2.1.2.1. Khái quát hoá: Theo G. Pôlia, “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [43, tr. 21].
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [31, tr. 55].
Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến phơng pháp t duy khái quát. Đúng nh Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con ngời tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con ngời mới có thể hiểu đợc nó”. Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt” [56, tr.170].
Ví dụ, khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việc nghiên cứu những đa thức bậc tuỳ ý. Hoặc khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu hệ thức lợng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu những hệ thức lợng trong tam giác thờng.
Trong 2 ví dụ trên khái quát hoá đợc thực hiện theo 2 hớng có tính chất khác nhau. ở ví dụ thứ nhất, khái quát hoá đợc thực hiện bằng cách thay hằng số 2 bởi biến số n (n ∈ N). ở ví dụ thứ 2, khái quát hoá đợc thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu những tam giác với góc tuỳ ý.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì những dạng khái quát hoá thờng gặp trong môn Toán đợc biểu diễn bằng sơ đồ sau:
(Dẫn theo 33, tr. 6)
Với sự biểu diễn nh trên, ta thấy rằng có 2 con đờng khái quát: Con đờng thứ nhất trên cơ sở so sánh những trờng hợp riêng lẻ, con đờng thứ 2 không dựa trên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tợng trong một loạt hiện tợng giống nhau. Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của t duy, là cơ sở duy nhất để phân biệt giữa t duy lý luận và t duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hoá ở mỗi con ngời luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, nghiên cứu; khi đợc phát triển đến mức độ cao chính năng lực này sẽ giúp mỗi con ngời tách đợc cái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu, học tập bằng con đờng phân tích chỉ một sự kiện điển hình mà thôi. Bằng con đờng đó con ngời sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của mình, biết cách khám phá các tri thức khoa học bằng những phơng pháp tối u.
Nh vậy, khái quát hoá là thao tác t duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tợng hoặc hiện tợng từ một số các trờng hợp riêng lẻ. Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên các kết
Khái quát hoá
Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát
Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn
Khái quát hoá tới cái
luận đợc rút ra từ khái quát hoá thờng mang tính chất giả thuyết, dự đoán. Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi.
Chúng ta thờng khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối t- ợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tợng đó. Tổng quát hoá một bài toán thông thờng là sự mở rộng bài toán đó.
Trở lại ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC ≤23”. Ta có thể phát biểu bài toán tổng quát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cosmA nB m n + + + cos mB nC m n + + + cos mC nA m n + + 2 3 ≤ ” Hoặc ta mở rộng công thức: 2 a b ab + ≥ (∀ ≥ ∀ ≥a o; b o) thành công thức: 1 2 1 2 ... ... n n n a a a a a a n
+ + + ≥ ( ai ≥o; với mọi i=1,2, ,n).…
Ví dụ 4: CMR ∀ ∈x R ta có: 12 15 20 3 4 5 5 4 3 ữ ữ ữ x+ x+ x ≥ +x x+ x. Giải: áp dụng BĐT côsi cho 2 số ta có:
12 15 12.15 2 2.3 5 4 5.4 15 20 15.20 2 2.5 4 3 4.3 20 12 20.12 2 2.4 3 5 3.5 x x x x x x x x x x x x ữ ữ+ ≥ ữ = + ≥ = ữ ữ ữ + ≥ = ữ ữ ữ
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều trên với nhau ta đợc: 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x + + ≥ + + ữ ữ ữ , (∀ ∈x R)
12 15 20 0. 5 4 3 x x x x = = ⇔ = ữ ữ ữ
Sau khi giải xong bài toán, ta có thể khái quát hoá bài toán cùng loại: “Cho a, b, c là các số dơng tuỳ ý. CMR ∀ ∈x R, ta có:
x x x x x x ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + ữ ữ ữ ”
Trong môn Toán Trung học phổ thông, nói riêng trong môn Đại số và Giải tích, có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động khái quát hoá.
Ví dụ:
- Khái quát hoá để hình thành khái niệm; - Khái quát hoá để hình thành định lý; - Khái quát hoá các bài toán Toán học;
- Khái quát hoá để hình thành phơng pháp giải lớp các bài toán; - Khái quát hoá hớng suy nghĩ giải bài tập toán.
2.1.2.2. Trừu tợng hoá
Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tợng hoá là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất”. Chẳng hạn trừu tợng hoá mệnh đề: “Bình phơng của một số âm là một số dơng” học sinh phải tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để đợc mệnh đề: “luỹ thừa bậc chẵn của một số âm là một số dơng”.
Hoàng Chúng cho rằng: Trừu tợng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau. Nhờ trừu tợng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn. Và ngợc lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách đợc những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu t- ợng hoá. Trừu tợng hoá là một “hoạt động của t duy”, hoạt động này của bộ não con ngời có thể hớng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng là của Toán học. ở đây chúng ta chỉ bàn đến việc trừu tợng hoá một bài tập Đại số và Giải tích trong quá trình rèn luyện các thao tác t duy thông qua việc giải bài tập nh thế nào mà thôi.
tri thức lí thuyết đợc. Khi trừu tợng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các đối tợng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tợng này với đối tợng khác, không chú ý tới những cái riêng này. Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ nhật có giao của 2 đờng chéo là trung điểm của mỗi đờng. Hình vuông cũng có 2 dờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đờng. Hình thoi cũng có kết quả tơng tự. Tất cả 3 hình kể trên đều là hình bình hành. Từ đó ta có thể tách một đặc điểm chung của các hình trên và có mệnh đề khái quát sau: “Trong một hình bình hành các đờng
chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đờng”.
Học sinh cũng thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những điều kiện cụ thể mới, thờng là do phải chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu t- ợng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờ nhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái trừu tợng. Có thể giúp học sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ đồ, hình vẽ. Nhờ sự kết hợp đợc cả hai mặt cụ thể và trừu tợng trong bản thân nó, sơ đồ có thể giúp làm “cầu nối” khi chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu tợng và ngợc lại.
Chẳng hạn ta xét bài toán: “Một con cá nặng bao nhiêu, nếu đuôi của nó nặng 4kg, đầu nặng bằng đuôi cộng với một nửa thân, thân nặng bằng đầu cộng với đuôi?”.
Mối quan hệ giữa khối lợng của đuôi, đầu và thân cá khá rối đối với học sinh. Tuy nhiên bài toán có thể giải khá gọn bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Gọi Đ, đ và T lần lợt là khối lợng của đầu cá, đuôi cá và thân cá, ta có: Đ = đ +
2
T
và T = Đ + đ ta có sơ đồ nh trong hình vẽ.
Nhìn vào sơ đồ dễ thấy rằng: T = đ x4 = 16 kg Đ T đ đ T 2
và: Đ = đ x3= 12 kg Vậy con cá nặng 32kg.
Để giúp học sinh phát triển t duy trừu tợng trong sự tác động qua lại với t duy cụ thể, lại cần phải kết hợp với việc sử dụng hình vẽ, kí hiệu với phát triển ngôn ngữ, giúp cho kiến thức của học sinh đợc chính xác mà không hình thức.
Trong khi đòi hỏi học sinh khái quát hoá những mệnh đề để đợc những mệnh đề tổng quát hơn. Chẳng hạn khi học về luỹ thừa, yêu cầu học sinh làm bài tập sau:
1) Tính giá trị các luỹ thừa và so sánh: 25 và 27; 45 và 43; 8 và 83
34 và 54; 132 và 112; 74 và 94.
2) Lấy một ví dụ cùng loại với ba ví dụ đầu, một ví dụ cùng loại với ba ví dụ sau.
3) Từ các ví dụ trên hãy nêu quy tắc so sánh hai luỹ thừa.
Với bài tập này, học sinh đợc khuyến khích thực hiện phép tơng tự coi nh sự biểu hiện của khái quát hoá. Tuy nhiên, trớc đó học sinh phải so sánh tìm đặc điểm chung của từng nhóm ví dụ.
Ba ví dụ đầu: Luỹ thừa, cùng cơ số, cơ số chẵn, số mũ lẻ. Ba ví dụ sau: Luỹ thừa, cùng số mũ, cơ số lẻ, số mũ chẵn.
Khi khái quát hoá theo yêu cầu 3), học sinh phải tách những đặc điểm bản chất (hai đặc điểm đầu) khỏi những đặc điểm không bản chất (đặc điểm cuối), tức là tiến hành trừu tợng hoá.
Một ví dụ khác: Từ mệnh đề: “Tích (m+1)(m+2)(m+3) (3m-1)3m với…
m∈N* chia hết cho 3m nhng không chia hết cho 3m+1”, muốn khái quát hoá thành mệnh đề tổng quát hơn: “Tích (m+1)(m+2)(m+3) (pm-1)pm với …
m∈N* chia hết cho 3p nhng không chia hết cho 3p+1”, học sinh phải tách đặc điểm số nguyên tố (đặc điểm bản chất) ra khỏi đặc điểm số lẻ (đặc điểm không bản chất), tức là tiến hành trừu tợng hoá.