dạy học Toán
a. Tri thức phơng pháp đóng vai trò đặc biệt quan trọng vì chúng là cơ sở định hớng trực tiếp cho hoạt động
Yêu cầu của lý luận dạy học hiện đại là không những truyền thụ tri thức sự vật cho HS mà còn phải coi trọng đặc biệt việc truyền thụ tri thức phơng pháp. Chúng ta thờng nghe có câu nói rằng “phơng pháp là những cái gì còn
lại khi chúng ta đã quên đi những kiến thức đã học”. Nghĩa bóng của câu nói
này đã đủ nói lên vai trò không thể thiếu của tri thức phơng pháp trong học vấn của HS, cũng nh mục đích của dạy học nói chung là dạy học phơng pháp.
Đứng trớc một vấn đề cụ thể, nếu có đợc hệ thống các tri thức phơng pháp đầy đủ, HS sẽ dễ dàng tiến hành nhiều HĐ tìm tòi, khám phá các tri thức mới.
Ví dụ 1.3: Phơng pháp lợng giác hoá: đối với các bài toán đại số (giải
phơng trình, hệ phơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tính tích phân ) có…
chứa các biểu thức dạng a2−x2, a2+x2… (a > 0) thì ta có thể sử dụng phơng pháp lợng giác hoá. Chẳng hạn, ta xét một số bài toán cụ thể sau, đợc phát biểu ở dạng đại số nhng cách giải thờng gặp là lợng giác hoá:
1) Giải phơng trình 1−x2 =4x3−3x. 2) Tính tích phân ∫1 +
0(3 x2)2 dx
.
3) Chứng minh rằng f(a,c) ≤ f(a,b) + f(b,c) với f(x,y)= 1 x2 1 y2 y x + + − .
b. Tri thức phơng pháp giúp HS hình dung đợc sự hình thành và phát triển của tri thức sự vật, hiểu rõ hơn đợc bản chất của tri thức sự vật.
Ví dụ 1.4: áp dụng khi dạy tính chất: “Tổng các góc trong của một tứ giác là 3600”. Trong quá trình chuẩn bị bài học, GV yêu cầu mỗi HS đa bốn
hình tứ giác nh nhau có hình dạng bất kỳ đến lớp. Sau đó GV yêu cầu HS tìm cách ghép 4 tứ giác đó thành một hình có thể lấp kín một phần của mặt phẳng. GV có thể nêu câu hỏi “tại sao lại nh vậy?” để các em cho những câu trả lời. Đây là một tính chất đợc kiểm nghiệm thực tế nên HS có thể hình dung đợc và nắm vững kiến thức này hơn, tạo đợc hứng thú trong học tập cho các em hơn (Hình 1.1).
c. Tri thức phơng pháp góp phần quyết định trong việc hình thành, bồi dỡng các thao tác t duy của HS, trên cơ sở đó rèn luyện cho HS khả năng sáng tạo toán học.
Ví dụ 1.5: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a = 3, b = 4 và diện tích
S = 4 2 . Tính độ dài cạnh c.
Chúng ta có thể phân tích việc truyền thụ tri thức phơng pháp thông qua việc tìm kiếm lời giải của bài toán:
+ Làm rõ các tri thức sự vật xuất hiện trong bài toán: độ dài các cạnh và diện tích tam giác.
+ Các công thức liên quan đến các cạnh và diện tích tam giác. Hớng dẫn HS dùng phép phân tích đi xuống để tìm ra các giải:
+ muốn tính cạnh c khi biết a, b ta tìm cách tính cosC (chú ý là có thể không cần tính góc C).
+ giả thiết cho a, b và S ta tính đợc sinC.
+ sinC và cosC có quan hệ với nhau qua công thức sin2C + cos2C = 1. Nh vậy ta có đợc lời giải bài toán nh sau:
Từ công thức: S = absinC 2 1 ta có sinC = ab2S = 3 2 2 . Do sin2C+ cos2C = 1
nên cos2C = 1 − sin2C = 91 ⇒
− = = 3 1 C cos 3 1 C cos . Nếu cosC = 3 1 ta có c2 =a2+b2 −2abcosC=17 ⇒ c = 17.
Nếu cosC = −31 ta có c2 =a2 +b2−2abcosC=34 ⇒ c = 34. Vậy, độ dài cạnh c của tam giác là 17 hoặc 34.
Ví dụ 1.6: Giải phơng trình: 3x2+6x+7+ 5x2+10x+14=4−2x−x2.
Bài toán này nếu căn cứ vào các t duy lôgic bình thờng (tức là căn cứ trên những tri thức phơng pháp bình thờng) thì không thể giải đợc. Chúng ta phải sử dụng t duy linh hoạt, phải sử dụng khả năng quan sát, nhận xét, đánh giá tìm các mối liên hệ trong các biểu thức để tìm ra các giải. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta sẽ sử dụng cách đánh giá các biểu thức để tìm ra cách giải. Ta có: 3x2+6x+7 = 3(x+1)2+4≥2 3 9 ) 1 ( 5 14 10 5x2 + x+ = x+ 2 + ≥ Nh vậy, phơng trình có VT = 3x2+6x+7+ 5x2+10x+14≥5. Mặt khác, VP = 4−2x−x2 =5−(x+1)2 ≤5.
Từ đó phơng trình xảy ra khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 5 ⇔ x = −1. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = −1.
d. Tri thức phơng pháp chuẩn bị tốt nhất cho HS ứng xử và giải quyết những tình huống tơng tự trong học tập cũng nh trong cuộc sống.
Khi tập luyện cho HS các HĐ phân tích, trừu tợng hoá, khái quát hoá, tơng tự không phải chỉ trừu t… ợng hoá, khái quát hoá, tơng tự một vấn đề cụ thể mà…
còn hình thành cho HS một thao tác t duy hay một HĐ trí tuệ chung.
Việc HS đợc truyền thụ tri thức phơng pháp tìm lời giải bài toán thông qua bốn bớc mà G. Pôlya đã nêu: tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chơng trình giải, thực hiện chơng trình giải, kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải ([22]) có tác dụng rèn luyện cho HS khả năng phát hiện vấn đề, giải quyết các vấn đề tơng ứng trong thực tế. Việc truyền thụ cho HS những tri thức phơng
pháp có tính chất tìm đoán để giải một số loại bài toán cần thiết, nhng mục đích hàng đầu là HS không chỉ nắm vững các giải từng bài tập mà là rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để ứng phó với những tình huống mới mẻ, không lệ thuộc vào những khuôn mẫu có sẵn.
Ví dụ 1.7: Giải phơng trình: ( 3 3) 2 2 (1 x) (1 x) 2 1 x x 1 1+ − − − + = + −
Điều kiện có nghĩa của ẩn x là [−1; 1]. Đối với bài toán này, nếu ta sử dụng phép biến đổi tơng đơng thông thờng thì sẽ gặp nhiều khó khăn, có thể không tiếp tục nổi. Dựa vào đặc điểm của các biểu thức có mặt trong phơng trình ta có thể đặt:
x 1
u= − , v= 1+x.
Với cách đặt này, chúng ta phải tìm các điều kiện đối với u, v và các mối quan hệ giữa chúng. Ta có u ≥ 0, v ≥ 0 và u2+v2 =2. Khi đó, phơng trình (1) trở thành: (u v ) 2 uv uv 1+ 3− 3 = + ⇔ 1+uv(u−v)(2+uv)=2+uv ⇔ uv 2 v u2+ 2+ . (u – v) = 1 ⇔ u2−v2 = 2.
Nh vậy ta đã có hệ mới, đơn giản hơn:
= − = + 2 v u 2 v u 2 2 2 2 . Từ đây, ta có − = + = 2 2 2 v 2 2 2 u 2 2 ⇔ 2 2 x =− .
1.3.2. Một số cấp độ về dạy học tri thức phơng pháp
Trong trờng hợp này, tri thức phơng pháp là đối tợng trung tâm của một tình huống dạy học cụ thể, kết quả là tri thức này đợc trình bày một cách tổng quát và tờng minh dới dạng một quy tắc, một thuật toán hay một danh sách các lời khuyên, chỉ dẫn … ở cấp độ này, GV phải rèn luyện cho HS những HĐ dựa trên tri thức phơng pháp đợc phát biểu một cách tổng quát, không chỉ dừng ở mức độ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phơng pháp này. Từng bớc hành động, phải làm cho HS hiểu đợc ngôn ngữ diễn tả từng bớc đó và tập cho họ biết hành động dựa trên phơng tiện ngôn ngữ đó.
Dạy học tờng minh tri thức phơng pháp đợc phát biểu một cách tổng quát là một trong những cách thể hiện đối với những tri thức đợc quy định một cách tờng minh trong chơng trình. Mức độ hoàn chỉnh của tri thức phơng pháp cần dạy và mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành những tri thức phơng pháp đó đ- ợc quy định trong chơng trình và SGK hoặc cũng có khi đợc giáo viên quyết định căn cứ vào điều kiện cụ thể của lớp học.
Ta thờng áp dụng cấp độ này đối với những tri thức phơng pháp có tính chất thuật toán đợc quy định trong chơng trình, SGK, nh:
− Phơng pháp giải phơng trình bậc hai.
− Quy tắc tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0.
− Dạy học giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Mức độ chặt chẽ của quá trình dẫn tới các công thức nghiệm của phơng trình bậc hai đợc yêu cầu là phải chứng minh chứ không chỉ thừa nhận. Mức độ hoàn chỉnh của quy trình giải bài toán bằng cách lập phơng trình thì chỉ cần dừng lại ở bốn bớc lớn:
+ Chọn ẩn số, + Lập phơng trình, + Giải phơng trình,
+ Kết luận về lời giải bài toán
hoặc còn có thể chi tiết hơn cho mỗi bớc còn tuỳ thuộc vào nội dung hiện tại của chơng trình, SGK hay đặc điểm thực tế của lớp học.
Khác với cấp độ trên, ở đây tri thức phơng pháp không phải là đối tợng chủ yếu của một tình huống dạy học cụ thể mà chỉ cần đợc thông báo trong quá trình dạy học. Thông báo này có thể đợc lặp lại trong nhiều cơ hội khác nhau, ở nhiều thời điểm khác nhau. Đây là những trờng hợp thờng áp dụng cho các tri thức phơng pháp cha đợc quy định trong chơng trình nhng phải thoả mãn các yêu cầu:
+ Những tri thức phơng pháp này giúp HS dễ dàng thực hiện một số HĐ quan trọng nào đó đợc quy định trong chơng trình.
+ Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian.
Chẳng hạn, "quy lạ về quen" là một tri thức phơng pháp không đợc quy định trong chơng trình nhng thoả mãn cả hai điều kiện trên. Tri thức này có thể đợc thông báo cho HS trong quá trình họ HĐ ở rất nhiều cơ hội khác nhau, nh:
− Giải phơng trình bậc cao đa bằng cách chọn ẩn phụ thích hợp để đa về phơng trình bậc hai. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
− Chứng minh định lý sin trong tam giác bất kỳ đợc đa về trờng hợp tam giác vuông.
c. Truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện những HĐ ăn khớp với tri thức phơng pháp
Trong trờng hợp này tri thức phơng pháp không đợc trình bày một cách tổng quát, tờng minh dới dạng một quy tắc, một thuật toán; nó cũng không đợc thông báo một cách rõ ràng trong quá trình HĐ. Học sinh lĩnh hội nó một cách ngầm ẩn nhờ vào việc đợc thực hiện nhiều HĐ tơng thích với một chiến lợc, một định hớng giải quyết chung. Nói cách khác, đó là những HĐ ăn khớp với tri thức phơng pháp đang đợc nói đến. Mức độ hoàn chỉnh của tri thức phơng pháp này rất khác nhau ở mỗi HS vì nó hiện diện ở HS nh một kinh nghiệm mà họ tự rút ra đợc từ nhiều HĐ khác nhau.
Nh vậy, cách thức này có thể áp dụng đối với các tri thức phơng pháp đợc quy định rõ hay chỉ ngầm ẩn trong chơng trình, SGK.
Để HS lĩnh hội tốt hơn tri thức phơng pháp ta đang xét, ngời GV thờng phải tổ chức các HĐ theo một mục đích xác định trớc chứ không thể tuỳ tiện. Những tri thức phơng pháp này cần đợc GV vận dụng một cách có ý thức trong
việc ra bài tập, trong việc hớng dẫn và nhận xét hay bình luận các HĐ của HS. Nhờ những việc làm đó, HS đợc làm quen và có thể vận dụng trong quá trình HĐ.