4.2.1. Đề các (René Descartes, (1596-1650)
Ông là một nhà bác học người Pháp lỗi lạc, nhà triết học, vật lí học, toán học, sinh lí học. Cậu bé Rơnê Đề -các mồ côi cha mẹ từ thuở còn nằm nôi, vốn dòng quý tộc, đã được nuôi dưỡng, dạy dỗ trong môi trường dòng.
Từ nhỏ Đề-các đã rất chăm học, hay thắc mắc và mỗi khi không được người lớn giải đáp đến cặn kẽ thì thường không ăn ngon, ngủ không yên vì suy nghĩ, tìm hiểu vấn đề. Suốt đời, ông luôn tự cải tạo trong khoa học mà ông hết lòng say mê nó. Mục đích nghiên cứu của ông là sáng tạo ra phương pháp suy diễn toán học tổng quát cho việc nghiên cứu mọi vấn đề của khoa học tự nhiên. Chủ nghĩa duy lí trong quan niệm của Đề -các trước hết thừa nhận lí trí và sự suy diễn chặt chẽ là nhằm chống lại triết học kinh viện của nhà chung. Những quan hệ căng thẳng với
nhà thờ công giáo đã buộc ông phải chuyển sang Hà Lan vào năm 1629 (Ông sinh tại Hà Lan). Thái độ thù địch của những người theo chủ nghĩa thần bí buộc ông phải một lần nữa lánh sang Thụy Điển năm 1649, ở đây, một năm ông qua đời.
Ông là một nhà bác học duy vật. Đề các khẳng định vật chất là cơ sở duy nhất của tồn tại và nhận thức. Tính chất quan trọng của vật chất là tính phân chia được và tính cơ động. Bản chất của vật chất là đặc tính 3 chiều của nó. Đề các cho rằng toán học phản ánh những tính chất của vật chất. Toán học không thể chỉ là khoa học về số hoặc về hình. Toán là khoa học nhiều mặt, trong đó phải có tất cả các vấn
đề liên quan đến thứ tự và đo đạc. Toàn bộ nội dung của toán học phải được khảo sát theo những quan điểm thống nhất, được nghiên cứu bằng một phương pháp duy nhất. Bản thân tên gọi môn khoa học này cũng phải phản ánh được tính chất toàn diện của nó. Đề các đề nghị gọi nó là “Toán học vạn năng”. Những quan niệm chung này được nêu cụ thể trong tác phẩm nổi tiếng của ông “Phương pháp luận”
ra đời năm 1637 cùng với 3 phụ lục về “Quang học”, “Thiên văn học” và “ Hình
học”. Phụ lục thứ ba ngày nay ta gọi là hình học giải tích đã tôn ông lên hàng bất tử vì ông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa hình học và đại số.
4.2.2. Hình học giải tích của Đềcác
Mối liên hệ giữa đại số kí hiệu và hình học các đường cong, rất cần thiết đối với môn toán học vạn năng của Đề các được tìm thấy ngay khi xác lập được sự đẳng cấu của trường các số thực và trường các đoạn thẳng. Chỉ còn phải xác định các phép toán trên các đoạn thẳng sao cho chúng thực sự lập thành một trường. Tổng và hiệu các đoạn thẳng, rõ ràng cũng là đoạn thẳng, tức là những phần tử của trường các đoạn thẳng. Những khó khăn khi nhân và chia các đoạn thẳng đã được Đềcác khắc phục bằng cách đưa vào đoạn thẳng đơn vị và bằng cách dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư. Ông đã dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư giống như ngày nay người ta thường làm trong các sách giáo khoa về hình học.
Hai tư tưởng sau đây là cơ sở trong toàn bộ “Hình học” của Đề Các: đưa đại lượng biến thiên và sử dụng hệ tọa độ vuông góc.
Tập “Hình học” của Đềcác gồm 3 quyển
Quyển 1: Nói “Về các bài toán có thể giải được chỉ bằng các đường tròn và đường thẳng”. Nội dung cơ bản là những quy tắc lập phương trình cho những đường cong hình học. Ông đã chứng minh rằng mọi bài toán hình học có thể giải được bằng thước và compa đều đưa về việc giải các phương trình không cao hơn
bậc hai. Đềcác không trình bày cặn kẽ và tổng quát những quy tắc chung của môn
hình học giải tích mà chỉ xen vào giới thiệu trong lời giải những bài toán khó.
Quyển 2: Viết về “Bản chất của các đường cong” . Nội dung cơ bản là việc khảo sát cụ thể các đường cong bậc khác nhau, sự phân loại chúng và trình bày các tính chất của chúng. Đềcác phân loại đường cong căn cứ vào chỗ có thể khảo sát chúng bằng các công cụ do ông sử dụng hay không. Theo đó, những đường cong thừa nhận được là những đường cong có thể vạch ra bằng một chuyển động liên tục hoặc bằng một số những chuyển động như thế, trong đó chuyển động sau phải được xác định bởi chuyển động trước (nhờ thước và compa). Những đường con còn lại ông gọi là đường cong cơ học (về sau, Lépnit gọi là đường cong siêu việt. Các tính chất của đường cong tìm được một cách ngẫu nhiên nhờ những phương pháp đặc biệt, thiếu hệ thống, tổng quát.
Như vậy, ta có thể dựng được mọi đường cong thừa nhận được bằng một cơ cầu quay bản lề nào đó. Và, không cần chứng minh cũng có thể khẳng định trước rằng mọi đường cong đó đều được biểu thị bởi các phương trình đại số. Vậy là Đềcác đã giới thiệu trước một trong các định lí chủ yếu của động học cơ cáu (Kem-
pe chứng minh định lí này năm 1876). Nội dung của định lí đó là: nhờ các phép quay bản lề phẳng, trong đó chuyển động của những khâu trước hoàn toàn xác định
chuyển động của những khâu sau, có thể vạch được các cung của bất kì đường cong đại số nào và không thể vạch được những đường con siêu việt. Đềcác đã phân chia đường cong theo loại, căn cứ vào số phép quay bản lể và điều này là rất bất tiện. Về sau, Niutơn đã phân loại đường cong dựa theo bậc của phương trình.
Trong quyển 3, Đề Các cũng trình bày những định lí về phép dựng pháp tuyến và tiếp tuyến của đường cong. Ông đặc biệt nhấn mạnh ý nghĩa của các định lí nêu trên đối với quang học. Kết thúc quyển 2 là phần nói về khả năng mở rộng phương pháp Đềcác cho trường hợp 3 chiều, trong đó đã trình bày phương pháp biểu diễn đường cong ghềnh bằng cách chiếu nó lên hai mặt phẳng vuông góc nhau mà giao
tuyến của chúng là một trong các trục tọa độ. Tuy nhiên không thấy nói đến ba tọa độ của một điểm trong không gian và phương trình của các mặt.
Quyển 3: Đề cập “Những bài toán về các khối, các thể”. Nội dung là xây dựng lí thuyết tổng quát về việc giải phương trình và sử dụng quỹ tích cùng với các công cụ đại số để giải phương trình. Kí hiệu đại số của Đề Các đã không khác lắm với kí hiệu hiện đại. Mọi phương trình đều được coi là đã đưa về dạng Pn(x) =0, trong đó
Pn(x) là đa thức với các hệ số nguyên sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của x. Từ việc khảo sát vấn đề chia hết của Pn(x) cho ( x – a) trong đó a là nghiệm của phương trình, Đề Các đã rút ra kết luận sâu sắc rằng số nghiệm của phương trình bằng số mũ cao nhất. Đề Các cũng đã nói đến các nghiệm thực (dương), nghiệm giả (âm) và cả những nghiệm có thể tưởng tượng ra được (ảo và phức). Tuy nhiên ông chưa chứng minh được kết luận này. Mãi đến năm 1797, Gaoxơ mới chứng minh được điều đó.
Đề Các đã chứng tỏ rằng trong các dãy hệ số có bao nhiêu lần đổi dấu thì có bấy nhiêu nghiệm dương, và có bao nhiêu lần lặp dấu thì có bấy nhiêu nghiệm âm. Ông cũng đã nêu ra phương pháp biến đổi hệ số của phương trình để làm thay đổi các nghiệm theo ý muốn: tăng lên, giảm đi hoặc làm thay đổi dấu. Về vấn đề tính khả quy, tức là việc biểu diễn hàm số hữu tỉ nguyên với các hệ số hữu tỉ dưới dạng tích của các hàm số cùng loại ấy là một dự đoán xuất chúng. Đềcác đã chứng tỏ rằng phương trình bậc ba chỉ được giải bằng căn thức bậc hai (bằng thước và compa) nếu nó là khả quy. Ông đã đưa vấn đề tính khả quy của phương trình bậc 4 về vấn đềtính khả quy của phương trình bậc 3.
Hình học giải tích của Đề Các còn có nhiều thiếu sót. Trước hết, phạm vi của ngành khoa học này mới chỉ được bàn đến do những đòi hỏi xuất phát từ những nguồn gốc triết học, hơn là từ những nhu cầu của phương pháp và chỉ hạn chế trong việc khảo sát các đường cong đại số. Việc phân loại các đường cong đại số theo
loại, chứ không phải theo bậc của phương trình, theo biểu thức của chúng cũng chưa tốt.
Đềcác chưa làm xong việc áp dụng công cụ đại số vào hình học. Ông chưa mở rộng phương pháp của ông vào việc nghiên cứu tính chất các đường cong theo tính chất các phương trình tương ứng. Các trục toạ độ còn chưa được bình đẳng, chỉ có một trục luôn luôn được vạch ra, còn trục kia được vạch khi cần thiết. Dạng của đường cong cũng chỉ mới được nghiên cứu trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ, trong các góc phần tư khác chưa được chú ý.
Tuy nhiên tập “Hình học” của Đề Các đã đánh dấu một bước tiến có giá trị nguyên tắc trong việc cải tổ toán học và giá trị đó lớn đến mức độ làm cho tác phẩm này trở thành kinh điển. Tập “Hình học” của Đề Các còn nêu tư tưỏng mới có tác dụng phát triển đại số lí thuyết.
4.2.3. Hình học giải tích của Phécrna (Pierre de Fermat, 1601 - 1665)
Phécma xuất thân từ một gia đinh thương gia sống ở miền nam nước Pháp. Ông hoạt động về luật ở Tuludơ, làm cố vấn cho các cơ quan địa phương. Ông chỉ nghiên cứu toán học trong những lúc rỗi rãi. Ông đã đạt được những kết quả xuất sắc về lí thuyết số, về hình học, về phép tính các đại lượng vô cùng bé, về quang
học. Phécma không thích xuất bản các tác phẩm của mình, mà chỉ thông báo những thành tựu qua thư từ hay qua những cuộc tiếp xúc đàmluận với các nhà bác học lỗi lạc. Vì vậy tuyệt đại đa số những công trình nghiên cứu của Phécma chỉ xuất bản
sau khi ông mất, tức là từ năm 1679 về sau.
Sự xuất hiện môn hình học giải tích không phải là công lao riêng của Đềcác. Những người cùng thời cũng có những công trình, dưới dạng chưa đầy đủ, được Đề
Các cải biên phát triển lên. Đồng thời với Đề Các thì Phécma cũng có những cống hiến phát triển những quan điểm về hình học giải tích, tức là việc đưa ra hệ toạ độ vuông góc, việc ứng dụng các phương pháp đại số vào hình học. Tác phẩm “Nhập môn lí thuyết về quỹ tích phẳng và không gian” của Phécma được nhiều người biết
đến từ năm 1636, nhưng mãi đến năm 1679 mới được in cùng với các tác phẩm khác. Thời Phécma người ta gọi các quỹ tích có thể biểu diễn thành đường thẳng hoặc đường tròn là quỹ tích phẳng, còn các quỹ tích có thể biểu diễn thành các thiết diện côníc thì được gọi là quỹ tích không gian. Trong tác phẩm này, Phécma đã chứng tỏ rằng đường thẳng ứng với phương trình bậc nhất, và phương trình bậc hai thì ứng với các đường côníc. Ông đã tìm được dạng tổng quát của phương trình bậc 1 và bậc 2 bằng cách biến đổi hệ toạ độ (chuyển gốc và quay trục), đưa chúng về dạng chính tắc, làm dễ dàng cho việc giải thích hình học. Chẳng hạn, giả sử đã cho phương trình: 2x2 + 2y + y2 = a2. Viết lại nó dưới dạng: (x+ y)2 + x2 = a2. Chọn các trục mới x + y = 0, x = 0 thì các toạ độ mới sẽ là: x1 = x 2; y1 = x + y. Phương trình mới là: 2 12 2 12 2 = − y x a
Phécma nhận xét rằng đường cong này là elíp được đưa về đường kính liên hợp. Phécma đã mở rộng hình học giải tích trong việc nghiên cứu các quỹ tích không gian bằng cách xét sự giao nhau giữa các mặt và các mặt phẳng. Tuy nhiên
ông cũng chưa nêu ra các toạ dộ không gian và hình học giải tích trong không gian tất nhiên chưa hoàn thành.
Tập “Nhập môn lí thuyết về quỹ tích phang và không gian” của Phécma không có ảnh hưởng to lớn đối với toán học như tập “Hình học” của Đề Các. Có hai
nguyên nhân: Thứ nhất, nó được in ra rất chậm; thứ hai, nó được trình bày bằng ngôn ngữ đại số nặng nề, khó hiểu. Phécma hiểu rõ ông chỉ mới đạt được bước đầu trong ngành khoa học mới mẻ này. Ông nói thêm: “Tôi có phần hối hận về việc viết tác phẩm hơi sớm và chưa được chín muồi này. Tuy nhiên, trong khoa học, không giấu giếm các thế hệ kế tục những thành quả chưa được hoàn hảo cũng có lợi. Nhờ những phát minh mới của khoa học mà những quan niệm lúc đầu còn thô thiển, sơ sài sẽ được cùng cố và tăng cường”. Đó là một kinh nghiệm, một lời chỉ bảo rất quý báu trong công tác nghiên cứu khoa học.
Sự phát triển về sau của hình học giải tích chứng tỏ rằng quan niệm của Đềcác về một phương pháp duy nhất liên kết các phương pháp của đại số và hình học là không thể thực hiện được. Hình học giải tích đã trở thành một ngành của toán học nhưng vẫn không bao trùm lên đại số học. Đại số học vẫn tiếp tục phát triển độc lập và trở thành lí thuyết tổng quát về các phương trình. Còn hình học giải tích thì bước đầu phát triển hơi chậm chạp. Đến năm 1658, vấn đề parabôn nửa cubic mới được giải quyết, trong thành tựu này có sự tham gia của Nây (1637-1670), Vangâyrát
(sinh năm 1633) và Phécma. Năm 1679 Laghia (1640-1718) lần đầu tiên đã tìm ra cách viết phương trình các mặt. Song mãi đến năm 1700 Paran (1666-1716) mới có thể đưa ra được phương trình của mặt cầu và tiếp diện của nó. Trong tác phẩm
“Phân loại các đường cong bậc 3” (1704), Niutơn đã phần nào phát triển và sử dụng hình giải tích một cách có hệ thống. Trong tập hai của tác phẩm “Nhập môn của giải tích học” (1748) dành riêng cho hình học giải tích, ơle làm cho môn này có một phong thái khá gần với hiện đại. Trước ông, chỉ có Klerô (1713-1765) đã
mở rộng hình học giải tích cho không gian 3 chiều bằng cách đưa vào hệ toạ độ vuông góc 3 trục. Danh từ “Hình học giải tích” do nhà toán học, Viện sĩ hàn lâm Pháp Lacơroa (Lacroix Sylvestre Francois, 1764-1848) đạt ra từ cuối thế kỉ thứ
XVIII.
Sự xuất hiện của hình học giải tích trong toán học đã thực sự làm cho sự hình thành giải tích các đại lượng vô cùng bé được dễ dàng. Mặt khác, nó còn là công cụ cần thiết đối với Niutơn, Lagrănggiơ và ơle trong việc xây dựng cơ học, và là công cụ hết sức có hiệu quả để giải nhiều bài toán của “khoa học tự nhiên toán học”.