4. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC
4.2.1 Hãy nghĩ đến những bài tốn liên quan
Những bài tốn liên quan cĩ thể là những bài tốn tương tự với bài tốn đã cho hoặc là bài tốn tổng quát hơn bài tốn đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của bài
tốn đã cho, thậm chí là bài tĩan na ná bài tốn đã cho,…Nghĩđến những bài tốn liên quan là để tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải các bài tốn đĩ. Ví dụ 24 :
Cho tam giác nhọn ABC, xác định một tam giác MPQ cĩ chu vi bé nhất, nội tiếp tam giác ABC (cĩ nghĩa là các đỉnh M, P, Q của tam giác MPQ lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC).
Bài tốn nĩi trên gợi cho ta nhớđến bài tốn quen thuộc sau đây ở lớp 8 như sau:
Bài tốn liên quan:
Cho gĩc nhọn xOy và một điểm M nằm trong gĩc đĩ. Hãy xác định điểm A và B lần lượt nằm trên hai tia Ox và Oy sao cho chu vi tam giác MAB bé nhất.
Bài tốn này được giải như sau:
Gọi M’, M’’ là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua đường thẳng Ox và Oy. Gọi A là giao điểm của đoạn thẳng M’M’’ với tia Ox và B là giao điểm của
đoạn thẳng M’M’’ với tia Oy .
Từ bài tốn đĩ và cách giải của nĩ ta tìm thấy lời giải của bài tốn ban đầu như
sau:
Giả sử MPQ là tam giác nội tiếp tam giác ABC. Gọi M’, M’’ lần lượt là các điểm
đối xứng với M lần lượt qua các đường thẳng AC và AB. Khi đĩ ta cĩ:
MP + PQ + QM = M’P + PQ + QM’’
Ta cĩ chu vi ∆MAB bằng:
MA + AB + BM = M’A + AB + BM’’ = M’M’’ Với hai điểm A’ và B’ khác A, B trên Ox và Oy, ta cĩ chu vi ∆MA’B’ bằng:
MA’ + A’B’ + B’M = M’A’+ A’B’ + B’M’’
Đường gấp khúc M’A’B’M’’ cĩ độ dài lớn hơn độ
dài đoạn thẳng M’M’’.
Vậy các điểm A, B như trên tạo nên tam giác MAB cĩ chu vi nhỏ nhất. P Q M' M'' A B M C y x A B M'' M' O M B' A'
Vì M’P + PQ + QM’’ ≥ M’M’’ nên ta suy ra: nếu đã chọn điểm M trên cạnh BC thì chu vi tam giác MPQ bé nhất khi và chỉ khi các điểm M’, P, Q, M’’ thẳng hàng, và chu vi của tam giác đĩ bằng độ dài đoạn thẳng M’M’’.
Vậy với mỗi vị trí của điểm M trên cạnh BC ta xác định được tam giác MPQ cĩ chu vi bé nhất.
Bài tốn được giải nếu ta xác định được vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho
đối với nĩ độ dài M’M’’ bé nhất.
Ta thấy đoạn thẳng AM’ và AM’’ đối xứng với đoạn thẳng AM lần lượt qua các
đường thẳng AC và AB nên ta cĩ AM’ = AM’’ = AM và gĩc M A M' '' 2= A, trong
đĩ A là gĩc ởđỉnh A của tam giác ABC, như vậy tam giác cân M’AM’’ cĩ cạnh bên bằng AM và gĩc ởđỉnh khơng đổi. Bởi vậy cạnh đáy M’M’’ bé nhất khi độ dài AM bé nhất. Suy ra M là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
Bằng cách lập luận tương tự ta cĩ P và Q cũng là chân đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC.