đoán trong quá trình phát hiện giải quyết vấn đề
2.3.2.1. Toán học đợc xây dựng bằng phơng pháp suy diễn lôgic: xuất
phát từ những khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm và chứng minh các mệnh đề khác. Kỹ năng suy luận diễn dịch là một trong những kỹ năng đặc trng cho t duy toán học. Nhìn chung trong thực tế dạy học Toán đại trà hiện nay và dạy học Toán cho những HS chuyên Toán, việc rèn luyện cho HS kỹ năng suy diễn ít nhiều cha đợc quan tâm đúng mức. Một số lý do của thực trạng này có thể kể ra nh sau:
− Phơng pháp giảng dạy còn nặng về thuyết trình, thầy giảng - trò nghe, ghi chép... Theo cách này HS ít đợc HĐ.
− Giáo viên thờng tiến hành làm thay những bớc suy diễn mà HS cần và có thể thực hiện đợc.
− Giáo viên cha chuẩn bị tốt những tình huống s phạm rèn luyện khả năng suy diễn của HS. Các câu hỏi cha đợc phù hợp với các đối tợng HS, các bài tập còn trùng lặp về dạng, thiếu những bài toán có thể phát triển khả năng suy diễn...
− Cha khai thác tốt mối liên hệ giữa các chủ đề kiến thức với nhau, hạn chế đến sự suy diễn một cách tổng hợp (dẫn theo [30]).
Chẳng hạn, trong chơng trình Hình học lớp 10, khi dạy học định cosin trong tam giác, nhiều giáo viên nêu thẳng định lý: "Trong tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c, ta có A cos bc 2 c b a2 = 2+ 2− , B cos ca 2 a c b2 = 2 + 2− , C cos ab 2 b a c2 = 2 + 2− ."
và yêu cầu HS chứng minh. Cách làm này đã làm cho HS đứng trớc một kiến thức quan trọng quá "đột ngột". Trong khi đó, một cách hoàn toàn tốt hơn là khi dạy định lý này, chúng ta có thể dắt dẵn HS kiến tạo đợc nó từ việc khai thác suy diễn định lý Pitago hoặc tích vô hớng của hai véc tơ.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: "Để dạy một kiến thức nào đó, thầy giáo thờng không thể trao ngay cho HS điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thờng là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để HS chiếm lĩnh nó thông qua HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo".
Muốn rèn luyện, phát triển khả năng suy diễn cho HS, đặc biệt là những HS chuyên Toán, ngời GV phải tạo ra đợc nhiều cơ hội, nhiều tình huống để HS có thể tiến hành các HĐ suy diễn. Cần khai thác vấn đề này trên mọi nội dung dạy học, từ dạy học khái niệm, dạy học định lý hay dạy học giải bài tập toán. Những tình huống đặt ra có thể ở cả nhiều mức độ, từ dễ đến khó.
Khi dạy học định lý về sự biến thiên của hàm số bậc hai GV không nên nêu trực tiếp định lý và yêu cầu HS chứng minh mà nên đặt vấn đề, có thể gợi ý để HS khám phá ra định lý ấy. Trớc hết là đặt câu hỏi:
− Để xét sự biến thiên của hàm số trong trờng hợp này ta cần xem xét đại lợng nào?
Khi HS lập đợc tỷ số biến thiên I = a(x x ) b x x y y 2 1 2 1 2 1 = + + − − , GV không nên thông báo với HS rằng: nếu x1, x2 ∈
− ,+∞ a 2 b thì I>0, nếu x1, x2 ∈ −∞− a 2 b
, thì I<0, mà có thể tiếp tục nêu nêu câu hỏi để HS có thể suy luận đợc:
− Biểu thức I = a(x1+x2)+b sẽ chắc chắn là dơng (là âm) nếu nh x1, x2 thuộc các khoảng nào?
Từ đó sẽ suy ra đợc chiều biến thiên của hàm số.
Ví dụ 2.5: Trọng tâm của tứ giác (một khái niệm cha đợc biết trớc khi HS
học khái niệm véc tơ).
Sau khi HS đã biết tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, có thể nêu ra bài toán sau để HS xác định trọng tâm của tứ giác: "Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm O sao cho: OA+OB+OC+OD=0. Điểm O gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD"
HS phải tự mình suy diễn, liên hệ với những tri thức đã có về véc tơ, về tứ giác, về trung điểm, về trọng tâm tam giác để tìm ra kết quả của bài toán này.…
− Nếu vận dụng tính chất trung điểm, HS có thể viết: OA+OB+OC+OD= (OA+OB)+(OC+OD)
= 2OI+2OJ = 2(OI+OJ) (trong đó I, J là trung điểm của AB, CD) để suy ra điểm O cần tìm là trung điểm của IJ.
− Nếu vận dụng tính chất trọng tâm tam giác, HS cũng có thể thực hiện:
= + +
+OB OC OD
OA (OA+OB+OC)+OD
= 3OG+OD (với G là trọng tâm tam giác ABC) để suy ra O là điểm chia đoạn DG theo tỉ số k = −3.
Trong quá trình dạy học toán, rất nhiều tình huống gặp phải mà ở đó, HĐ suy diễn sẽ dẫn tới những áp dụng để giải quyết một số vấn đề liên quan. Trong
những trờng hợp này thờng dẫn tới việc HS tìm ra những tri thức phơng pháp quan trọng.
Ví dụ 2.6: Trong chủ đề véc tơ, lý thuyết viết rằng, véc tơ − không cùng phơng với mọi véc tơ. GV nên đặt vấn đề ngợc lại:
− Em có suy nghĩ gì về một véc tơ cùng phơng với hai véc tơ không cùng phơng cho trớc?
HS phải suy diễn rằng, véc tơ đó phải là véc tơ − không. Từ đây, cung cấp thêm cho HS một phơng pháp để chứng minh một véc tơ là véc tơ − không, đó là: "Để chứng minh v là véc tơ − không, ta cần chứng tỏ v cùng phơng với các véc tơ a và b (tức là tồn tại các số k, m sao cho v = ka, v = mb) với
a và b không cùng phơng".
Để củng cố thêm phơng pháp vừa tìm đợc có thể cho HS rèn luyện ngay các bài tập sau:
1) Cho ngũ giác đều A1A2An tâm O. Chứng minh rằng: 0
OA OA
OA1+ 2++ n= . Hình 2.7 minh họa cho trờng hợp n = 5. Đặt v = OA1+OA2++OAn. Do tính chất đối xứng của hình qua các đờng thẳng OA1 và OA2, ta chứng minh đợc v cùng phơng với các véc tơ OA1 và OA2. Vì OA1 và OA2 không cùng phơng nên suy ra v = 0.
2) Cho n véc tơ đôi một không cùng ph- ơng. Biết rằng tổng của n − 1 véc tơ bất kỳ cùng phơng với véc tơ còn lại, Tìm tổng của n véc tơ đó.
Ví dụ 2.7: Khi dạy về hàm số đồng biến và nghịch biến, có thể cho HS
trả lời câu hỏi:
− Hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch) biến trên (a; b), các số x1, x2 ∈
(a; b) và thoả mãn f(x1) = f(x2) thì có thể kết luận gì về chúng?
Sau khi HS trả lời đợc rằng x1 = x2 (đã đợc lập luận không thể xảy ra x1
>x2 hay x1< x2) GV có thể nêu hai hớng sau để HS tiếp tục suy diễn:
O A A A A A 2 1 4 3 1 5 Hình 2.7
Hớng thứ nhất: Nếu f(x2) là hằng số, tức f(x2) = m cố định, GV nêu tiếp câu hỏi sau để HS suy nghĩ:
− Hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) và m là một số cố định thì số nghiệm của phơng trình f(x) = m trên (a; b) là bao nhiêu?
Nếu HS gặp khó khăn, có thể GV gợi ý thêm, nếu phơng trình có hai nghiệm x1, x2, thì điều gì sẽ xảy ra? (Khi đó f(x1) = m = f(x2) ⇒ x1=x2).
Nh vậy phơng trình chỉ có thể vô nghiệm hoặc có một nghiệm. Bây giờ, GV có thể nhấn mạnh, trong trờng hợp này, nếu chỉ ra đợc một nghiệm của ph- ơng trình thì nghiệm đó là duy nhất. Đây cũng là một phơng pháp để giải phơng trình khá hiệu quả, đặc biệt là các phơng trình không mẫu mực, có thể đặt tên gọi: đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
áp dụng phơng pháp này có thể cho HS giải các bài toán sau: 1) Giải phơng trình x3+4x−16=0.
2) Giải phơng trình 4x−1+ 4x2 −1=1. (Hàm số ở vế trái đồng biến trên
;+∞ 2 1 và có nghiệm x = 2 1 nên đó là nghiệm duy nhất). 3) Giải phơng trình 4 x 3 10 x 2 6 = + + + .
(Điều kiện: x > −2. Hàm số ở vế trái nghịch biến trên (2, +∞) và có nghiệm x = −21 nên đó là nghiệm duy nhất).
Hớng thứ hai: Thay thế x1,x2bởi g1(x), g2(x), GV có thể nêu câu hỏi cho HS:
− Nếu thay thế x1, x2 ∈ (a; b) bởi các biểu thức g1(x) và g2(x) có miền xác định nằm trong (a; b) ta đợc điều gì?
Khi đó f[g1(x)] = f[g2(x)] ⇔ g1(x) = g2(x). Nh vậy, về mặt phơng trình ta đã thu đợc một phơng trình tơng đơng, đơn giản hơn phơng trình ban đầu. Đây cũng là một phơng pháp quan trọng để giải các phơng trình, đặc biệt là các ph- ơng trình không mẫu mực.
1) Giải phơng trình x2+x−3+x−1= x+4. Điều kiện x ≥ − 4. Đa về phơng trình:
(x+1)2+x+1=x+4+ x+4
⇔ (x+1)2+ (x+1)2 =x+4+ x+4.
Do hàm số f(t) = t+ t đồng biến trên [0,+∞) và (x+1)2; x+4 ≥ 0 nên phơng trình có dạng f((x+1)2)=f(x+4) ⇔ (x+1)2 =x+4. 2) Giải phơng trình 3x+7= x3+3x2+3x−5. Đa về 3 x+7>(x+1)3−6 ⇔ 3 x+7−3(x+1)3 =(x+1)3−(x+7) ⇔ 3 3 3 3 x+7+(x+7)= (x+1) +(x+1) , dẫn đến x+7=(x+1)3. 3) Giải phơng trình 2(x2+5− x−5)= x−5+1− x2+6.
Điều kiện x ≥ 5. Đa về 2(x2+5)−2 x−5= x−5+1− x2+6 ⇔
1 5 x 5 x 2 6 x ) 5 x (
2 2+ + 2+ = − + − + . Từ đó dẫn đến phơng trình đơn giản hơn là 5
x 5
x2+ = − .
2.3.2.2. Dự đoán là "đoán trớc tình hình, sự việc nào có thể xảy ra" (Từ
điển Tiếng Việt).
Trong [33], tác giả Đào Văn Trung viết: "Dự đoán thờng đợc mô tả là một phơng pháp t tởng đợc ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tợng và quy luật cha biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận."
Trong quá trình hình thành và phát triển của Toán học, rất nhiều các tri thức đã đợc tìm ra theo con đờng dự đoán, lập giả thuyết rồi sau đó mới đợc chứng minh. Nhà s phạm G. Pôlya đã phát biểu: "Toán học đợc coi nh là môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh, đợc xem nh chứng minh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhng Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải dự đoán một định lý toán học trớc khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi bạn chứng minh chi tiết chúng. Nếu việc dạy Toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý." [24, tr. 6].
Thực tế dạy học hiện nay cho thấy rằng, không ít các giáo viên đã tiến hành giảng dạy mà không đặt ra những tình huống để HS dự đoán. Lý do phần
nhiều đợc cho là nếu để cho HS dự đoán sẽ tốn nhiều thời gian của tiết học, ảnh hởng đến khối lợng tri thức cần truyền thụ.
Thực ra, cho HS dự đoán, tự tìm tòi, mò mẫm khám phá tri thức có thể mất nhiều thời gian nhng sẽ rất có ích cho việc phát triển t duy độc lập của HS cũng nh bản lĩnh của HS trong những tình huống cha biết cách giải trong Toán học cũng nh trong cuộc sống.
Đối với HS các lớp chuyên Toán, các em đã có một lợng kiến thức tơng đối, đã trải qua thử thách độc lập trong nhiều kỳ thi các em thích tự độc lập…
suy nghĩ, tìm tòi những tri thức cho riêng mình. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy những đối tợng HS này, GV cần phải đầu t bài giảng, tạo nhiều tình huống cần dự đoán để thử thách HS cũng nh giúp các em con đờng khám phá tri thức. Những sự áp đặt của giáo viên đối với các thao tác nh kẻ đờng phụ, biến đổi, thêm bớt một biểu thức, phân chia thành các trờng hợp riêng là hoàn toàn không…
thích hợp đối với những HS chuyên Toán mà HS phải đợc hiểu là vì sao lại làm nh thế.
Chúng ta có thể lấy một ví dụ sau đây (dẫn theo [30]).
Ví dụ 2.9: Khi rèn luyện cho HS giải toán về chủ đề bất đẳng thức, có thể
đa ra bài toán: Giả sử x và y là hai số thay đổi nhng luôn thoả mãn điều kiện x + y = 6, x ≥ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y2.
Thực tiễn s phạm cho thấy rất nhiều HS không giải đợc bài toán này, kể cả HS chuyên Toán lớp 10.
Bên cạnh đó, cũng có nhiều HS giải nh sau:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (1; 1) và (x; y) ta có: (1x + 1y)2 ≤ (12 + 12)(x2 +y2) ⇒ (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) ⇒ x2 + y2 ≥ 21 (x2 +y2). Nhng x + y = 6 nên x2 + y2≥ 18. Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + y2 là 18.
Sai lầm của lời giải là HS cha sử dụng hết các điều kiện ràng buộc của bài toán, cha hiểu một cách thấu đáo rằng: nếu biểu thức A luôn có giá trị ≥ a thì cha đủ để kết luận giá trị nhỏ nhất của nó là a (khi cha khẳng định đợc dấu "=" có thể xảy ra).
Chúng ta còn thấy nhiều HS giải bài toán này nh sau:
Trớc hết họ chứng minh x2 + y2 ≥ 18 (cũng chứng minh nh trên), sau đó họ đi tìm x và y thoả mãn điều kiện đã nêu của bài toán sao cho x2 + y2 = 18. Do
nhận thấy hệ = + ≥ = + 18 y x 4 x 6 y x 2 2
vô nghiệm nên họ kết luận rằng: biểu thức
x2 + y2 không có giá trị nhỏ nhất.
Sai lầm của lời giải này là ở chỗ, HS cho rằng nếu A ≥ a thì giá trị nhỏ nhất của A, nếu có, chỉ có thể bằng a. Mà bấy giờ A không thể bằng a đợc nên nó không có giá trị nhỏ nhất.
Thực ra, nếu A luôn lớn hơn hoặc bằng a thì vẫn có thể A còn luôn lớn hơn hoặc bằng một số b nào đó lớn hơn a, mặc dầu A không thể bằng a nhng lại có thể bằng b.
Nếu HS có thói quen mò mẫm, dự đoán, thì học sẽ biết thử một số trờng hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán − mà điều dự đoán ấy làm cơ sở cho việc tìm ra lời giải của bài toán:
Ta cho (x; y) một số cặp giá trị, tự nhiên nhất là hãy lần lợt cho x nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn. Đầu tiên, theo điều kiện đã nêu, ta cho x = 4, khi đó y = 2 và x2 + y2= 16 + 4 = 20.
Tiếp theo, một cách ngẫu nhiên ta xét x = 4,1; khi đó y = 1,9 và ta có x2
+ y2 = 20,42.
Tiếp nữa ta xét x = 4,5; khi đó x2 + y2 = 22,5.
Có thể lấy thêm một số trờng hợp nữa, có cả trờng hợp x là số nguyên cũng có cả trờng hợp x là số thập phân.
Ta nhận thấy rằng, dờng nh x càng lớn thì x2 + y2 cũng càng lớn. Mặt khác, x càng lớn tức là x − y càng lớn. Vì vậy ta có dự đoán rằng nếu x − y càng lớn thì x2 + y2 cũng càng lớn.
Nhng đó vẫn chỉ là dự đoán! Làm sao có thể khẳng định hoặc bác bỏ đợc điều dự đoán này? Ta có thể biểu diễn x2 + y2 (là biểu thức mà ta đang quan tâm) qua các đại lợng x + y (cái xuất hiện trong giả thiết) và x − y (là cái liên quan đến dự đoán của chúng ta).
Đơng nhiên là, để xuất hiện các luỹ thừa bậc 2, ta cần thực hiện phép bình phơng đối với x + y và x − y để có đợc (x + y)2 và (x − y)2. Với ý nghĩ cần phải biểu diễn x2 + y2 thông qua (x + y)2 và (x − y)2, ta nhận thấy rằng x2 + y2 = 2 ) y x ( ) y x
( + 2 + − 2, và trở lại bài toán ban đầu: tìm giá trị nhỏ nhất của