Từ thế kỉ XIX trở đi, toán học cao cấp cổ điển không ngừng phát triển và tiến xa hơn nữa. Nhưng từ cuối thế kỉ XIX, toán học đã có đặc điểm mới, đó là sự mở rộng đối tượng của toán học. Đây là đặc điểm bao trùm của toán học hiện đại.
Sự tích luỹ nhiều sụ kiện và kiến thức toán học ở thế kỉ XVII, XVIII đưa đến sự cần thiết phải phân tích chúng sâu sắc về lí luận và kết hợp chúng lại dưới những quan điểm tổng quát. Do đó vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đạc biệt quan trọng. Các cơ sở của toán học là hệ thống các vấn đề về lịch sử, logic,
triết học và hệ thống các lí thuyết toán học. Mục tiêu của cơ sở toán học nhằm xây dựng lại và thay đổi toàn bộ các vấn đề quan trọng nhất của toán học, tạo nên một hệ thống cơ sở chặt chẽ cho toán học, tương ứng với kinh nghiệm tiên tiến tích lũy được của tư tưởng con người. Tuy nhiên không nên quá cường điệu tính chặt chẽ của toán học. Ở khắp các thời đại, những tư tưởng toán học lớn đều đã xuất hiện sớm, đi trước tính chặt chẽ. Chẳng hạn với Niutơn và Lépnít, khái niệm “vô cùng bé" dùng đã thành tập quán, nhưng được định nghĩa hết sức mơ hồ và dường như khó hiểu đối với người đương thời, trong số đó, rõ ràng có cả các tác giả của nó. Điều ấy cũng xảy ra đối với những khái niệm cơ bản khác như “giới hạn”, “xác suất”, “ihuật toán”. Chúng đều được dùng mà không cần chờ đợi sự chính xác
hoá.
Khái niệm cốt yếu nhất của toán học là khái niệm “’chứng minh”', cũng ở trong tình trạng như thế. Từ khi người cổ Hi Lạp nói đến toán học thì điều này có nghĩa là chứng minh. Song khái niệm chứng minh mà chúng ta đã quen thuộc ở
trường phổ thông mang tính chất tâm lí nhiều hơn là toán học. Chứng minh, theo cách sử dụng từ này vẫn được mọi người công nhận, chẳng qua chỉ là một sự lập luận, thuyết phục chúng ta một cách chắc chắn đến mức chúng ta có thể dùng nó để thuyết phục lại những người khác. Tất nhiên việc chính xác hoá khái niệm này để nó chứa đựng một nội hàm hoàn hảo cũng là một trong những vấn đề quan trọng nhất của toán học.
Củng cố những kết quả đã đạt được theo tinh thần chặt chẽ toán học là một đặc điểm của toán học hiện đại. Hướng đi đó dẫn đến phải kiện toàn mạnh mẽ những cơ sở của toán học, làm sáng tỏ từng chi tiết cấu trúc của chính toán học và ý nghĩa của sự tồn tại các đối tượng của tư duy toán học. Chẳng hạn, với giải tích toán học, các khái niệm cơ bản về biến, hàm, giới hạn, liên tục đã thâm nhập toàn bộ toán học. Tư tưởng về chuyên động, biến đổi, tính chất duy vật biện chứng đã được đưa vào trong khuôn khổ những nghiên cứu chặt chẽ hơn, thoả đáng hơn. Nhờ vậy, toán học cao cấp cổ điển đến nay giữ được giá trị to lớn và vị trí tiên phong của mình. Trong phạm vị rộng rãi của toán học hiện đại luôn gặp những khái niệm của giải tích toán học, đặc biệt là lí thuyết phương trình vi phân (thường và đạo hàm riêng), công cụ quan trọng nhất để nghiên cứu tốc độ biến thiên cùa các đại lượng khác nhau. Hình học cũng đã tiến xa từ khi chính xác hoá khái niệm hàm và tính liên tục
của trục số. Giờ đây những ngành trẻ nhất của hình học (tôpô và hình học vi phân)
đang đứng trong những phần sôi động nhất và hiện đại nhất của toán học.
Thông thường việc xuất hiện những mô hình mới là sự chuyến biến có tính nguyên tắc trong quá trình phát triển của toán học. Việc phát minh ra các hình học
Phi Ơclít mở đầu cho một kỉ nguyên mới trong toán học, kỉ nguyên toán học hiện đại. Lí thuyết tập hợp của Căngto đã làm tăng thêm khả năng nghiên cứu chặt chẽ về tính vô hạn. Cụ thể, nó đã gắn khái niệm số lượng vào các tập hợp vô hạn, mà cho đến thời bấy giờ, vẫn chỉ bó hẹptrong phạm vi khái niệm số tự nhiên. Lí thuyết tập hợp đã cho một hệ thống phổ dụng các khái niệm bao trùm tất cả các lí thuyết
toán học đã biết thời bấy giờ. Trong quá trình phát triển tiếp theo, đã nảy sinh những vướng mắc cơ bản, mà cho đến ngày nay vẫn chưa được giải quyết hoàn
toàn.
Toán học hiện đại đưa ra những mô hình rất tổng quát và đủ chính xác để nghiên cứu thực tế xung quanh, khác hẳn với những mô hình kém tổng quát và thiếu chính xác mà các khoa học khác đưa ra. Thực tế bao giờ cũng phức tạp đến nỗi ngày nay, nếu thiếu những mô hình tinh giản, hình thức hoá, bao quát được dù chỉ là một mặt của hiện tượng, thì không đầy đủ. Mô hình toán học thuòng cho dưới dạng “ngôn ngữ" đặc biệt để mô tả các hiện tượng. Đáng chú ý là mặc dầu mô hình toán học được tạo ra bằng trí tuệ con người, nhưng nó sẽ được khám phá tiếp tục để có thể trở thành đối tượng nghiên cứu khách quan. Khi hiểu biết những tính chất của nó, chúng ta sẽ hiểu dược tính chất của thực tiễn mà mô hình đó biểu diễn. Đó cũng là một đặc thù của toán học hiện đại.
Những lí thuvết toán học mới được phát sinh nói chung đều bắt nguồn từ thực tiễn, nhưng thực tiễn ngày nay phải quan niệm rộng rãi và phong phú. Đó là nhu cầu trước mắt trực tiếp của khoa học thực nghiệm, của kĩ thuật. Đó là nhu cầu trong
một tương lai không xa của sản xuất và của các khoa học khác. Đó còn là nhu cầu
của việc xây dựng bản thân toán học, nhằm hoàn thiện công cụ để chuẩn bị dự trữ
cho lâu dài.
Nội dung của toán học có những thay đổi cực kì to lớn, đụng chạm đến những bộ phận, những quan niệm xa xưa được coi như bất di bất dịch. Trong khi nhiều ngành mới đã ra đời và nhanh chóng củng cố vị trí bằng những thành tựu bất ngờ, thì một số ngành cũ cũng tiếp tục thay da đổi thịt đến mức không còn nhận ra được nữa (chẳng hạn như Tôpô - Đại số).
Trước mhắt các nhà toán học đã mở ra những chân trời mới. Số các nhà toán
học và số các công trình toán học đã tăng lên đáng kể. Phần lớn các sáng tạo toán học xoay quanh những vấn đề thời sự nhất của toán học, tức là những hướng
nghiên cứu toán học đang làm nổi bật vị trí của nó trong toàn bộ khoa học và kĩ thuật hiện đại. Trong bước tiến vũ bão đó, giữa những trào lưu bề ngoài có vẻ lộn xộn, hình như khó mà nhận định được những nét chung, khó mà nêu được định nghĩa thích đáng cho toán học, trước cái bao la và đa dạng của tư liệu toán học, của một ngành khoa học đang độ phát triển.
Sự phát triển của toán học hiện đại không thể không kéo theo việc chuyên môn
hoá và phân lập. Toán học có nguy cơ bị mất tính thống nhất toàn vẹn và mối tương
quan nội tại. Từ đó xuất hiện yêu cầu cấp bách là phải hiểu biết tường tận bản chất của toán học. Vậy thì toán học là gì? Không thể nào đưa ra câu trả lời xác đáng nếu chỉ dựa trên quan điểm triết học, những định nghĩa hình thức hoặc những câu văn
dài dòng. Để hiểu biết thực chất của toán học phải đi vào các yếu tố cấu thành của nó. Tuy nhiên có người đồng tình, cho rằng: Toán học hiện đại trừu tượng hoá từng bước, suy diễn chặt chẽ hợp logic theo phương pháp tiên đề và tiếp theo đó, tổng quát hoá một cách rộng rãi hơn nữa.
Sự kiện toán học của thế kỉ XIX, XX vô cùng phong phú. Nhằm đúng mục đích
chuyên đề đã quy định, chúng ta giới hạn vấn đề trong việc giới thiệu một số sự kiện cơ bản, có ý nghĩa lớn lao của giai đoạn toán học hiện đại này.
5.2 Hình học Phi Ơclít
Mở đầu giai đoạn toán học hiện đại gắn với phát minh to lớn của Lôbasépski
(Nicolai Ivanovitch Lobatchevski, 1973 - 1856) và Bôlyai (Janos Bolyai, 1802 -
1860) về hình học Phi Ơclít (1826). Kônmôgôrốp cho phát minh này là điểm ngoặt của tư duy toán học thế kỉ XIX. Ý nghĩa về nguyên tắc là có khả năng mở rộng và khái quát đối tượng nghiên cứu hình hộc.
Lôbasépski, người Nga, là con một công chức nhỏ. Ông mồ côi cha sớm. Lúc còn nhỏ, ông học rất giỏi nên được vào Đại học Ka Zan lúc mới 14 tuổi. Năm 23
tuổi, ông được phong làm giáo sư toán học trường Đại học Kazan và năm 27 tuổi là viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học Kazan. Ông thường làm việc hết mình, không nề hà
bất cứ một công việc gì từ viện trưởng đại học cho đến nhân viên thư viện. Ông được Gaoxơ. (Carl Friedrich Gauss, 1977 - 1855, người Đức) mời làm viện sĩ Viện Hàn làm Khoa học Gơttingen. Sức khỏe ông bị giám sút nhanh do làm việc quá sức, cuối cùng ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép quyển
“Pangéométrie” nổi tiếng trong lịch sử hình học thế giới. Từ năm 1815, ông đeo đuổi phát minh hình học mới, xây dựng trên cơ sở phủ định tiên đề 5 của Ơclít. Các
nhà toán học đương thời chưa hiểu nổi ông. Cho đến năm 1840, Gaoxơ mới công nhận sự thành công của phát minh của ông và gọi là “hình học do”. Thực tế, hình học Lôbasépski và hình học Ơclít không đối đầu nhau mà là bổ sung cho nhau.
Bôlyai người Hunggari. Độc lập đối với Lôbasépski, Bôlyai đã suy nghĩ và phát hiện theo hướng hình học Phi Ơclít, tuy ông chưa đạt đến thành công như
Lôbasépski.
Việc phát minh ra hình học phi Ơclít cho ta thấy những khả năng sau:
Thứ nhất, thay thế tiên đề Ơclít bằng tiên đề mới thì có được hệ tiên đề hình học Phi Ơclít. Nói riêng, Lôbasépski và Bôlyai thay tiên đề về đường song song bằng tiên đề trái ngược (với mỗi đưòng thẳng của mặt phẳng tồn tại ít nhất hai đường thẳng song song với nó đi qua một điểm nằm ngoài đường thẳng cho trước) và xây dựng hình học Phi Ơclít, cái thường được gọi là hình học Hypebôlic. Trong hình học enliptic của Riơman thì không tồn tại dường thẳng song song.
Thứ hailà xuất phát từ những khái niệm và những tiên đề của hình học Ơclít có
thể xây dựng một số mô hình, và từ đó khảo sát chúng như những cấu trúc trừu tượng. Có khả năng có nhiều mô hình đối với cùng một hệ tiên đề, điều đó có ý
nghĩa to lớn đối với việc mởrộng đối tượng hình học.
Thứ ba là việc mở rộng hình học có thể đạt tới theo hướng tăng cường số chiều của không gian. Bên cạnh không gian thông thường có 3 chiều, có thể xây dựng các loại không gian trừu tượng nhiều chiều và cả vô hạn chiều. Việc xây dựng này
không phải là trò chơi hình học. Nhữngkhông gian nhiều chiều và vô hạn chiều có ứng dụng vào nhiều vấn đề về vật lí lí thuyết và hoá lí.
Riman (Berhard Riemann, 1826 - 1866, người Đức) năm 1854 đã đánh dấu một bước tiến mới trong việc mở rộng khái niệm về không gian. Không gian thực tế thường vẫn được hiểu trong hình học là một tập hợp liên tục những điểm. Tương tự như vậy, tập hợp liên tục của mọi trạng thái có thể có của bất kì một hệ thống vật chất nào, hay một tập hợp liên tục những hiện tượng; đồng nhất nào đấy cũng có thể xem như là một loại không gian.
Chẳng hạn, ví dụ sau đây là một loại không gian xuất hiện lần đầu tiên theo nghĩa đó.
Không gian màu sắc:Mỗi cảm giác M về màu sắc là sự hoà hợp của 3 màu sắc cơ bản: màu đỏ (Đ), màu xanh (X), màu vàng (V) với những cường độ xác định x,
y, z. Ta có thể viết: M = xĐ + yX + zV. Lí thuyết này được phát triển với các nhà toán học và vật lí học Grátman, He nhôn, Mắcxoen ... và có nhiều giá trị thực tiễn, chẳng hạn như trong vấn đề pha màu. Một ví dụ khác: Trạng thái chất khí đựng trong ống xi lanh của một máy bơm chẳng hạn, được xác định bởi áp suất p và
nhiệt độ tlà một không gian 2 chiều (hai bậc tự do p và t).
Nếu bậc tự do lớn hơn 3 thì cách biểu diễn bằng đồ thị không thể thực hiện được nữa. Để giữ được sự tương tự hình học thuận lợi, phải dùng đến sự biểu diễn không gian trừu tượng. Phương pháp không gian trừu tượng áp dụng rất rộng rãi trong cơ học, trong vật lí lí thuyết và hoá lí. Ngay trong hình học ta cũng khảo sát
những không gian trừu tượng mà “điểm” là những hình, như không gian các đường tròn, không gian các hình cầu, v.v... Đặc biệt quan trọng trong cơ học và lí thuyết tương đối của vật lí là không gian 4 chiều: hiện tượng khác nhau không chỉ do vị trí
Như vậy trong toán học hiện đại, khái niệm về không gian đã được mở rộng:
Không gian là lập hợp những đối tượng mà giữa chúng có những quan hệ tương tự về cấu trúc với những quan hệ trong không gian thông thường.
Đối với sự phát triển của hình học trong toán học hiện đại, ta chú ý 3 nguyên tắc có tính chất quyết định trong ý kiến sau đây của Lôbasépski:
- Không phải hình học ơclíl là duy nhất đúng, duy nhất hợp với lôgíc, mà có thể có những hình học khác.
- Cấu tạo lí thuyết cửa những hình học mới được xây dựng trên nguyên tắc thay đổi và tổng quát hoá những quan điểm cơ bản của hình học ơclít, tức là của không
gian thực nghiệm.
- Tính chân thực của một lí thuyết hình học có thể được nghiệm đúng với thí nghiệm, nhưng với trình độ khoa học tương lai, thí nghiệm cũng có thể tìm thấy sự thiếu chính xác trong quan hệ giữa hình học ơclít và tính chất thực tế của không gian.
Vật lí hiện đại hoàn toàn xác nhận quan điểm trên. Không những quan điểm đó
có tính chặt quyết định đối với sự phát triển của hình học mà là của cả toán học nói
chung.
5.3. Đại số hiện đại và cấu trúc toán học
Từ thế kỉ XIX đã nảy sinh những yếu tố mới của đại số, có khả năng dẫn đến những sự thay đổi cơ bản, chuẩn bị cho những nguyên lí của đại số hiện dại, tách
khỏi lí thuyết số trước đây và tách khỏi giải tích.
Nếu trước đây đại số nghiên cứu những vấn đề về giải phương trình, thì ngày nay trọng tâm lại là việc nghiên cứu các phép toán đại số được cho trong những tập hợp có bản chất tùy ý. Nói cho đúng thì trước đây đại số cùng nghiên cứu những
phép toán những là những phép toán liên quan đến đại lượng. Đối tượng của lí thuyết đại số hiện đại là cấu trúc.
Áp dụng phương pháp tiên đề ta hãy xét một cấu trúc đại số, đó là lí thuyết nhóm trừu tượng, một lí thuyết già nhất và cũng là đơn giản nhất. Chúng ta xét hai phép toán sau đây:
- Cộng các số thực, trong đó tổng 2 số thực (dương, âm, số không) được xác định như thông thường.
- Sự hợp thành của các phép dời hình trong không gian Ơclít 3 chiều. Kết quá
của sự hợp thành (tích) của hai phép dời hình T và S (lấy theo thứ tự đã cho) là
một phép dời hình nhận được do thực hiện liên tiếp phép T (tịnh tiến) rồi S (dối xứng).
Ta quy ước kí hiệu phần tử thứ ba suy từ hai phần tử x và y là x y, đó là một phép toán. Phân tích thì thấy trong cả hai ví dụ, phép toán này đều có tính chất:
a. Tính kết hợp của phép toán x y
b. Tồn tại phần tử e sao cho với mọi x: e x = x e = x
(Đối với ví dụ thứ nhất đó là số, đối với ví dụ thứ hai, đó là phép dời hình đồng nhất).
c) Với mỗi phần tử x, tồn tại phần tử x’ sao cho: x x’ = x’ x= e.
(Đối với ví dụ thứ nhất đó là số(-x), đối với ví dụ thứ hai, đó là phép dời hình
