chuyên Toán lớp 10
2.1.1. Chơng trình Toán 10 và chơng trình chuyên Toán 10
a. Chơng trình Toán 10 (nâng cao) đợc quy định theo khung chơng trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, quy định theo các SGK Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao.
+ Kế hoạch dạy học, tổng số tiết: 4tiết / tuần ì 35 tuần = 140 tiết. + Hớng dẫn nội dung giảng dạy chi tiết:
A. Phần đại số bao gồm các chơng và các vấn đề cụ thể sau:
Chơng I: Mệnh đề. Tập hợp (13 tiết) bao gồm: Mệnh đề và mệnh đề chứa
biến; áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học; Tập hợp và các phép toán trên tập hợp; Số gần đúng và sai số.
Chơng II: Hàm số bậc nhất và bậc hai (10 tiết) bao gồm: Đại cơng về
hàm số; Hàm số bậc nhất; Hàm số bậc hai.
Chơng III: Phơng trình và hệ phơng trình (16 tiết) bao gồm: Đại cơng về
hệ phơng trình; Phơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn; Một số phơng trình quy về bậc nhất hoặc bậc hai; Hệ phơng trình bậc nhất nhiều ẩn; Một số ví dụ về hệ phơng trình bậc 2 hai ẩn.
Chơng IV: Bất đẳng thức và bất phơng trình (27 tiết) bao gồm: Bất đẳng
thức và chứng minh bất đẳng thức; Đại cơng về bất phơng trình; Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn; Dấu của nhị thức bậc nhất; Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn; Dấu của tam thức bậc hai; Bất ph- ơng trình bậc hai; Một số phơng trình và bất phơng trình quy về bậc hai.
Chơng V: Thống kê (9 tiết) bao gồm: Một vài khái niệm mở đầu; Trình
Chơng VI: Góc lợng giác và công thức lợng giác (11 tiết) bao gồm: Góc
và cung lợng giác; Giá trị lợng giác của góc (cung) lợng giác; Một số công thức lợng giác.
B. Phần Hình học bao gồm các chơng và các vấn đề cụ thể sau:
Chơng I: Véc tơ (14 tiết) bao gồm: Các định nghĩa; Tổng của các véc tơ;
Hiệu của hai véc tơ; Tích của một véc tơ với một số; Trục toạ độ và hệ trục toạ độ.
Chơng II: Tích vô hớng của hai véc tơ và ứng dụng (12 tiết) bao gồm:
Giá trị lợng giác của một góc; Tích vô hớng của hai véc tơ; Hệ thức lợng trong tam giác.
Chơng III: Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng (21 tiết) bao gồm: Phơng
trình của đờng thẳng; Khoảng cách và góc; Đờng tròn; Elip; Hypebol; Parabol; Ba đờng cônic.
b. Chơng trình chuyên Toán 10 đợc quy định theo "Hớng dẫn nội dung dạy học môn toán lớp 10 trờng THPT chuyên (áp dụng từ năm học 2006 −
2007)" của Bộ Giáo dục và Đào tạo
+ Kế hoạch dạy học, tổng số tiết: 4tiết / tuần ì 150% ì 35 tuần = 210 tiết, trong đó có 35 tiết dành cho việc giảng dạy các chuyên đề.
+ Nội dung giảng dạy, gồm 2 phần:
− Nội dung bắt buộc đối với mọi loại học sinh chuyên Toán.
− Các chuyên đề, bao gồm các chuyên đề bắt buộc và các chuyên đề không bắt buộc.
+ Hớng dẫn nội dung giảng dạy chi tiết
Nội dung bắt buộc
A. Phần Đại số bao gồm các chơng và các vấn đề sau:
Chơng I: Mệnh đề − Tập hợp − ánh xạ (22 tiết) bao gồm: Mệnh đề; Mệnh đề chứa biến; áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học; Tập hợp; ánh xạ.
Chơng II: Hàm số (20 tiết) bao gồm: Đại cơng về hàm số; Hàm số bậc
Chơng III: Bất đẳng thức (12 tiết) bao gồm: Định nghĩa và các tính chất
cơ bản; Một số phơng pháp đại số chứng minh bất đẳng thức; Một số bất đẳng thức cơ bản; Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức.
Chơng IV: Phơng trình, bất phơng trình đại số (18 tiết) bao gồm: Đại c-
ơng về phơng trình, bất phơng trình; Phơng trình, bất phơng trình bậc 2; Một số dạng phơng trình, bất phơng trình thờng gặp; Các phơng pháp đặc biệt giải ph- ơng trình.
Chơng V: Hệ phơng trình, bất phơng trình đại số (12 tiết) bao gồm: Đại
cơng về hệ phơng trình, bất phơng trình đại số; Một số dạng hệ phơng trình; Một số dạng hệ bất phơng trình.
Chơng VI: Thống kê (9 tiết).
Chơng VII: Các công thức lợng giác (8 tiết).
B. Phần Hình học gồm các chơng và các vấn đề sau:
Chơng I: Véc tơ (16 tiết) bao gồm: Véc tơ; Trục toạ độ; Hệ trục toạ độ. Chơng II: Tích vô hớng của hai véc tơ và ứng dụng (35 tiết) bao gồm:
Góc và giá trị lợng giác của một góc; Tích vô hớng của hai véc tơ; Các hệ thức lợng trong tam giác; Hệ thức lợng trong đờng tròn.
Chơng III: Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng (19 tiết) bao gồm: Phơng
trình đờng thẳng; Phơng trình đờng tròn; Ba đờng cônic.
Chơng IV: Các phép biến hình trong mặt phẳng (12 tiết) bao gồm: Đại c-
ơng về phép biến hình; Một số phép biến hình.
Các chuyên đề:
Chuyên đề 1: Bất đẳng thức (10 tiết)
Chuyên đề 2: Một số vấn đề của toán Tổ hợp (12 tiết) Chuyên đề 3: Hình học phẳng (13 tiết)
Chuyên đề 4: Lý thuyết đồng d − Hàm số số học (không bắt buộc)
Chuyên đề 5: Phơng trình nghiệm nguyên (không bắt buộc)
Chuyên đề 6: Một số yếu tố của lý thuyết Graph và ứng dụng (không bắt
2.1.2. Một số đặc điểm của chơng trình Toán 10 và chơng trình chuyên Toán 10
a. Chơng trình Toán 10 đợc thể hiện qua SGK Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao có một số đặc điểm:
- Loại bỏ những kiến thức không thật cơ bản, gây nhiều khó khăn cho học sinh.
- Giảm nhẹ lý thuyết, lợc bỏ và công nhận một số chúng minh; giảm một số yếu tố có tính chất hàm lâm, dù phải chấp nhận "hy sinh" phần nào tính chính xác khoa học.
- Đề cao các yếu tố mang tính s phạm, chỉ ra các HĐ ở các thời điểm để thầy trò xem xét.
- So với chơng trình cũ, chơng trình hiện hành có một số thay đổi về sắp
xếp nội dung, ví dụ đa phần Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng vào chơng trình
lớp 10 mà trớc đây ở chơng trình lớp 12.
- SGK mới thống nhất các kí hiệu về thuật ngữ đợc sử dụng, đáp ứng đợc yêu cầu của việc đổi mới PPDH, kiểm tra, đáng giá (có để cập nhiều câu hỏi trắc nghiệm khách quan).
b. Chơng trình chuyên Toán 10 đợc xây dựng dựa trên các căn cứ:
− Mục tiêu giáo dục của loại hình trờng THPT Chuyên nói chung và của các lớp chuyên Toán nói riêng;
− Thực trạng hiện nay của các lớp chuyên Toán trên toàn quốc;
− Chơng trình Toán 10 nâng cao hiện hành.
Nh vậy chơng trình chuyên Toán 10, đợc bổ sung, chú trọng đi sâu vào một số mảng kiến thức của chơng trình Toán 10 nâng cao, đặc biệt chú trọng đến mức độ tối thiểu HS cần đạt. Một số vấn đề đợc giữ nguyên cả về cấu trúc, nội dung và mức độ tối thiểu HS cần đạt, nh phần Sai số, số gần đúng hay phần thống kê. Bên cạnh đó, một số vấn đề đợc đa vào một cách hoàn toàn khác biệt nh phần tích Đềcác của các tập hợp, ánh xạ.
2.2. Một số định hớng s phạm của việc đề ra các biện pháp
Định h ớng 1 . Các biện pháp đợc xây dựng dựa trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình, SGK Toán 10, các tài liệu chuyên đề chuyên Toán 10 và các nguyên tắc dạy học.
Định h ớng 2 . Các biện pháp đợc xây dựng phải dựa trên định hớng đổi mới PPDH hiện nay; tạo cho HS có một môi trờng HĐ tích cực, tự giác, sáng tạo.
Định h ớng 3 . Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện đ- ợc trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học các lớp chuyên Toán.
Định h ớng 4 . Các biện pháp không chỉ sử dụng đợc trong dạy học cho chuyên Toán 10 mà còn có thể sử dụng đợc (với mức độ phù hợp) trong dạy học môn Toán nói chung.
2.3. Đề xuất một số biện pháp s phạm nhằm truyền tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong dạy học Toán 10 cho học sinh chuyên Toán
2.3.1.Biện pháp 1: Làm cho HS rõ nguồn gốc của tri thức, con đờng khám phá tri thức nhằm khơi dậy niềm ham thích say mê môn Toán.
Chúng ta có thể vận dụng tính biện chứng duy vật để hình thành cho HS quan điểm rằng: khi xem xét một sự vật phải nhận thức sự vật trong sự hình thành, phát triển và trong sự tự vận động của nó.
Học sinh chuyên Toán là những HS có những ham học hỏi, thích tìm hiểu tờng tận nguồn gốc của các vấn đề. Hơn nữa, các em cũng cần phải đợc trang bị những kiến thức nhất định về sự phát triển của Toán học, thông qua đó nắm đợc đối tợng của Toán học và giúp hiểu biết đúng đắn về Toán học. Lịch sử đã chứng tỏ rằng nhu cầu của HĐ thực tiễn là điều quyết định chủ yếu sự phát triển của Toán học. Theo Angghen, đối tợng của Toán học là những quan hệ số lợng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Tính chất trừu tợng của đối t- ợng Toán học chỉ che đậy nguồn gốc thực tế khách quan của mọi khái niệm toán học chứ không xoá bỏ nguồn gốc đó.
Trong quá trình dạy học Toán, ngời GV có rất nhiều cơ hội để giúp HS nhận thấy đợc nguồn gốc của tri thức và con đờng đã khám phá ra tri thức đó.
Có thể đa các tóm tắt lịch sử vấn đề, các mẩu chuyện toán học, các bài toán nổi tiếng lồng ghép một cách thích hợp trong bài giảng của mình làm bài giảng…
sinh động, kích thích sự học tập và tìm hiểu của HS.
Ví dụ 2.1: Một số vấn đề về véc tơ.
a. Định nghĩa véc tơ: "véc tơ là đoạn thẳng định hớng", nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. A B C D M N A B C D M N
Khi dạy học định nghĩa này có thể cho HS hiểu đợc các vấn đề sau:
− Nguồn gốc ra đời của khái niệm véc tơ: Trong Vật lý cũng nh trong
thực tiễn, để biểu diễn những đại lợng nh vận tốc, gia tốc của một chất điểm, lực tác dụng vào một vật cần thiết phải thể hiện đ… ợc hai yếu tố: độ lớn và hớng của nó. Khái niệm véc tơ ra đời một phần bắt nguồn từ đó.
− Bản chất vấn đề:
+) Với hai điểm xác định phân biệt A, B thì ta xác định đợc đoạn thẳng AB (hoặc BA). Nếu thêm dấu "→" vào điểm B ta có véc tơ với điểm đầu là A, điểm cuối là B, ký hiệu AB; nếu thêm dấu "→" vào điểm A ta có véc tơ với điểm đầu là B, điểm cuối là B, ký hiệu BA.
Nh vậy, đoạn thẳng AB và véc tơ AB là hoàn toàn khác nhau. Véc tơ AB chính là đoạn thẳng AB đã đợc định hớng (hớng từ điểm A đến điểm B). Hai véc tơ AB và BA cũng là hai véc tơ khác nhau. Do đó, ứng với mỗi đoạn thẳng ta có hai véc tơ khác nhau.
+) Với trờng hợp A, B trùng nhau, thì các véc tơ AA hay BB gọi là véc tơ − không, ký hiệu 0. Do đó, ứng với mỗi điểm ta có một véc tơ − không.
b. Khái niệm hai véc tơ cùng phơng, cùng hớng.
− Định nghĩa: hai véc tơ đợc gọi là cùng phơng nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Hai véc tơ cùng phơng thì cùng hớng hoặc ngợc hớng.
− Cơ sở của khái niệm hai véc tơ cùng phơng là khái niệm hai đờng
thẳng cùng phơng. Trên thực tế không phải mọi đại lợng có hớng luôn có ph- ơng, hớng nh nhau mà có sự phân biệt phơng, hớng giữa chúng nên từ đó có khái niệm phơng, hớng của các véc tơ.
C D M N C D M N A B C D E F M N P Q
các véc tơ cùng phơng các véc tơ không cùng phơng
− Bản chất của sự cùng hớng, ngợc hớng:
+ Hai véc tơ AB và CD cùng phơng (có giá song song với nhau) là cùng h- ớng vì chúng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng đi qua hai đầu mút A, C.
+ Hai véc tơ AB và EF cùng phơng (có giá song song với nhau) là ngợc hớng vì thuộc hai mặt phẳng đối nhau bờ là đờng thẳng đi qua hai đầu mút A, E
A B C D A B C D A B E F
c. Khái niệm tổng của hai véc tơ Hình 2.2
− Định nghĩa: Cho hai véc tơ a và b. Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B, C sao cho AB = a , BC = b. Khi đó véc tơ AC đợc gọi là tổng của hai véc tơ a và b, ký hiệu a + b.
Phép lấy tổng hai véc tơ gọi là phép cộng hai véc tơ.
A
B
C
− Khi dạy học khái niệm này giáo viên có thể cho HS biết:
+ Nguồn gốc khái niệm: Trong thực tế có những vật chịu cùng một lúc nhiều lực tác dụng lên nó, chẳng hạn: một vật treo trên sợi dây nằm ngang chịu tác dụng của trọng lực và sức căng sợi dây, một con thuyền đi qua con sông thì phụ thuộc vào vận tốc của nó và vận tốc dòng nớc Vấn đề đặt ra trong các ví…
dụ trên là hợp lực tác dụng lên vật hoặc thực sự vận tốc con thuyền nh thế nào. Từ đó khái niệm tổng của các véc tơ ra đời.
+ Bản chất đối tợng: Phép cộng hai véc tơ đợc định nghĩa nh trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm A ban đầu. Thật vậy, nếu chọn các điểm A', B', C' sao cho A'B' = a, B'C' = b thì ta cũng đợc A'C' =a + b = AC . A B C A' B' C'
Ví dụ 2.2: Về phơng pháp toạ độ ở trờng phổ thông.
Ngời đầu tiên sử dụng phơng pháp là R.Đêcac (1596 − 1650), nhà Triết học và Toán học ngời Pháp.
Việc định vị các điểm, các đờng, các hình trên mặt phẳng hay không…
gian cần những định lợng những giá trị xác định nó. Chẳng hạn, trong mặt
a b a b
b
a +
a
b
b
a +
a
b
b
a +
Hình 2.4 Hình 2.5phẳng toạ độ Oxy, các điểm đợc biểu diễn bằng những cặp số (x; y), các đờng thẳng đợc biểu thị bởi phơng trình ax + by + c = 0, đờng tròn đợc biểu diễn bởi phơng trình (x − a)2 + (y − b)2 = R2 có nghĩa là đã đ… ợc lợng hoá bằng những con số. Các tính chất hình học đợc chuyển thành những quan hệ đại số giữa những con số, các chữ và các phép toán. Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã lập đợc mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số. Ngời ta xem đây là một cuộc cách mạng trong Toán học nói chung và bộ môn hình học nói riêng vì đã thoát ra khỏi cái t duy cụ thể của không gian Vật lý để đạt tới đỉnh cao là sự trừu tợng và khái quát.
Ngày nay, trong chơng trình phổ thông, HS đợc học về véc tơ, các phép toán về véc tơ và dùng véc tơ làm phơng tiện trung gian để chuyển các khái niệm hình học và các mối quan hệ giữa chúng sang các khái niệm, quan hệ đại số. Một mặt khác nữa, với phơng pháp toạ độ, ngoài các không gian 1 chiều, 2 chiều, 3 chiều thông thờng còn có thể mở rộng thành không gian n chiều. Đây là sự khác biệt rất lớn giữa không gian cụ thể của Vật lý và không gian trừu t- ợng của Toán học.
Tuy nhiên, thực tế dạy học cũng cho thấy việc đại số hoá hình học sẽ làm cho HS không đợc rèn luyện nhiều về trí tởng tợng, đặc biệt là tởng tợng không gian. Trong phơng pháp toạ độ, HS có thể giải bài toán bằng những công thức, thuật toán đã biết trớc.
Hiện nay phơng pháp toạ độ vẫn là một trong những phơng pháp hữu hiệu để giải các bài toán ở trờng phổ thông. Khi dạy học về phơng pháp toạ độ, GV nên luyện tập cho HS giải một số bài toán để thấy rõ sự u việt của phơng pháp giải này so với các cách giải khác.
