Theo G. Pôlia: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập hợp đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”.
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n≥3) sang việc nghiên cứu tam giác đều (n=3).
Những dạng đặc biệt hoá thờng gặp trong môn Toán có thể đợc biểu diễn bằng sơ đồ sau:
Đặc biệt hoá có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lý tổng quát bằng những trờng hợp riêng lẻ, cụ thể.
Trong hoạt động giải Toán đặc biệt hoá là chuyển việc nghiên cứu từ trờng hợp chung sang trờng hợp riêng. Chẳng hạn, ở ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC
2 3
≤ ”. Đặc biệt
hoá nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác đều thì cosA + cosB + cosC 3 2
= . Một bài toán khó thờng dễ giải hơn nếu ta xét nó trong một trờng hợp đặc biệt vì khi đó ta đã bổ sung thêm giả thiết, tăng thêm dữ kiện cho bài toán. Sau khi giải quyết các bài toán đặc biệt chúng ta có thể rút ra đợc các kết luận, tìm đợc cái “chốt” giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát. Các trờng hợp riêng đôi lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát. Chẳng hạn, trớc khi học sinh
Đặc biệt hoá
Đặc biệt hoá từ cái tổng quát đến cái riêng lẻ
Đặc biệt hoá từ cái riêng đến cái riêng hơn
Đặc biệt hoá tới cái
đợc học khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), họ đã đợc nghiên cứu về hàm số y = ax2 (a ≠ 0). Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách đa về trờng hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ).
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x a− + −x b (a<b)
Đề bài toán cho toàn bằng chữ, đối với học sinh quả là quá trừu tợng, học sinh sẽ rất khó tìm ra mối liên quan gỉa giả thiết và kết luận.
Ta đặc biệt hoá bài toán trên với a=1; b=2. Lúc này ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x− + −1 x 2. Ta có: 1 2(1 ) 1 ( 1) 1 2 1 (1 2) 2 3 1 ( 2) x x x x x x x + − > < − + − = ≤ < − ≥ ≥ Vậy hàm số: y = x− + −1 x 2 có giá trị nhỏ nhất là 1. Từ trờng hợp đặc biệt ta tìm phơng pháp giải cho bài toán.
Ta có: ( ) 2( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) b a a x b a x a x a x b b a a x b x a b a a b b a x b − + − > − < − + − = − ≤ < − − ≥ − − = − ≥
Vậy hàm số: y = x a− + −x b có giá trị nhỏ nhất là b-a.
2.1.4. So sánh, tơng tự
2.1.4.1. So sánh
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện t- ợng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tợng) ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tợng) có cái gì giống và khác nhau.
Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò quan trọng. Usinxki chỉ ra: “Nếu anh muốn hiểu rõ một sự vật nào đó của thiên nhiên bên ngoài thì anh hãy phân biệt nó với các sự vật giống nó nhất và tìm trong nó những dấu hiệu giống với sự vật xa lạ với nó nhất; chỉ khi ấy anh mới hiểu rõ tất cả các
dấu hiệu bản chất của sự vật, chính điều đó mới có nghĩa là hiểu sự vật” [51, tr. 111].
Sự so sánh các sự vật và hiện tợng của hiện thực khách quan diễn ra theo một góc độ nhất định, xuất phát từ một quan điểm nào đó, nhằm giải quyết một vần đề nhất định. I. M. Xêtsênốp viết: “Ngời ta đối chiếu và so sánh các sự vật, nhằm đánh giá sự giống nhau và khác nhau của chúng trong tất cả các mối quan hệ có thể có” [51, tr. 111].
Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thức nào đó, nó luôn luôn có mục đích. Do đó các sự vật và hiện tợng có thể giống nhau theo quan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác. Chẳng hạn khi dạy cho học sinh tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dơng ta đa ra yêu cầu học sinh tính và so sánh: (2.5)4 và 24.54; 3 1 3 . 2 5 ữ và 3 3 1 3 . 2 5 ữ ữ (1,2.5,3)2 và (1,2)2. (5,3)2.
Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu đặc điểm của từng ví dụ cụ thể, so sánh để rút ra đặc điểm chung: Các đẳng thức luỹ thừa, vế trái là luỹ thừa của
một tích, vế phải là tích các luỹ thừa. Từ những đặc điểm chung tìm đợc, trên
cơ sở khái quát hoá ta có công thức tổng quát: (x.y)n = xn.yn.
Rõ ràng trong quá trình giảng dạy nếu ta để ý, sử dụng thao tác so sánh một cách đúng lúc, thích hợp sẽ giúp học sinh nắm chắc kiến thức mới tiếp thu, củng cố đợc kiến thức cũ đã học và giúp học sinh vận dụng kiến thức cũ tốt hơn. Hay khi dạy về các phép biến đổi tơng đơng của bất phơng trình, chúng ta có định lý: Cho bất ph“ ơng trình f(x) > g(x) (1) có tập xác định D, y=h(x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó, trên D bất phơng trình (1) tơng đơng với bất phơng trình f(x)+h(x) > g(x)+ h(x) (2)”.
Để học sinh nắm chắc định lí này giáo viên có thể cho học sinh so sánh với một định lí tơng tự trong phần phơng trình đó là: Cho ph“ ơng trình f(x) = g(x) (1) có tập xác định D, y=h(x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó, trên
D phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình f(x)+h(x) = g(x)+ h(x) (2)”. Giáo viên có thể chỉ cho học sinh thấy:
Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng và hai bất phơng trình tơng đơng giống nhau ở chỗ: Chúng tơng đơng khi tập nghiệm trùng nhau.
Từ tính chất này của phơng trình và bất phơng trình đều suy ra đợc một hệ quả cho phép có một phép biến đổi tơng đơng rất hay dùng trong biến đổi phơng trình và bất phơng trình đó là: có thể chuyển một biểu thức từ vế này
sang vế kia và khi đã đổi dấu của nó.
Việc chứng minh hai định lí đều sử dụng định nghĩa: Nghĩa là lấy
x0 ∈ D là nghiệm của phơng trình (1) chứng minh đợc x0 là nghiệm của (2) và ngợc lại.
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ hơn: Việc tìm nghiệm của ph-
ơng trình f(x) = g(x) là tìm các giá trị của x0 để giá trị của hàm f(x) tại x0 bằng giá trị của hàm g(x) tại x0. Còn tìm nghiệm của bất phơng trình f(x) > g(x) là tìm các giá trị x0 để f(x0) > g(x0). (Tức các giá trị của x để giá trị của hàm f(x) lớn hơn giá trị của hàm g(x)).
Hoặc có thể dùng đồ thị để giải thích: Nghiệm của phơng trình
f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y1=f(x) và y2= g(x). Còn nghiệm của bất phơng trình f(x)> g(x) là tập hợp các giá trị của x để đồ thị của hàm số y1=f(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y2= g(x).
Bằng cách so sánh nh vậy sẽ làm cho học sinh nắm chắc bản chất về định nghĩa các nghiệm của phơng trình và bất phơng trình hơn. Chỉ khi nắm vững kiến thức cơ bản học sinh mới có thể t duy một cách linh hoạt, sáng tạo khi giải quyết vấn đề.
2.1.4.2. Tơng tự
Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tơng tự là giống nhau nhng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đợc phản ánh bằng khái niệm [43, tr. 22].
Trong “lôgic học”, D. Gorki viết: “Tơng tự là phép suy luận trong đó từ chỗ hai đối tợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối t-
ợng này giống nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tợng A có dấu hiệu là a, b, c, d và đối tợng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối t- ợng B cũng có tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tơng tự nh sau:
A có tính chất a, b, c, d B có tính chất a, b,c
--- Kết luận B cũng có tính chất d” (Theo 20).
Chúng ta đã nghiên cứu đặc biệt hóa và thấy không có gì đáng để nghi ngờ cả. Nhng khi bớc vào nghiên cứu sự tơng tự thì chúng ta có một cơ sở kém vững chắc hơn.
Trong Toán học, ngời ta thờng xét vấn đề tơng tự trên các khía cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tơng tự, nếu đờng lối, phơng pháp chứng minh là giống nhau;
- Hai hình là tơng tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau. Nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử t- ơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau. Chẳng hạn đờng thẳng trong mặt phẳng tơng tự với mặt phẳng (trong Hình học không gian), vì trong Hình học phẳng đờng thẳng là đờng đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là mặt đơn giản nhất trong Hình học không gian. Ngoài ra, có nhiều định lý vẫn còn đúng nếu chúng ta thay từ “đờng thẳng” bởi từ “mặt phẳng”, ví dụ định lý “Nếu hai đờng thẳng cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì chúng song song”
(có thể thay “đờng thẳng” bởi “mặt phẳng”).
Nói về vai trò của phép tơng tự, nhà S phạm đồng thời là nhà Toán học nổi tiếng ngời Mỹ G. Pôlya có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp cũng nh trong Toán học cao cấp, phép tơng tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh. Trong một số phát minh, phép tơng tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”; còn đối với nhà Thiên văn học tài ba Kepler (ngời Đức), ngời đã phát minh ra ba định luật nổi
tiếng trong Thiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phép tơng tự, những ng- ời thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tơng tự đã giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vợt qua mọi trở ngại” (dẫn theo 44, tr. 148).
ở đây, chúng ta chỉ xét những phép tơng tự theo nghĩa là chuyển từ một trờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát.
Chẳng hạn, xét các Mệnh đề:
"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân
của chúng, tức là: 1 2 1 2 1 0, 2 0 2 a a a a a a + "
³ ³ ³ (a); Nếu a1, a2, a3 không
âm thì 1 2 3 3 1 2 3 3 a a a a a a + +
³ (trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó (c)".
Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việc chuyển từ (a) sang (b) là một phép tơng tự. Phép tơng tự ở đây rất gần với khái quát hoá; phép tơng tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì, việc chuyển từ một trờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát là một bớc để đi tới những trờng hợp riêng bất kỳ của cái tổng quát đó.
Đối với học sinh, tơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện t duy sáng tạo của ngời học. Để giải một bài toán, chúng ta thờng nghĩ về một bài toán tơng tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tơng tự dễ hơn đó làm mô hình.
Ví dụ 6: Tính tổng: S(n) = 1.2 + 2.3+...+n(n+1).
Để tính tổng trên ta liên hệ nó với một tổng tơng tự đơn giản hơn.
S1(n) = 1 + 2 + 3 +...+ n. Để cho tổng S1(n) có dạng gần gũi với tổng S(n) hơn ta nhân S1(n) với 2 ta có:
Do đó: S(n) -2. S1(n) = 1.2 + 2.3 +...+ (n-1).n. Vế phải của đẳng thức này chính là: S(n)-n(n+1).
Vì vậy: S(n) - 2. S(n) = S(n) - n(n+1) ⇒S (n) =1 n(n +1)
2 .
Vậy S(n) cha tính đợc, nhng ta lại tính đợc S1(n) nhờ liên hệ với S(n). Điều đó gợi cho ta suy nghĩ rằng muốn tính S(n) lại phải liên hệ với một tổng t-
ơng tự mặc dù phức tạp hơn.
S2(n) = 1.2.3 + 2.3.4 +...+ n(n+1)(n+2) Tơng tự nh trên ta nhân S(n) với 3 ta có: 3. S(n) = 1.2.3 + 2.3.3 +...+ n(n+1).3 Do đó: S2(n) - 3S(n) = 1.2.3 + 2.3.3 +...+ (n-1)n(n+1) = S2(n) - n(n+1)(n+2) Vậy ta có: S(n) = n(n +1)(n + 2) 3 . Nh vậy ta đã tính đợc tổng trên nhờ xét tổng tơng tự.
Ví dụ 7: Tìm ba số nguyên m, n, p (đôi một khác nhau) sao cho
1 1 1 1 m + + <n p 2 và hiệu 1 1 1 1 2 m n p − + + ữ là bé nhất.
Giải trực tiếp bài toán này quả là một việc khó đối với học sinh, vì từ một
bất đẳng thức 1 1 1 1
m + + <n p 2 mà phải tìm tới ba số nguyên. Vậy tại sao ta không bắt đầu từ trờng hợp tơng tự đơn giản nhất:
"Tìm số nguyên m sao cho 1 1
m < 2 và 1 1
2 m
−
ữ
bé nhất"? Với bài toán này, dễ dàng tìm đợc kết quả là m = 3. Bây giờ ta xét xem bài toán đã cho có sử dụng đợc gì ở bài toán tơng tự đó hay không?
Ta có, 1 1 1 1
m + + <n p 2 ⇒ 1 1 1 1 n + < −p 2 m
Lại do: nếu 1 1 2 m − ữ bé nhất thì 1 1 1 1 2 m n p − − + ữ bé nhất
Hiểu nh vậy sẽ áp dụng đợc trờng hợp tơng tự đã xét ở trên: m = 3. Và
bài toán đã cho quy về: Tìm hai số khác nhau n, p sao cho 1 1 1 1 1 n + < − =p 2 3 6 và hiệu 1 1 1 6 n p − + ữ là bé nhất.
Ta lại bắt đầu từ bài toán tơng tự: "Tìm số nguyên n sao cho 1 1 n < 6 và 1 1 6 n − ữ bé nhất" và giải đợc kết quả n = 7.
Cuối cùng, ta còn phải tìm p nguyên sao cho 1 1 1 1
p < − =6 7 42 và 1 1 42 − p bé nhất. Ta tìm đợc p = 43.
Kết quả cần tìm là m = 3; n = 7; p = 43.
2.2. một số định hớng s phạm Rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh nhằm phát triển năng lực giải toán
2.2.1. Một số định hớng s phạm rèn luyện khả năng thực hiện thao tác phân tích và tổng hợp phân tích và tổng hợp
Trong môn Toán, với ba chức năng của bài tập toán, ta có thể coi việc giải toán, khai thác các bài tập toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng vào thực tiễn. Vì vậy, việc tổ chức ứng dụng có hiệu quả việc giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán.
Trong mọi khâu của quá trình giải toán, khai thác lớp các bài toán, năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng chúng. Các quá trình phân tích và tổng hợp là tổ hợp những thao tác t duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ là những dạng khác nhau của quá trình phân tích, tổng hợp. T duy dù ở hình thức nào đi chăng nữa cũng không thể tiến hành đợc nếu nh không có phân tích và tổng hợp.
Chẳng hạn, việc nghiên cứu phân tích một bài toán thực hiện đợc là nhờ có so sánh, từ đó cho phép chúng ta chỉ ra các dấu hiệu và thuộc tính bản chất và không bản chất. Các dấu hiệu này lại đợc tách ra bằng con đờng phân tích, sẽ đợc trừu tợng hoá, còn sự tổng hợp và khái quát hoá chúng sẽ dẫn đến phơng pháp và lời giải bài toán. Vì vậy, để rèn luyện và phát triển năng lực t duy cho học sinh, chúng ta cần coi trọng việc rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp. Đó là những thao tác trái ngợc nhau, nhng chúng lại có một mối quan hệ chặt chẽ