Gia’ su.’ D l`a miˆ`n cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.ce C. Ta s˜e k´y hiˆe.u C(D) l`a tˆa.p ho..p c´ac h`am liˆen tu.c trong D. Trong l´y thuyˆe´t c´ac h`am chı’nh h`ınh, su.. hˆo.i tu. dˆ`u cu’a d˜ay (chuˆo˜i) trˆen mˆo˜i tˆa.p ho..p d´ong v`a bi. ch˘a.n thuˆo.ce D l`a rˆa´t quan tro.ng. Ta s˜e go.i su.. hˆo.i tu. d´o l`asu.. hˆo.i tu. dˆe`u trˆen t`u.ng comp˘a´c cu’a miˆ`ne D
dˆe’ phˆan biˆe.t v´o.i su.. hˆo.i tu. dˆe`u trong miˆe`nD.
D- i.nh ngh˜ıa 1.4.7. Gia’ su.’ cho d˜ay h`am fn ∈ C(D). D˜ay h`am fn du.o..c go.i l`a d˜ay hˆo. i tu. dˆ`u trˆen t`e u.ng comp˘´ca cu’a miˆ`ne D nˆe´u v´o.i mo.i comp˘a´cK ⊂D
d˜ay c´ac ha.n chˆe´{fn|K} hˆo.i tu. dˆe`u.
Ta nhˆa.n x´et r˘a`ng mo.i d˜ay hˆo.i tu. dˆe`u trong miˆe`n D th`ı hˆo.i tu. dˆe`u trˆen t`u.ng comp˘a´c cu’a miˆe`n d´o. Diˆe`u kh˘a’ng di.nh ngu.o..c la.i, n´oi chung, l`a khˆong d´ung.
1.4. L´y thuyˆe´t d˜ay v`a chuˆo˜i trong miˆe`n ph´u.c 93
Ta s˜e ch´u.ng to’ diˆ`u d´o b˘a`ng v´ı du. sau dˆay. Ta x´et d˜ay h`ame
fn(z) = 1 +z+· · ·+zn.
1. D˜ay d˜a cho hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on do.n vi. (xem v´ı du. 4 mu.c tru.´o.c). 2. D˜ay fn hˆo.i tu. dˆe`u trˆen t`u.ng comp˘a´c cu’a h`ınh tr`on do.n vi.. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’ K ⊂ U ={|z|< 1} l`a comp˘a´c n`ao d´o v`a δ >0 l`a khoa’ng c´ach t`u.K
dˆe´n ∂U. Khi d´o, v´o.i mo.i z ∈K ta c´o
|z|61−δ, v`a |fn+p −fn|=|zn+1+· · ·+zn+p|= zn+11−z p 1−z 6|z|n+11 +|z|p 1− |z| 6(1−δ)n+12 δ ·
Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng da.i lu.o..ng (1−δ)n+12
δ dˆ` n dˆe´n 0 khia n→ ∞ nˆen c´o thˆe’ l`am cho n´o b´e ho.n ε >0 khi n>N(ε).
3. D˜ay h`am d˜a cho khˆong hˆo.i tu. dˆe`u trong h`ınh tr`on do.n vi.. Diˆe`u n`ay du.o..c ch´u.ng minh trong v´ı du. 6 mu.c tru.´o.c.
D- i.nh l´y 1.4.12. Nˆe´u d˜ay h`am fn∈ C(D) hˆo. i tu. dˆ`u trˆen t`e u.ng comp˘a´c cu’a miˆ`ne D th`ı h`am gi´o.i ha. n f ∈ C(D).
Ch´u.ng minh. Nˆe´u d˜ay h`am liˆen tu.c fn hˆo.i tu. dˆe`u trˆen t`u.ng comp˘a´c K th`ı h`am gi´o.i ha.n f c´o ha.n chˆe´f|K trˆen t`u.ng comp˘a´c K ⊂D liˆen tu.c. V`ıD l`a miˆ`ne ⊂ C nˆen mo.i diˆe’m z0 ∈ D dˆ`u c´o lˆan cˆa.n comp˘a´ce U(z0, ε) n˘a`m trong
D. T`u. d´o suy ra t´ınh liˆen tu.c cu’a h`am f trong D.
Ta s˜e ch´u.ng minh tiˆeu chuˆa’n sau dˆay vˆ` su.. hˆo.i tu. dˆe`u trˆen t`u.ng comp˘a´c.e
D- i.nh l´y 1.4.13. D˜ay h`amfn∈ C(D) hˆo. i tu. dˆ`u trˆen t`e u.ng comp˘a´c cu’a miˆe`n
D khi v`a chı’ khi dˆo´i v´o.i mˆo˜i diˆe’m z0 ∈D tˆ` n ta.i lˆan cˆa.n m`a ta.i d´o d˜ay hˆo.io tu. dˆ`u.e
Ch´u.ng minh. 1. Diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n. Diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n o.’ dˆay l`a hiˆe’n nhiˆen v`ı nˆe´u
{|z−z0| 6 ρ} ⊂ D th`ı d˜ay pha’i hˆo.i tu. dˆe`u trˆen d´o v`a v`ı vˆa.y n´o s˜e hˆo.i tu. dˆ`u trong lˆan cˆa.ne {|z−z0|< ρ}.
2. Diˆ`u kiˆe.n du’.e Ta s˜e ch´u.ng minh diˆ`u kiˆe.n du’ b˘a`ng phu.o.ng ph´ap pha’ne ch´u.ng. Gia’ su.’ diˆe`u kiˆe.n cu’a di.nh l´y du.o..c tho’a m˜an nhu.ng d˜ay hˆo.i tu. khˆong dˆ`u trˆen comp˘a´ce K ⊂D n`ao d´o. Khi d´o cˆ` n pha’i tˆoa ` n ta.i sˆo´ du.o.ngε0, nh˜u.ng sˆo´ tu.. nhiˆen nk (nk < nk+1) l´o.n bao nhiˆeu t`uy ´y v`a nh˜u.ng diˆe’m zk ∈ K sao cho
|f(zk)−fnk(zk)|>ε0,
trong d´o f l`a h`am gi´o.i ha.n cu’a d˜ay.
T`u. d˜ay diˆe’m{zk}ta c´o thˆe’ cho.n d˜ay con{z0
k}hˆo.i tu. dˆe´n diˆe’mz0 ∈K n`ao d´o. V`ız0 l`a diˆe’m cu’a miˆ`ne D nˆen theo diˆ`u kiˆe.n cu’a di.nh l´y, tˆoe ` n ta.i lˆan cˆa.n
U(z0, δ) ⊂D m`a trong d´o d˜ay hˆo.i tu. dˆe`u. Do d´o ta.i mo.i diˆe’m z ∈U(z0, δ) ta c´o
|f(z)−fn(z)|< ε0
v´o.i n du’ l´o.n.
M˘a.t kh´ac, t`u. gia’ thiˆe´t cu’a ch´ung ta suy ra r˘a`ng tˆo` n ta.i nh˜u.ng chı’ sˆo´nk, l´o.n t`uy ´y sao cho ta.i c´ac diˆe’m z0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
k n˘a`m trong U(z0, δ) (mo.i diˆe’m z0
k b˘a´t dˆa` u t`u. mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o dˆe`u thuˆo.c U(z0, δ)), ta c´o bˆa´t d˘a’ng th´u.c ngu.o..c la.i
|f(zk0)−fn(z0k)|>ε0.
T`u. mˆau thuˆa˜n d´o suy ra r˘a`ng gia’ thiˆe´t cu’a ch´ung ta l`a khˆong d´ung. Di.nh l´y du.o..c ch´u.ng minh.
Nhˆa. n x´et. 1. T`u. su.. phˆan t´ıch trˆen dˆay suy ra r˘a`ng t´ınh hˆo.i tu. dˆe`u cu’a d˜ay h`am trˆen t`u.ng comp˘a´c c´o d`oi ho’i yˆe´u ho.n so v´o.i t´ınh hˆo.i tu. dˆe`u trong miˆe`n
D.
2. V`ı c´o thˆe’ xem d˜ay h`am nhu. l`a d˜ay c´ac tˆo’ng riˆeng cu’a mˆo.t chuˆo˜i nˆen c´ac kˆe´t qua’ d˜a tr`ınh b`ay trˆen dˆay du.o..c chuyˆe’n sang cho c´ac chuˆo˜i hˆo.i tu. dˆe`u mˆo.t c´ach tu.. nhiˆen.