4. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC
4.2.3Tìm tịi lời giải bằng cách xét một số
tự
Cĩ thể tìm tịi lời giải bằng cách xét một số trường hợp đặc biệt, tương tự….Việc xét các trường hợp này cĩ thể giúp học sinh dựđốn được kết quả cần tìm.
Ví dụ 27 :
Cho hai điểm cố định B và C. Với mỗi điểm A của mặt phẳng ta dựng các hình vuơng ACPQ và ABRS sao cho các gĩc định hướng PCA và ABR cùng bằng
2 2 k
π + π
. Chứng minh rằng đường thẳng PR luơn luơn đi qua một điểm O cốđịnh.
Tìm tịi lời giải:
Trước hết ta xác định điểm nào là điểm cốđịnh.
Xét hai vị trí đặc biệt của đường thẳng PR: A ≡ B và A ≡ C.
Tuy nhiên hãy thử giải tốn với một hạn chế là: điểm A thay đổi trên đoạn thẳng BC. I J O P Q S R B A C
Gọi I và J lần lượt là tâm các hình vuơng ABRS và ACPQ thì I và J là trung điểm hai cạnh AR và AP của tam giác vuơng PAR.
Nếu O là trung điểm PR thì OI // AP nên O nằm trên đường chéo BS. Tương tự OJ // AR nên O nằm trên đường chéo CQ.
Dựng gĩc ABP sao cho P thuộc đường chéo AC và ABP DBC=
Xét hai tam giác ABP và DBC, ta cĩ: ABP DBC= và BAP BDC= (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung BC). Suy ra ∆ABP đồng dạng với ∆DBC. Ta cĩ:
AB DB a f ac AP f.
AP DC= ⇒ AP = c ⇒ = (1)
Chứng minh tương tựđược:
∆BCP đồng dạng với ∆BDA và suy ra
Suy ra ∆BOC là tam giác vuơng cân đỉnh O và gĩc định hướng BOC bằng
2 2 k
π + π.
Vậy điểm O hồn tồn xác định và PR đi qua O. Kết hợp với O là trung điểm của PR, từđĩ suy ra lời giải trong trường hợp tổng quát như sau:
Lời giải
Gọi O là điểm sao cho BOC là tam giác vuơng cân đỉnh O và gĩc
định hướng BOC bằng 2 2 k
π + π. Giả sử Q và QC B là các phép quay tâm lần lượt là C và B, với gĩc quay đều là 2 2 k π + π . Khi đĩ Q QBo C biến điểm P thành điểm R. Gọi D D D1, ,2 3 lần lượt là các
phép đối xứng qua các đường thẳng OC, CB và OB thì
2 1 3 2
QC =D Do và QB =D Do .
Vậy:Q QBo C =D D D D3o 2o 2o 1=D D3o 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vì hai trục OC và OB của hai phép đối xứng D và D là vuơng gĩc v1 3 ới nhau nên tích Q QBo C là phép đối xứng qua điểm O. Vì phép đối xứng đĩ biến P thành R nên O là trung điểm của PR.
4.2.4 Tìm tịi theo sơ đồ “phân tích đi lên” hoặc sơ đồ “phân tích đi xuống” 1) Phân tích đi lên: Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A. Ta nhận xét rằng mệnh đề A sẽ chứng minh được nếu mệnh đề A1 đúng, mệnh đề A1đúng nếu mệnh đề A2 đúng...nghĩa là ta cĩ sơđồ sau đây: A ⇐A1⇐A2⇐....⇐An−1⇐An (1)
Sơ đồ trên cho thấy : để chứng minh mệnh đề A đúng, ta chỉ cần chứng minh mệnh đề An đúng.
Ví dụ 28:
Cho ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E trên các đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE. Gọi M, N là trung điểm của BC và DE,
đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh rằng
Q MPB M C= . O P Q S R B C A
Phân tích tìm lời giải:
Gọi O là trung điểm DC. Khi đĩ:
+ Muốn chứng minhMPB M C= Q ta chứng minh QPA=MQC (a) + Muốn chứng minh được (a) ta chứng minh
QCM =MNO và QPA NMO= (b) + Muốn chứng minh được (b) ta chứng minh
ON // QC và OM // AB (c) + Muốn chứng minh được (c) ta chứng minh
OD=OC và ND=NE
OD=OC và MB=MC (d)
+ Vì O là trung điểm DC và từ giả thiết: MB = MC, ND = NE nên (d) là
điều đã biết.
Muốn giải bài tốn, ta xuất phát từ O là trung điểm DC và đi từ (d) ngược lên (a) Ví dụ 29:
Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ
nửa đường trịn đường kính AM và nửa đường trịn đường kinh AD. Tiếp tuyến tại D của đường trịn nhỏ cắt nửa đường trịn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của
đường trịn lớn cắt nhau tại B. Nối P bất kì trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa
đường trịn nhỏ tại K.
Chứng minh rằng AP là phân giác của gĩc BAK.
P O Q N M B C A D E , , không thẳng hàng : BD = CE MB = MC; ND = NE : Q A B C GT KL MPB M C ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ =
K T B C D A P Q N tại D : BA AD tại A CB CD tại C P thuộc cung AC là phân giác : của góc DA DM CD AD GT AP KL BAK ⎧ = ⎪ ⊥ ⎪⎪ ⊥ ⎨ ⎪ ⊥ ⎪ ⎪⎩ ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ Phân tích tìm lời giải: Cách 1:
+ Muốn chứng minh AP là phân giác của gĩc BAK ta chứng minh
BAP KAP= .
+ Muốn chứng minh BAP KAP= ta chứng minh AB PQ» = » . + Muốn chứng minh AB PQ» = » ta chứng minh DP⊥AQ tại K. DP⊥AQ tại K vì AKD chắn nửa đường trịn đường kính AD
Lời giải tĩm tắt :
AKD=900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AD) Vậy DP⊥AQ tại K nên »AB PQ= » . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từđĩ suy ra:BAP KAP= (cùng chắn hai cung bằng nhau)
Cách 2:
+ Muốn chứng minh AP là phân giác của gĩc BAK. Phải chứng minh
BAP KAP=
+ Muốn chứng minh BAP KAP= ta tạo ra hai tam giác cĩ hai gĩc này. Từ P hạđường PN⊥AB và đi chứng minh cho tam giác vuơng NAP bằng tam giác vuơng KAP.
+ Muốn chứng minh hai tam giác vuơng NAP và KAP bằng nhau ta chứng minh NPA KPA= và cĩ AP là cạnh huyền.
+ Muốn chứng minh NPA KPA=
ta chứng minh NPA PAD= và PAD KPA=
(vì PN // DA - 2 góc so le trong) (vì 2 góc đáy của tam giác cân ADP)
NPA PAD PAD KPA
= =
+ Nếu An đúng thì ta kết luận A đúng
+ Nếu An sai ta chưa cĩ thể kết luận A đúng hay sai. Cịn muốn kết luận A sai ta phải đi ngược lại: A ⇒A1⇒A2⇒...⇒An 2) Phân tích đi xuống Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A. Ta nhận xét rằng nếu A đúng thì mệnh đề 1 A đúng, mệnh đề A1 đúng thì mệnh đề A2 đúng,..., nghĩa là ta cĩ sơđồ sau đây: A ⇒A1⇒A2⇒...⇒An (2)
Theo sơđồ trên, ta thấy rằng nếu An là mệnh đềđúng thì chưa thể kết luận được gì về A: nĩ cĩ thểđúng, cĩ thể sai. Tuy nhiên, sơđồđĩ nhiều khi cho ta một dựđốn rằng cĩ thể chứng minh được sơđồ sau:
An⇒An−1⇒...⇒A1⇒A
Khi đĩ, nếu mệnh đề An là đúng thì mệnh đề A được chứng minh.
Chú ý : trong sơđồ (2), nếu “An là mệnh đề sai” thì ta kết luận: “A là mệnh đề
sai”.
Ví dụ 30: (Tìm tịi lời giải bằng sơđồ phân tích đi xuống)
Cho O là giao điểm của hai đường chéo của hình thang ABCD (AB // CD). Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM = OB. Trên tia OB lấy điểm N sao cho ON = OA. Chứng minh rằng tứ giác CDMN là tứ giác nội tiếp.
Tìm tịi lời giải:
Giả sử CDMN nội tiếp được một đường trịn, ta chứng minh được sơđồ sau: CDMN nội tiếp ⇒ OM.OC = ON.OD ⇒ OB.OC=OA.OD ⇒ OA OB
OC OD=
Sơ đồ gợi cho ta cách chứng minh tứ
giác CDMN nội tiếp như sau:
+ Chứng minh ∆OAB và ∆OCD đồng dạng để cĩ OA OB OC OD= .
+ Từđĩ: OA OB
OC OD= ⇒ OA.OD = OB.OC ⇒ ON.OD = OM.OC ⇒ tứ giác CDMN
nội tiếp. A M D C N O B (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4.3 Trình bày lời giải của bài tốn:
- Khi đã biết được cách giải bài tốn cần phải trình bày lời giải một cách chính xác, mạch lạc, gọn gàng và sáng sủa.
- Trình tự trình bày trong lời giải cĩ thể rất khác với trình tự tìm tịi lời giải.