Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác t
duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác
nhau của các quá trình đó. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả năng phân
tích và tổng hợp.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trờng xung quanh. Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phơng hớng cho sự phân tích tiếp theo [53, tr. 122].
Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [8, tr. 15].
Theo M. N. Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc hiện tợng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc
tính của chúng, cũng nh các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hớng nhất định. Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính nh vậy mới nhận thức đợc một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tợng. Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó. Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể. Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động t duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực.
Nh vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngợc nhng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của quá trình t duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp. Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm th- ờng) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau. Chúng là hai
mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Vì phân tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích một cái toàn thể là con đờng để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích- tổng hợp còn đợc thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hớng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu đợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2). Nh vậy, phân tích và
tổng hợp theo con đờng: tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2. Các thao tác phân
tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con ngời.
Trong giải toán, học sinh thờng phải thực hiện các thao tác phân tích, tổng hợp xen kẽ với nhau. Bẳng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán nh thế nào” đã đa ra quy trình 4 bớc để giải bài toán. Trong mỗi bớc tác giả đã đa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp,
đan xen nhau để thực hiện đợc 4 bớc của quá trình giải toán. Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thờng gắn bó khăng khít với nhau. Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hớng của quá trình tổng hợp). Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do chơng trình học tập yêu cầu, do học sinh biết đợc trong quá trình tự học vv...) chỉ có hữu hạn các phơng pháp giải, các phơng pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã đợc học, kiến thức tự tích luỹ...) của học sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thờng là:
Định hướng tìm tòi lời giải bài tập Nội dung và hình
thức của bài toán
Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán
Hướng 1 Nhận thức đề→Phân tích 1→ chọn lựa hoặc bác bỏ Hướng 2 Nhận thức đề→Phân tích 2→ chọn lựa hoặc bác bỏ Nhận thức đề→Phân tích k→ chọn lựa hoặc bác bỏ Hướng thứ k
Chọn lựa được hướng giải thích hợp
Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra lời giải của bài tập
Do vậy việc rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải đợc tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tợng, thậm chí có những quá trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này nhng lại “vô nghĩa ” với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tợng, nghiên cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trớc khi hớng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng. Dới đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cosA + cosB + cosC ≤23 (1) - Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos
2
B C+ cos
2
B C−
Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos
2 a b+ cos 2 a b− . 2 B C+ = 2 A π − ⇒ cos 2 B C+ = sin 2 A cosA = cos2 2 A = 1 - 2sin2 2 A .
Hoạt động phân tích này lại dựa trên cơ sở tổng hợp, liên tởng tới công
thức cos2a = 1- 2sin2a.
- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: (1) ⇔ 1 - 2sin2 2 A + 2cos 2 B C+ cos 2 B C− 3 2 ≤ ⇔ 4 sin2 2 A - 4 sin 2 A cos 2 B C− + 1 ≥ 0 ⇔ (2 sin 2 A - cos 2 B C− )2 + sin2 2 B C− ≥ 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng.
Theo G. Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí óc. Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy. Những chi tiết quá nhiều và quá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản. Đó là trờng
hợp của một ngời chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Trớc hết, phải hiểu bài toán nh một cái toàn bộ. Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiết nào là căn bản. Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia bài toán thành từng bớc và chú ý, không đi quá xa khi cha cần thiết” [44, tr. 74].
Khi bài toán cần giải đã đợc hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ giả thiết kết luận), đã tìm hiểu đợc mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chi tiết. Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
x -x x -x
3(9 + 9 )-10(3 + 3 ) + 9 = 0 (1) Đây là bài toán giải phơng trình không dễ dàng với học sinh mới học, mà nó đòi hỏi một khả năng vận dụng thành thạo kỹ năng phân tích để có thể đi tới đích bằng cách dùng nhiều lần phép rút gọn. Bên cạnh đó nó còn đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về một số dạng phơng trình đơn giản, một suy nghĩ đúng hớng thì mới phát hiện ra: x9 = (3 ) và -xx 2 9 = (3 ) Từ đó cho phép ta đặt: -x 2
x
3 = y > 0 ta đợc phơng trình mới theo y.
1 1
2
3(y + 2) 10(− y+ ) 9 0+ =
y
y (2)
Rõ ràng phơng trình (2) đơn giản hơn phơng trình (1). Tiếp tục phân tích:
1 1 2 ( )2 2 2 + = + − y y y
y gợi cho ta nghĩ tới đặt:
1 = + z y y ta có: 2 3z -10z + 3 = 0 (3)
Phép phân tích chấm dứt ở đây; với cơ sở là học sinh đã biết giải phơng trình bậc 2.
Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các yếu tố của nó. Chẳng hạn, ta có thể tạo nên một bài toán mới, dễ hơn mà trong trờng hợp cần thiết có thể dùng nh một bài toán phụ.
Đối với một bài toán trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tích phải hớng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giả thiết với kết luận. Trong Toán học, thờng đợc sử dụng hai phép phân tích:
* Phép phân tích đi lên (suy ngợc lùi): Tức là muốn chứng minh A thì ta
chỉ cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta chỉ cần chứng minh A2, ,…
cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta chỉ cần chứng minh An. Khi An là điều đã biết (tiên đề, định nghĩa, định lí ) thì … dừng lại. Theo tam đoạn luận có điều
kiện vì An đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy tam đoạn luận có điều kiện). Ta có sơ đồ sau:
Phép phân tích đi lên thờng đợc dùng để tìm lời giải.
Về phép phân tích đi lên, loài ngời đã biết từ cách đây từ 300 năm trớc Công nguyên, bắt đầu từ Hy lạp, với phát biểu của Pappus trong cuốn “Nghệ
thuật giải toán”, Pappus nói: “Ta muốn đạt đợc kết quả mong muốn thì phải đi
từ kết quả đó, rồi muốn đạt đợc kết quả này thì phải đi từ kết quả trớc nữa…
cho đến cuối cùng ta tìm đợc một điều đã biết hay đã đợc công nhận là đúng”.
Ta gọi đó là quá trình phân tích đi lên hay lí luận giật lùi (suy ngợc lùi). Để vận
dụng phép phân tích đi lên, Platon đề ra bài toán: “Làm thế nào để mang 6 lít n-
ớc từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 loại thùng, một thùng 4 lít và một thùng 9
lít”.
Giả sử thùng 9 lít là A, thùng 4 lít là B thì ta có dãy phân tích sau: Rút 9 lít từ A ra 2 lần 4 lít bằng thùng B, còn 1 lít đổ 1 lít qua B Trong B đã có 1 lít Lấy 9 lít từ A sang B 3 lít Trong A còn 6 lít mang về liên tưởng liên tưởng liên tưởng An An-1 An-2 ... A2 A1 A
Trong giải Toán, phân tích là một bớc hết sức quan trọng. Qua phân tích ta tìm đợc phơng án giải bài toán. Trong bớc phân tích, ta cần xác định đợc mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm.
* Phép phân tích đi xuống (suy ngợc tiến): Đợc diễn đạt nh sau:
Giả sử có A, từ A ta suy ra A1, tức là A ⇒ A1, từ A1 ta suy ra A2 tức là A1 ⇒ A2,..., An ⇒ An-1 ⇒ An. Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại vì khi đó
chắc chắn là A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện. Còn An đúng thì cha có thể kết luận gì đợc vì A có thể sai hoặc đúng. Chỉ khi nào bảo đảm rằng An ⇒ An-1 ⇒ An-2 ⇒... ⇒ A là đúng thì mới kết luận đợc A là đúng.
Sơ đồ nh sau: A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒... ⇒ An-1 ⇒ A
Trong quá trình dạy học giáo viên cần hớng dẫn học sinh dùng phép suy ngợc để tìm lời giải, dùng phép suy xuôi để trình bày lời giải.
Ví dụ 3: CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b ∈R+ và a ≠b.
Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a3 + b3 suy ra nó lớn hơn a2b + ab2 là điều không dễ. Do đó giáo viên có thể hớng dẫn học sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải:
Ta có: a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) a2b +ab2 = ab(a + b)
Do đó: a3 + b3 > a2b +ab2 ⇐ a2 - ab +b2> ab ⇐ (a –b)2 >0 (a ≠b)
Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải: Vì a, b ∈R+ và a ≠b nên a + b >0, (a –b)2 >0.
a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) = (a+b)[(a - b)2 + ab] = (a+b)(a - b)2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a2b +ab2. (đpcm)
Khi giải Toán trớc tiên phải nhìn bao quát xem bài toán thuộc loại gì, phải phân tích cái đã cho, cái phải tìm. Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho. Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài toán. Phải biết cách nhìn bài toán dới dạng chính quy mẫu mực. Đây là cách nhìn chủ yếu vào đặc điểm chủ yếu của bài toán. Cách nhìn này giúp ta phát hiện đợc các điểm cơ bản, đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc rối. Tuy nhiên, lại phải
biết cách nhìn bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Đồng thời cũng phải luyện tập thờng xuyên, ngời giải mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán, mới có đợc những điều muốn nói của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán. Với bài toán đại số nhng lại phải liên tởng đến chẳng hạn phạm vi lợng giác, hình học,... và ngợc lại.
