4.3.1. Quá trình hình thành giải tích vô cùng bé
Trong toán học thế kỉ XVII, sự sáng tạo ra phép tính vi tích phân xứng đáng được coi là thành tựu lớn nhất. Các phép tính này được trình bày trong một loại tác phẩm của Niutơn, Lépnít và của các cộng tác viên của hai nhà bác học đó. Tuy
nhiên đây không phải là sự nghiệp của một vài cá nhân. Theo nhà toán học Pháp Điơđonnê (phát biểu năm 1964) thì: “Rõ ràng là trước Niutơn và Lépnít khá lâu,
các nhà toán học lỗi lạc của châu Âu giữa thế kỉ thứ wn đã biết cách giải một số lớn bài toán mà ngày nay chúng ta dùng phép tính ví phân và tích phân”.
Giải tích các đại lượng vô cùng bé được hoàn thiện dần qua một quá trình dài.
Nguyên nhân kích thích quá trình này trước hết là nhu cầu của cơ học, thiên văn học, vật lí học. Các khoa học này không phải chỉ đòi hỏi toán học giải quyết các bài toán cụ thể thuộc loại này hay loại khác, mà đã làm giàu cho toán học các khái niệm về đại lượng liên tục, chuyển động liên tục, về bản chất và các dạng quan hệ hàm số.
Toán học thế kỉ XVII đã có đủ những tiền đề cần thiết để xây dựng các phép tính về vô cùng bé. Đó là sự có mặt của môn đại số kí hiệu và kĩ thuật tính toán, việc áp dụng đại lượng biến thiên và phương pháp toạ độ vào trong toán học, sự quán triệt quan niệm về vi tích phân thời cổ, đặc biệt là của Ácsimét, sự tích luỹ các phương pháp giải bài toán tính cầu phương, lập phương, xác định trọng tâm, tìm tiếp tuyến, cực trị,...
Trong việc giải các bài toán thuộc các loại như thế, trong việc tìm kiếm những phương pháp chung để giải chúng, và do đó trong việc xây dựng các phép tính vô cùng bé đã có nhiều nhà bác học tham gia: Kếple, Galilê, Kavalêri, Tôrixenli, Pátscal, Valit, Rôbécvan, Phécma, Đềcác, Barâu và nhiều người khác nữa.
Để việc nghiên cứu quá trình phức tạp này được thuận tiện, ta chia các phương pháp dùng trong giải tích các vô cùng bé ra hai nhóm. Đầu tiên ta xét những phương pháp m ở đó biểu lộ những yếu tốcủa phép tính tích phân sau này, ta sẽ gọi chúng là phương pháp tích phân. Sau đó ta sẽ xét đến những phương pháp vi phân, tức là những phép giải toán bằng các công cụ đạo hàm, vi phân, chẳng hạn bài toán xác định tiếp tuyến, tìm cực đại cực tiểu của hàm số,...
Các phương pháp tích phân được tích luỹ dần trong quá trình giải các bài toán tính thể tích, diện tích, trọng tâm... Những bài toán cổ của Ácsirnét được xét đi, xét
lại. Việc tính toán trực tiếp với các đại lượng vô cùng bé trong nhiều vấn đề cụ thể dẫn đến phương pháp tích phân định hạn. Được công bố sớm nhất là tác phẩm của Kếple.
Iôgan Kếple (1571 - 1630) người Đức, là nhà thiên văn và là nhà toán học xuất sắc của thế kỉ XVII. Ông đã thực sự hiến dâng toàn bộ cuộc đời minh cho sự nghiên cứu, phát triển và tuyên truyền cho hệ nhật tâm của Côpécníc. Phân tích những tài liệu đổ sộ về khảo sát thiên văn, thì vào những năm 1609-1619, ông đã phát minh ra các định luật chuyển động của các hành tinh. Các quy luật này, ngày
nay còn mang tên ông.
a. Các hành tinh chuyển động theo các đường elíp. Mặt trời đứng ở một trong các tiêu điểm của nó.
b. Các bán kính vectơ cùa các hành tinh “quét” trong những khoảng thời gian bằng nhau những hình quạt diện tích bằng nhau.
c. Bình phương thời gian hành tinh quay quanh mặt trời tỉ lệ với lập phương khoảng cách trung bình từ nó đến mặt trời.
Nội dung của những quy luật này cho thấy rằng muốn chứng minh chúng bằng toán học thì việc nắm vững kĩ thuật tính toán, sự hiểu biết về các thiết diện cốníc và các công cụ đại số là không đủ. Bài toán tính diện tích các hình quạt elíp đòi hỏi phải biết sử dụng các đại lượng vô cùng bé. Nhiều bài toán có tính chất thực hành khác cũng đòi hỏi phải có kiến thức đó. Chẳng hạn, năm 1615, Kếple xuất bản cuốn
“Hình học không gian mới của các thùng rượu vang” trong đó ông nêu quy tắc thực tiễn để xác định thể tích thùng rượu vang. Phương pháp lấy tổng các đại lượng vô cùng bé đã được Kếple mở rộng từ việc tính thể tích các hình không phức tạp lắm (hình nón, hình trụ) sang các vật thể tạo nên do quay các thiết diện cônic. Ông đã khảo sát tất cả 92 dạng vật thể tròn xoay và đã gọi chúng, theo hình dáng bên
ngoài là: chanh, táo, anh đào, khăn xếp thổ nhĩ kì, bướu,... Chẳng hạn, “táo” là vật thể tạo thành bằng cách quay một hình viên phân lớn hơn nửa hình tròn quanh dây
cung của nó. Phương pháp tích phân của Kếple không có gì mới so với thời cổ Hi Lạp. Ông chia diện tích, thể tích thành từng “miếng nhỏ” rồi lấy tổng.
Cavalêri Bôna ventura (1598-1647), người Ý, học trò của Galilê, xuất thân
dòng dõi quý tộc. Ông nghiên cứu sâu sắc những quan điểm do Galilê và Kếple đề xướng và trình bày “Phương pháp các đại lượng không phân chia được” (1635).
Theo học thuyết này, khái niệm “không chia nhỏ được”, về bản chất, có cái gì khác việc chia nhỏ ra vô hạn thời cổ đại (có tính chất hình học liên tục). Theo Cavalêri
thì “điểm” là cái không chia nhỏ được đối với đường thẳng, “đường thẳng” không
chia nhỏ được đối với mặt phẳng, v.v... Mỗi cái không chia nhỏ được có độ tự do để qua chuyển động trở thành cái có số chiều lớn hơn. Cavalêri quan niệm: Diện tích một hình phẳng là "toàn thể các đoạn thẳng cắt hình đó song song với một tiếp tuyến nào đó của hình.”. Ông dùng khái niệm này để tính diện tích mảnh parabôn, tính thể tích hình nón, hình chóp...
Trong một tác phẩm khác “Sáu cuộc thí nghiệm hình học" (1647), Cavalêri đã trình bày nội dung phương pháp của ông một cách có hình tượng bằng cách đề nghị độc giả hình dung con nhện chăng tơ tạo thành các hình bằng những yếu tố không
phân chia được.
Tập hợp toàn thể các yếu tố không phân chia được do Cavalêri đưa ra, về thực chất, dẫn đến khái niệm tích phân định hạn. Phương pháp các đại lượng không phân chia được cho phép giải quyết nhiều bài toán khó mà trước đó không giải được. Có nhiều người nhiệt tình ủng hộ, trong đó có Tôrixenli. Theo Tôrixenli thì
với phương pháp của Cavalêri, những thế kỉ của Ácsimét và Ơclít đã trở thành những năm tháng thơ ấu so với trình độ hình học trưởng thành thế kỉ XVII. Bằng phương pháp không phân chia được, Tôrixenli đã xác định được thể tích củavật thể
tạo thành bằng cách quay một nhánh của hypebôn xung quanh một trong các trục của nó.
Tuy nhiên phương pháp này còn nhiều khuyết điểm. Trước hết nó không tiện lợi trong việc đo độ dài của các đường cong, vì rằng các phần tử không phân chia được ở đây (các điểm) là không có kích thước. Điều quan trọng nhất là sự thiếu rõ ràng của khái niệm “không phân chia được” gắn như thế nào với việc tạo thành diện tích từ các đường không có bề rộng, tạo thành các khối từ tập hợp vô hạn những mặt phẳng,... làm cho lí thuyết thiếu cơ sở. Cuối cùng, phương pháp này bị hạn chế do chưa sử dụng kí hiệu và công cụ đại số.
Pátxcan (Blaise Pascan, 1623 " 1662), nhà toán học “thần đồng” của nước Pháp đã cố gắng chính xác hoá quan điểm của Cavalêri, thay khái niệm “toàn thể”
bằng khái niệm “lấy tổng".Nhờ sự tương đương hình học của tích phân, định hạn, Pátxcan đã giải quyết nhiều bài toán về xác định diện tích, thể tích, mômen thống kê,... Pátxcan nêu rõ bàn chất quá trình tích phân, tích phân được xác định bằng một tổng số học nào đấy.
Với quan điểm “lấy tổng”, Pátxcan đưa khái niệm “bằng nhau” như sau: “Hai hình bằng nhau nếu hiệu của chúng bé hơn một đại lượng cho trước nào đó". Định nghĩa này khác với thời Cổ Hi Lạp và cũng khác với quan niệm của Cavalêri cho rằng: “Hai hình bằng nhau nếu mọi lát phẳng cách đều tiếp tuyến nào đấy là bằng nhau”.
Sự tương đương hình học của phép tích phân định hạn, xuất hiện như một phương pháp riêng của hình học (mà phần nào đã thấy từ thời Ácsimét), dần dần trở thành một phương pháp tổng quát của toán học. Giôn Valít (1616 - 1703), nhà
toán học người Anh, xuất phát từ phương pháp của Cavalêri, đã chuyển tỉ số các tổng các phần tử không phân chia được sang ngôn ngữ số học.
Các quan điểm mở rộng các yếu tố của phép tính tích phân đã được phổ biến rộng rãi trong các nhà toán học các nước Tây Âu. Trong những năm 60 của thế kỉ
XVII, các phương pháp tích phân đã bao trùm một lớp rất rộng các hàm số đại số và lượng giác.
4.3.1.2. Các phương pháp vi phân
Ở thế kỉ XVII xuất hiện đồng thời với các phương pháp tích phân là các phương pháp vi phân. Thời ấy những bài toán giải bằng phương pháp vi phân gồm ba loại: xác định các tiếp tuyến với đưòng cong, tìm số cực tiểu và cực đại của các hàm số, và tìm điều kiện tồn tại nghiệm bội trong các phương trình đại số. Liên quan mật thiết với nhóm các vấn đề này là những nhu cầu của cơ học nhằm xác định tốc độ tại điểm bất kì của quỹ đạo trong trường hợp chuyển động không đều.
Ở thế kỉ XVII, phép tính vi phân đã chín muồi trong sự kết hợp chặt chẽ với phép dựng hình cổ đại, những lập luận cơ học, hình học giải tích mới của Đề Các
và cấc lí luận vi phân.
Với trưòng phái Galilê, các phương pháp động học được áp dụng một cách hệ thống để tìm tiếp tuyến và pháp tuyến của các đường cong. Mặc dầu phương pháp dộng học rất quan trọng, nó vẫn bất tiện vì phụ thuộc đạc tính riêng biệt của đường cong, do đó không thể thuật toán hoá được. Phương pháp xác định tiếp tuyến có nhiều triển vọng hơn trong thời gian này là của Đề Các được trình bày trong quyển tập “Hình học”của ông.
Vấn đề tìm nghiêm bội của phương trình đại số, liên quan với phương pháp Đềcác đã được nhà toán học Hà Lan Guđê (1628-1704) phát triển.
Việc tích luỹ các yếu tố của phép tính vi phân biểu hiện rõ nhất ở Phécma. Năm 1638, trong lá thư gửi Đềcác, ông báo tin đã giải được bài toán xác định các cực trị của hàm số f(x). Phécma lập phương trình ( + )− ( )=0
h x f h x
f và giả thiết h = 0 sau
một số phép biến đổi ở vế trái. Phương pháp tìm tiếp tuyến với đường cong đại số của Phécma cũng gần với phép tính vi phân. Ông đã mở rộng phương pháp xác
định tiếp tuyến này cho trường hợp hàm số ẩn f(x, y) = 0. Biểu thức ông nhận được dễ dàng chuyển qua kí hiệu quen thuộc đối với chúng ta là: =0
+ y f y x f
Khoảng giữa thế kỉ XVII, loài người đã tích luỹ được một khối lượng đủ lớn các công cụ giải toán mà ngày nay ta gọi là phép tính vi phân. Tuy nhiên lúc bấy giờ các nhà toán học còn chưa phân biệt được phép tính vi phân với các khái niệm đạo hàm, vi phân. Cũng chưa có mối liên hệ rõ ràng giữa các phương pháp vi phân
và tích phân, tuy nhiên giải tích toán học đã được hình thành trong khuôn khổ cùa đại số, hình học, cơ học, tức là với những khoa học được hình thành trong thời kì
này.
4.3.1.3. Mối liên hệgiũa phương pháp vi phân và tích phân
Đây là giai đoạn cuối cùng của thời kì phôi thai ngành giải tích vô cùng bé. Có nhiều nguyên nhân đẫn đến sự thiết lập mối liên hệ đó. Một trong những nguyên nhân quan trọng nhất là bài toán được gọi là ngược với bài toán tiếp tuyến. Các bài toán loại này xác định các đường cong xuất phát từ tính chất chung của tất cả tiếp tuyến của chúng. Vấn đề không phải là việc tìm các hình bao của họ đường thẳng mà là xét các tính chất của tiếp tuyến, phụ thuộc vào vị trí của điểm tiếp xúc. Cách đặt vấn đề chung của bài toán loại này có thể phát biểu như sau: tìm y = f(x) từ điều kiện g(x, y, y’) = 0. Như vậy là ta đề cập đến sự cần thiết giải phương trình vi phân cấp một với hai biến số.
Các bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến có nguồn gốc thực tế. Chẳng hạn, các nhà hàng hải lưu ý đến đường cong của hướng đi thực, không đổi của con tàu. Đó là đường cong có những tiếp tuyến cắt các kinh tuyến vạch qua tiếp điểm dưới một góc không đổi. Những bài toán ngược khác của bài toán tiếp tuyến cũng được đặt ra trong quang hình học và trong động học.
Phương pháp đồ thị gần đúng không thể coi là công cụ thoả mãn việc giải những bài toán này. Đề các là người đầu tiên bắt tay vào việc tìm một phương pháp
tổng quát. Thực chất của những bài toán này là giải các phương trình vi phân, đưa đến phép lấy tích phân.
Gơrêgori (1638-1675) người Êcốt và Valít (1616 - 1703), người Anh đã đạt được một số kết quả riêng. Người đạt được kết quả tổng quát (mặc dầu vẫn phát triển theo ngôn ngữ hình học) là S. Barâu (1630 - 1677), người Anh học trò của Valít và là bạn của Niutơn. Kết quả này được xuất bản năm 1669 trong “Bài giảng về hình học và quang học”. Barâu dã giải một số lớn bài toán ngược của bài toán tiếp tuyến. Nhiều nhà bác học trong đó có Niutơn, Lépnít đã tìm hiểu tác phẩm này của Barâu. Có thể nói với Barâu, một loạt các công việc chuẩn bị cho sự nảy sinh phép tính vi tích phân đã kết thúc.
Trong lịch sử, phép tính vi tích phân chính thức xuất hiện đồng thời dưới hai
dạng: dạng lí thuyết thông lượng trong công trình của Niutơn và những người kế tục ông ở Anh, và dưới dạng phép tính vi phân của Lépnít, được truyền bá trước hết trên lục địa châu Âu.
4.3.2. Lí thuyết thông lượng của Niutơn (Isaac Newton, 1643 -1727)
Niutơn xuất thân trong một gia đình chủ trại ở Vunxto gần thành phố Cămbơrít
(Anh). Năm 23 tuổi, Niutơn tốt nghiệp trường Đại học tổng hợp Cămbơrít, nhận học vị “tú tài”. Năm 1668 nhận, học vị “cử nhân”, và một năm sau, năm 1669, thầy học của ông là Barâu nhường chức vụ chủ nhiệm tổ bộ môn của mình cho Niutơn, đó là hành động biểu lộ sự tôn trọng một thiên tài có nhiều thành tựụ khoa học. Niutơn đã viết những công trình toán học xuất sắc nhất trong thời gian ở Cămbơrít.
Niutơn hoạt động khoa học trên các lĩnh vực vật lí, cơ học, thiên văn và toán học. Ông phát minh hệ thống các định luật cơ bản của cơ học cổ điển, định luật vạn vật hấp dẫn, các định luật phân tích quang phổ và sự sáng tạo ra phép tính vi phân và tích phân dưới dạng “lí thuyết thông lượng”.
Trong lí thuyết thông lượng, Niutơn nghiên cứu những đại lượng biến thiên, được đưa vào như sự trừu tượng hoá các chuyển động cơ học liên tục thuộc các dạng khác nhau. Chúng được gọi là những thông lượng. Mọi thông lượng đều là các biến lượng phụ thuộc vào đối số là thời gian. Tiếp theo đó, Niutơn đưa vào khái niệm tốc độ chảy của các thông lượng, tức là đạo hàm của thông lượng theo thời gian, chúng được gọi là những thông vận. Vì thông vận là đại lượng biến thiên nên ta có thể tìm thông vận của thông vận, nếu kí hiệu thông lượng là y thì kí hiệu thông vận thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là y’, y”, y’”... Muốn tính các tốc độ tức thời, tức là các thông vận, cần những thay đổi vô cùng bé các thông lượng, mà Niutơn gọi là mômen. Kí hiệu của Niutơn không thuận tiện như kí hiệu vi phân, được dùng từ Lépnít và được phổ biến rộng rãi đến ngày nay. Tuy nhiên chúng vẫn còn được sử dụng trong cơ học.
Trong lí thuyết thông lượng, Niutơn đã giải quyết hai bài toán chính, được phát