4. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC
4.2.2 Tìm cách vẽ thêm phần tử phụ
Nhiều khi phải vẽ thêm các phần tử phụ để tìm ra được những mối liên hệ mới. Nhờđĩ mà giải được bài tốn cần giải.
Ta xét một vài ví dụ: Ví dụ 25 :
Cho gĩc xOy. Một tứ giác ABCD cĩ A, B nằm trên Ox, C và D nằm trên Oy sao cho AB = CD. Gọi M và N là trung điểm hai cạnh AD và BC.Chứng minh rằng
đường thẳng MN song song với đường phân giác của gĩc xOy.
Cách 1:
Ta nhận thấy rằng bài tốn là hiển nhiên trong trường hợp đặc biệt khi OA = OD (và do đĩ OB = OC). Khi đĩ đường thẳng đi qua trung điểm M, N của AD và AC sẽ chứa tia phân giác Oz.
Từ nhận xét đĩ ta suy ra cách vẽ thêm hình phụ sau đây:
Trên tia Oy lấy điểm A’ và B’ sao cho OA’ = OA, OB’ = OB. Khi đĩ ABB’A’ là hình thang cân. Gọi M’ và N’ là trung điểm các cạnh AA’ và BB’ thì M’, N’ nằm trên Oz.
Ta phải chứng minh MN // M’N’. Dễ dàng chứng minh được MNN’M’ là hình bình hành.
Cách 2:
Vẽ thêm hình phụ xuất phát từ yêu cầu bài tốn: Từ M kẻ tia Mx’ // Ox và tia My’ // Oy và chứng minh rằng MN là phân giác của gĩc x’My’.
y x z N M B' N' M' o A A' B D C
x y N Q P M O B D C A
Từ đĩ ta cĩ ∆MPQ cân tại M và chứng minh được MN là phân giác của gĩc PMQ.
Cách 3:
Xuất phát từ một ý tưởng đơn giản sau đây: Nếu lấy một đường thẳng d⊥Oz thì bài tốn địi hỏi phải chứng minh MN⊥d.
Ta vẽ hình phụ như sau:
Lấy trên Ox và Oy hai điểm R và S sao cho OR = OS, ta được tam giác cân ORS và do đĩ Oz⊥RS. Như vậy ta phải chứng minh MN⊥RS.
Ta chứng minh như sau:
Vì M, N là trung điểm của AD và BC nên 2MN AB DCuuuur uuur uuur= + . Ta cĩ:
2 . ( )(OS OR)
.OS .OR .OS.cos .ORcos
0
= + −
= − + −
=
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
MN RS AB CD
AB CD AB BOC CD BOC
Vậy MN⊥RS
Ví dụ 26: (Định lí Ptoleme).
Tích các đường chéo của một tứ giác nội tiếp một đường trịn bằng tổng các tích các cặp đối.
Chứng minh:
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp một đường trịn (O), cĩ độ dài các cạnh và các
đường chéo là: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = e, BD = f.
Từ M, kẻ tia Mx’ song song với Ox, từ B kẻ tia Bt song song với AD, hai tia này cắt nhau ở P.
Từ M, kẻ tia My’song song với Oy, từ C kẻ Ct’song song với AD, hai tia này cắt nhau ở Q.
Ta chứng minh được ABPM và CDMQ là các hình bình hành. Do MA = MD nên suy ra BP = CQ và do AB = CD nên suy ra MP = MQ x y z S N M O B D C A R
b e d f a c P o A C D B
Cộng vế theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được: ac + bd = f.(AP + CP) = e.f
