nhận vô hạn hiện thực là một vấn đề rất quan trọng của cơ sở toán học. Giá trị của nó có thể thấy được ở vai trò của lí thuyết tập hợp hiện nay trong toán học.
Với vô hạn hiện thực, Căngto đã loại trừ được một số khó khăn mà trước đó
không giải quyết được trong toán học, chẳng hạn, từ thời Galilê (1564 - 1642,
người Ý) người ta đã biết lí luận sau: Giảsử: N = {1, 2, 3,..., n,... } là tập hợp số tự
là một bộ phận thực sự của N và hiển nhiên mỗi yếu tố của N tương ứng một yếu tố của N*. Sự kiện này trái với nguyên tắc cổ điển "bộ phận bé hơn toàn thể".
Khó khăn này được Căngto loại trừ nhờ định nghĩa trừu tượng sau đây: Giá sử A và B là hai tập hợp bất kì. Nếu giữa các yếu tố của chúng, ta có thể lập được mối tương ứng một đối một, ta bảo hai tập hợp đó là tương đương (theo quan điểm
củaCăngto).
Nếu A và B hữu hạn thì chúng có cùng một số yếu tố. Nếu A và B vô hạn ta nói
chúng có cùng lực lượng, ở ví dụ trên, N và N* đều có lực lượng đếm được, tức là có cùng lực lượng với dãy số tự nhiên. Cũng từ đấy, Căngto nêu định nghĩa về tập hợp vô hạn: ‘Tập hợp vô hạn là tập hợp tương đương với một tập hợp con thực sự của nó”.Như vậy, Căngto đã giải quyết được nghịch lí Galilê.
Những nghịch lí gai góc làm nảy sinh những lí thuyết đẹp đẽ, Căngto đã từ nghịch lí vừa trình bày, xây dựng một hệ thống số mới, tạo thành số học của các số
siêu hạn. 0 là số siêu hạnđầu tiên, đó là lực lượng đếm được ( đọc là “alép”, là chữ cái đầu tiên trong bảng chữ cái Cổ Do Thái).1 là lực lượng continum (lực lượng của tập hợp các số thực).
Trong số học này, một vài quy tắc phổ biến bị bãi bỏ. Ta gặp phương trình kì quặc, chẳng hạn 0 + 1 = 0. Đó chính là nghịch lí “Khách sạn Hinbe”: (“Khách sạn không còn buồng trống, nhưng vấn đề dễ giải quyết thôi, có ngay cho ngài một buồng!” chỉ cần chuyển khách ở buồng thứ nhất sang buồng thứ hai, rồi chuyển
khách ở buồng thứ hai sang buồng thứ ba, v.v... và như vậy là buồng thứ nhất trở thành buồng trống).
Ngoài các số a-lép (bản số), còn có các tự số. Các số siêu hạn chưa tìm được ứng dụng ngoài bản thân toán học. Trong nội bộ toán học, từ các số siêu hạn đã
kích thích hoàn thành các công trình về logic và triết học. Cùng với giả thuyết
Mặc dầu lí thuyết tập hợp được quan niệm là mẫu mực cho sự chặt chẽ toán học, bản thân nó lại xuất hiện một số mâu thuẫn trong lí luận. Ta nêu điển hình những nghịch lí sau đây về lí thuyết ngây thơ của tập hợp.
Nghịch lí Russel (thuộc loại logic): Giả sử là tập hợp tất cả các tập hợp, thế thì theo định nghĩa là một phần tửcủa nó, và như vậy trái với giả thiết đã nêu từ đầu.
Nghịch lí này có thể diễn tả lôgíc như sau: Theo logic cổ điển thì với bất kì lớp
C nào và với quan hệ thuộc thì: a) C C hoặc b)C C.
Ta gọi là chuẩn một lớp nào đó có tính chất b) và kí hiệu là Cb . Ta xác định họ
C* tất cả các lớp Cb, kí hiệu là: C* = { X / X = Cb} ( 1 )
Vấn đề đặt ra là : Lớp C* có là chuẩn không? Trả lời sẽ dẫn đến nghịch lí.
Thật vậy, nếu giảthiết C* không là chuẩn thì nó có tính chất a) tức là
C* C*. Cũng như mọi yếu tố X của (1), C* là chuẩn, trái với giả thiết, đi đến mâu thuẫn.
Ngược lại, giả sử C* là chuẩn thì nó có tính chất b) tức là C* C*.. Do đó C*
không thể là một yếu tố của (1), tức không phải là một lớp Cb, do dó không phải là một lớp chuẩn, trái với giả thiết. '
Nghịch lí Russel làm nẩy sinh nhiều tác phẩm. Nghịch lí này có thể diễn đạt thành lí luận sau đây của Skolem: Trong một thư viện có thể có một thư mục ghi tên tất cả sách của thư viện đó không, hoặc nghịch lí về người thợ cạo, v.v...
Nghịch lí Richard liên quan tới lí thuyết Căngto về vô hạn. Nghịch lí này được A. Mostovvski cải biên dưới dạng hàm mệnh đềnhư sau:
Tập hợp tất cả các hàm mệnh đề một biến tự nhiên P(x) có thể sắp xếp thành dãy vô hạn theo một tiêu chuẩn nào đó: P1(x); P2(x);…. (*)
Giá sử P(x) là hàm mệnh đề sau đây của một biến tự nhiên x: "Mệnh đề Px(x) là
thứ n. Vậv ta có thể viết: P(x) Pn(x) với mọi x tự nhiên. Nói riêng với x = n thì: P(n) Pn(n) (2).
Ta phân biệt hai trường hợp:
a. Mệnh đề P(n) là đúng, thế thì theo (1) Pn(n) là sai. Do đó P(n) 1 và Pn(n) 0 , trái với (2).
b. Mệnh đề P(n) là sai. Từ (2) rút ra Pn(n) là sai, do đó (1) là đúng với x = n,
nghĩa là Pn1, từ đây có mâu thuẫn.
Nghịch lí này có thể diễn đạt dân gian bằng nghịch lí của người nói dối.
Trong số những người chú ý đến những khó khăn này của lí thuyết tập hợp ngây thơ phải kể đến Bônzanô với tác phẩm “Nghịch lí về vô hạn”, Poăngcaré và sau đó là Russel. Từ việc nghiên cứu những nghịch lí loại logic của lí thuyết ngây thơ về tập hợp của Căngto, năm 1920, Russel viết tác phẩm ‘'Nguyên lí toán học”,
nhằm xây dựng cơ sở cho lí thuyết kiểu.
Để loại trừ những nghịch lí, các nhà khoa học đã để nhiều sức lực. Từ đó lí thuyết ngây thơ về tập hợp được hoàn thiện dần bằng cách tiên đề hoá lí thuyết tập hợp.
5.5. Logic toán và phương pháp tiên đề
5.5.1. Logic toán
Như đã thấy, trong lí thuyết tập hợp của Căngto có nhiều nghịch lí loại lôgíc, do việc áp dụng các luật logic cổ điển vào vô hạn (luật cấm mâu thuẫn, luật bài trung). Từ đó, một phương diện khác của vấn đề cơ sở toán học được khảo sát với
môn lôgíc toán.
Lấy một ví dụ khác: tính chất của hệ thống số tự nhiên được xác định bằng một hệ tiền đề rất đơn giản, nhưng lí thuyết số từ lâu đã đặt ra nhiều bài toán, phát biểu
dưới hình thức rất đơn giản mà đến mấy thế kỉ nay vẫn chưa ai giải được. Chẳng
hạn, bài toán Gônbách: “Bất kì số chẵn lớn hơn 2 nào cũng có thể phân tích thành tổng của 2 số nguyên tố”.
Từ đó nảy sinh vấn đề: Có phải là các bài toán trên có thể giải được nhưng rất khó khăn và phức tạp, hay là muốn giải những bài toán ấy, phải có những phương tiện logic nào khác mà ta chưa dùng không? Và trong toán học, thế nào là chứng minh, phải dùng những phương tiện gì trong khi chứng minh?
Lôgíc toán, khoa học nghiên cứu những chứng minh toán học và sự cấu tạo của các lí thuyết toán, học, các phương pháp giải quyết những vấn đề toán học đã trả lời những câu hỏi ấy. Theo quan điểm của Hinbe (David Hilbert, 1862 - 1943), lôgíc
toán giải quyết vấn đề toán học bằng các phép toán lôgíc vói những kí hiệu đặc biệt. Ngày nay, logic toán đã đi đến giai đoạn thuần tuý hình thức, vượt qua cố gắng và ước mơ của Lépnít.
Vì vậy lôgíc toán còn được gọi là lôgíc kí hiệu hay logic hình thức, một ngành toán học mới, có nhũng quy luật tương tự về cơ bản với đại số hiện đại. Cơ sở của
ngành logic toán được tập trung giải quyết sau năm 1900, khi Hinbe nêu rõ sự cần thiết phải thiết lập song song logic toán và số học để chứng minh tính phi mâu
thuẫn của mỗi một trong hai bộ môn đó.