Trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c mo.’ rˆo.ng cu’a biˆe´n z v`a w (dˆ`u du.o..c k´y hiˆe.u l`ae C) ta x´et lˆ` n lu.o..t c´ac tˆa.p ho..pa D v`a D∗ (c´o thˆe’ ch´u.a ca’ diˆe’m vˆo c`ung).
D- i.nh ngh˜ıa 1.3.1. Gia’ su.’ D ⊂ C l`a mˆo.t tˆa.p ho..p t`uy ´y cho tru.´o.c. Mˆo.t
h`am biˆe´n ph´u.c
f :D→ C
l`a mˆo.t quy t˘a´c cho ´u.ng mˆo˜i diˆe’mz ∈Dv´o.i mˆo.t diˆe’m duy nhˆa´tw=f(z)∈C. Dˆe’ chı’ mˆo.t h`am biˆe´n ph´u.c, ta c`on d`ung c´ac k´y hiˆe.u sau dˆay:
z 7→f(z), w =f(z), . . .
C ´AC V´I DU. ´
´
Anh xa. z 7→ f(z) = az+b
cz+d, c 6= 0 x´ac di.nh mˆo.t h`am phˆan tuyˆe´n t´ınh
trˆen tˆa.p ho..p D =C\n
− d c,∞
o
(gia’ thiˆe´t bc−ad6= 0). ´ Anh xa. z 7→ 1 2 z + 1 z
x´ac di.nh mˆo.t h`am thu.`o.ng go.i l`a h`am Jukovski
trˆen tˆa.p D =C\ {0}.
Trong tru.`o.ng ho..p khi w = f(z) ∈D∗, ∀z ∈ D th`ı ta viˆe´t f : D →D∗, v`a n´oi r˘a`ng diˆe’m w ∈ D∗ l`a a’nh cu’a diˆe’m z ∈ D, c`on z l`a nghi.ch a’nh cu’a diˆe’m w. Dˆe’ chı’ nghi.ch a’nh, ta d`ung k´y hiˆe.u z =f−1(w).
Theo di.nh ngh˜ıa h`am d˜a tr`ınh b`ay o’ trˆen, mo.i h`am dˆe. `u l`a h`am do.n tri.:
ngh˜ıa l`a v´o.i mˆo˜i gi´a tri. cu’a z ta c´o tu.o.ng ´u.ng mˆo.t gi´a tri. duy nhˆa´t cu’af(z). Kh´ai niˆe.m h`am da tri. s˜e du.o..c tr`ınh b`ay trong chu.o.ng V.
Gia’ su.’ tˆa.p ho..p D ⊂ C v`a f : D → C l`a h`am du.o..c cho trˆen D. Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng phˆa` n thu..c, phˆa` n a’o cu’a f l`a nh˜u.ng sˆo´ thu..c phu. thuˆo.c v`ao z,
z ∈D. D´o l`a nh˜u.ng h`am thu..c biˆe´n ph´u.c z:
u(z) :D →R, v(z) :D →R,
)
D ⊂C
v`a do d´o c´o thˆe’ viˆe´t f(z) =u(z) +iv(z).
V`ı m˘a.t ph˘a’ng Cdu.o..c dˆo` ng nhˆa´t v´o.i m˘a.t ph˘a’ng R2 nˆen mˆo˜i z ∈D du.o..c dˆ` ng nhˆa´t v´o.i (o x, y)∈R2
. Nhu. vˆa.y:
f(x, y) =u(x, y) +iv(x, y).
Ngu.o..c la.i, nˆe´u trˆen tˆa.p D cho hai h`am nhˆa.n gi´a tri. thu..c dˆo.c lˆa.p v´o.i nhau: u=u(x, y);v=v(x, y) th`ı c˜ung c´o ngh˜ıa l`a d˜a cho mˆo.t h`am ph´u.c
w=u+iv =u(x, y) +iv(x, y) =f(x, y) =f(z).
Do d´o, viˆe.c cho h`am f trˆen D tu.o.ng du.o.ng v´o.i viˆe.c cho hai h`am thu..c hai biˆe´n thu..c:
u=u(z) =u(x, y) :D →R, v=v(z) =v(x, y) :D →R.
1.3. H`am biˆe´n ph´u.c 61
T`u. nhˆa.n x´et trˆen dˆay, to`an bˆo. l´y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´u.c c´o thˆe’ gia’i th´ıch nhu. l`a l´y thuyˆe´t c´ac c˘a.p h`am cu’a hai biˆe´n thu..cx v`a y.
D- i.nh ngh˜ıa 1.3.2. Mˆo.t h`am
f :D →D∗
du.o..c go.i l`a do.n tri. mˆo.t-mˆo.t haydo.n diˆe.pnˆe´u c´ac a’nh cu’a nh˜u.ng diˆe’m kh´ac nhau cu’a D l`a kh´ac nhau. Cu. thˆe’ ho.n: f(z) l`a do.n diˆe.p nˆe´u hai diˆe’m bˆa´t k`y z1, z2 ∈D, z1 6=z2, th`ı a’nhf(z1)6=f(z2). Diˆ`u d´o tu.o.ng du.o.ng v´o.i diˆee `u kiˆe.n nghi.ch a’nh cu’a mˆo˜i diˆe’m thuˆo.c D∗ chı’ gˆ` m d´o ung mˆo.t diˆe’m.
T`u. di.nh ngh˜ıa 1.3.2 ta thˆa´y r˘a`ng ´anh xa. w = f(z) l`a ´anh xa. do.n diˆe.p nˆe´u khˆong nh˜u.ng diˆe’mz1 c´o mˆo.t a’nh duy nhˆa´t w1 m`a diˆe’mw1 ∈D∗ bˆa´t k`y c˜ung chı’ l`a a’nh cu’a mˆo.t diˆe’m z1 ∈D.
Trong ´anh xa. do.n diˆe.pw=f(z), nghi.ch a’nhz =f−1(w) c´o thˆe’ xem nhu. l`a mˆo.t h`am do.n tri. biˆe´n w. H`am n`ay du.o..c go.i l`a h`am ngu.o..c dˆo´i v´o.i h`am
w=f(z). Hiˆe’n nhiˆen dˆo´i v´o.i h`am do.n tri. (nhu.ng khˆong do.n diˆe.p) ta c˜ung c´o thˆe’ n´oi vˆ` h`am ngu.o..ce z = f−1(w), nhu.ng khi d´o h`am ngu.o..c n`ay khˆong do.n tri.. R˜o r`ang l`a ´anh xa.w=f(z) l`a ´anh xa. do.n diˆe.p khi v`a chı’ khi ca’ hai h`am f v`a f−1 dˆ`u do.n tri..e
D- i.nh ngh˜ıa 1.3.3. Gia’ su.’ c´ac h`am
f :D →D∗; g :D∗ →D∗∗
du.o..c cho theo so. dˆo`
D −→f D∗ −→g D∗∗ (f(D)⊆D∗).
Khi d´o ta c´o thˆe’ x´ac di.nh du.o..c mˆo.t h`am
h:D →D∗∗
b˘a`ng c´ach cho ´u.ng mˆo˜i diˆe’m z ∈D v´o.i diˆe’m
H`am hn`ay du.o..c go.i l`ah`am ho..p cu’a c´ac h`am f v`a g d˜a cho v`a du.o..c k´y hiˆe.u l`a
h=g◦f :D →D∗∗.
Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u ´anh xa. w = f(z) do.n diˆe.p v`a f−1(w) = ϕ(w) l`a h`am ngu.o..c cu’a n´o th`ı
ϕ[f(z)] =z.
1.3.2 C´ac v´ı du. vˆ` ´e anh xa. do.n diˆe.p
Bˆay gi`o. ta s˜e l`am s´ang to’ nh˜u.ng kh´ai niˆe.m du.a ra o.’ trˆen b˘a`ng mˆo.t sˆo´ v´ı du..
a. ´Anh xa. phˆan tuyˆe´n t´ınh. Anh xa.´
w= az+b
cz+d , (1.20)
ad−bc6= 0, (1.21)
trong d´oa,b,c,dl`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c x´ac di.nh tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.nad−bc6= 0, du.o..c go.i l`a ´anh xa. phˆan tuyˆe´n t´ınh.
´
Anh xa. (1.20) do.n diˆe.p khi v`a chı’ khi c´ac hˆe. sˆo´a, b, c, d tho’a m˜an hˆe. th´u.c (1.21). Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’z1, z2 ∈C, z16=z2. Khi d´o
w1 = az1+b cz1+d, w2 = az2+b cz2+d v`a do d´o w2−w1= (bc−ad)(z1−z2) (cz1+d)(cz2+d)· T`u. d´o suy ra diˆ`u cˆae ` n kh˘a’ng di.nh.
V`ı vˆa.y, hˆe. th´u.c (1.21) l`a diˆe`u kiˆe.n cˆa` n v`a du’ dˆe’ tˆo` n ta.i ´anh xa. ngu.o..c cu’a (1.20), trong d´o:
z = dw−b
1.3. H`am biˆe´n ph´u.c 63
D˘a.c biˆe.t, khi c= 0, d= 1, t`u. (1.21) ta c´o
a 6= 0. (1.22)
Diˆ`u kiˆe.n (1.22) da’m ba’o t´ınh do.n diˆe.p cu’a ´anh xa. tuyˆe´n t´ınhe w=az+b
v´o.i ´anh xa. ngu.o..c l`a
z = w
a − b a·
Khi x´et ´anh xa. (1.20), ta loa.i tr`u. tru.`o.ng ho..p d = c = 0. Trong c´ac tru.`o.ng ho..p c`on la.i, diˆe`u kiˆe.n ad−bc= 0 tu.o.ng du.o.ng v´o.i diˆ`u kiˆe.ne
w= const
v`a do d´o n´o khˆong c´o miˆ`n do.n diˆe.p.e
b. ´Anh xa. w=zn, n ∈N. Dˆe’ t`ım miˆ`n do.n diˆe.p cu’a ´anh xa. n`ay, ta x´et c´ace gi´a tri.:
z1 =|z1|eiϕ1 v`a z2 =|z1|eiϕ2.
Khi d´o
w1−w2 =|z1|n(einϕ1−einϕ2).
R˜o r`ang l`a ´anh xa. w = zn do.n diˆe.p trong mˆo˜i g´oc v´o.i dˆo. mo.’ 2π
n v´o.i dı’nh
ta.i gˆo´c to.a dˆo..
c. ´Anh xa. Jukovski. Anh xa.´
w= 1 2 z+1 z (1.23)
du.o..c go.i l`a ´anh xa. Jukovski. N´o do.n diˆe.p trong miˆe`n D n`ao d´o khi v`a chı’ khi miˆ`ne D khˆong ch´u.a nh˜u.ng c˘a.p diˆe’m kh´ac nhau z1, z2 liˆen hˆe. v´o.i nhau bo.’ i hˆe. th´u.c
Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. 1 2 z1+ 1 z1 = 1 2 z2+ 1 z2 khi d´o (z1−z2) 1− 1 z1z2 = 0.
T`u. d´o: ho˘a.cz1 =z2 ho˘a.cz1z2 = 1.
Vˆ` m˘a.t h`ınh ho.c, d˘a’ng th´u.c (1.24) ch´u.ng to’ r˘a`ng diˆe’me z2 = 1
z1 thu du.o..c b˘a`ng ph´ep dˆo´i x´u.ng k´ep qua du.`o.ng tr`on do.n vi. v`a tru.c thu..c:
w= 1
z; w=w1.
Nhu. vˆa.y, ´anh xa. (1.23) do.n diˆe.p trong miˆe`n D khi v`a chı’ khi D khˆong ch´u.a nh˜u.ng c˘a. p diˆe’m kh´ac nhau m`a diˆe’m n`ay thu du.o..c t`u. diˆe’m kia nh`o. ph´ep dˆo´i x´u.ng k´ep: qua du.`o.ng tr`on do.n vi. v`a tru.c thu..c.
´
Anh xa. (1.23) do.n diˆe.p trong c´ac miˆe`n sau dˆay:
{|z|>1} - phˆ` n ngo`ai h`ınh tr`on do.n vi.,a
{|z|<1} - h`ınh tr`on do.n vi..
1.3.3 Gi´o.i ha.n cu’a h`am
Bˆay gi`o. ta chuyˆe’n sang x´et kh´ai niˆe.m co. ba’n cu’a gia’i t´ıch - kh´ai niˆe.m gi´o.i ha.n.
Gia’ su.’ cho h`am
f :D →C
v`a z0 l`a diˆe’m gi´o.i ha.n cu’a tˆa.p ho..p D.
D- i.nh ngh˜ıa 1.3.4. Sˆo´w0 du.o..c go.i l`agi´o.i ha. n cu’a h`am f khi z →z0 nˆe´u:
∀ε >0 ∃δ(ε)>0 :∀z ∈D∩U˙(z0, δ)
1.3. H`am biˆe´n ph´u.c 65
K´y hiˆe.u
w0 = lim
z→z0f(z), (1.25)
(trong d´o ˙U(z0, δ) l`aδ - lˆan cˆa.n thu’ng cu’a diˆe’mz0). Ta c´o di.nh l´y sau dˆay:
D- i.nh l´y 1.3.1. Gia’ su.’ w0 =u0+iv0 ∈ C v`a f(z) = u(z) +iv(z). Khi d´o gi´o.i ha. n lim
z→z0f(z) tˆ` n ta.i khi v`a chı’ khi tˆoo ` n ta.i hai gi´o.i ha.n
u0 = lim z→z0Re[f(z)] = lim z→z0u(z), v0 = lim z→z0 Im[f(z)] = lim z→z0 v(z).
N´oi c´ach kh´ac, d˘a’ng th´u.c
w0 = lim
z→z0f(z) (1.26)
tu.o.ng du.o.ng v´o.i hai d˘a’ng th´u.c:
u0 = lim
z→z0u(z), v0 = lim
z→z0v(z). (1.27)
Ch´u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’f tho’a m˜an (1.26), khi d´o v´o.iε > 0 bˆa´t k`y,
∃δ(ε)>0 sao cho |f(z)−w0|< ε khi|z−z0|= [(x−x0)2+ (y−y0)2]1/2< δ(ε). Nhu.ng |u(z)−u0|=|Re[f(z)−w0]|6|f(z)−w0|< ε, |v(z)−v0|=|Im[f(z)−w0]|6|f(z)−w0|< ε, v`a t`u. d´o suy ra (1.27).
Bˆay gi`o., gia’ su.’ (1.27) du.o..c tho’a m˜an. Khi d´o ∀ε >0: |u(z)−u0|< √ε 2, |v(z)−v0|< ε √ 2· Nˆe´u p (x−x0)2+ (y−y0)2 =|z−z0|< δ0(ε) th`ı |f(z)−w0|=|(u−u0)2+ (v−v0)2]1/2 < ε.
T`u. t´ınh tu.o.ng du.o.ng v`u.a du.o..c ch´u.ng minh gi˜u.a (1.26) v`a (1.27) suy r˘a`ng nh˜u.ng di.nh l´y so. cˆa´p vˆe` gi´o.i ha.n cu’a h`am trong gia’i t´ıch thu..c du.o..c chuyˆe’n sang cho gia’i t´ıch ph´u.c khˆong mˆo.t su.. thay dˆo’i n`ao. Cu. thˆe’ l`a, nˆe´u
lim
z→z0f(z) =w0, lim
z→z0ϕ(z) = ˜w0
th`ı tˆ` n ta.i c´ac gi´o.i ha.n cu’ao f(z)±ϕ(z),f(z)·ϕ(z),f(z)/ϕ(z) (khiϕ(z)6= 0) khiz →z0 v`a: lim z→z0 [f(z)±ϕ(z)] =w0±w0˜ , lim z→z0[f(z) ϕ(z)] =w0w0,˜ lim z→z0 f(z) ϕ(z) = w0 ˜ w0, w0˜ 6= 0.
Nhˆa. n x´et 1.3.1. Ta cˆ` n lu.u ´a y r˘a`ng di.nh ngh˜ıa 1.3.4 vˆe` gi´o.i ha.n vˆa˜n d´ung ca’ trong c´ac tru.`o.ng ho..p: ho˘a.c z0, ho˘a.c w0 ho˘a.c ca’ z0 v`a w0 b˘a`ng vˆo c`ung.
Ch˘a’ng ha.n, khi z0 6=∞, w0 =∞th`ı h`am f tho’a m˜an (1.25) nˆe´u t`u. bˆa´t d˘a’ng th´u.c
0<|z−z0|< δ(ε) suy ra
1.3. H`am biˆe´n ph´u.c 67
V´ı du. . Ch´u.ng minh r˘a`ng lim
z→∞[a0+a1z+· · ·+anzn] =∞, n>1 v´o.ian6= 0.
Thˆa.t vˆa.y, ta c´o
a0+a1z+a2z2+· · ·+anzn =znha0
zn + a1
zn−1 +· · ·+an
i
.
Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng
lim z→∞ ha0 zn + a1 zn−1 +· · ·+ an−1 z i = 0.
Diˆ`u d´o c´o ngh˜ıa r˘a`ng:e ∀ε >0,∃R >0 :∀z :|z|> R
⇒ a0zn + a1 zn−1 +· · ·+ an−1 z < ε. Ta lˆa´y ε <|an|. Do d´o khi|z|> R ta c´o an+ an−1 z +· · ·+ a0 zn >|a n| − anz−1 +an−2 z2 +· · ·+a0 zn >|an| −ε. T`u. d´o suy ra r˘a`ng |a0+a1z+a2z2+· · ·+anzn|>|z|n(|an| −ε), |z|> R
v`a do d´o vˆe´ pha’i t˘ang vˆo ha.n khi z → ∞ v`a hiˆe’n nhiˆen khi d´o vˆe´ tr´ai t˘ang vˆo ha.n, t´u.c l`a
lim
z→∞[a0+a1z+· · ·+anzn] =∞.
1.3.4 T´ınh liˆen tu. c v`a liˆen tu. c dˆ`ue
D- i.nh ngh˜ıa 1.3.5. 1. H`am f(z) du.o..c go.i l`a liˆen tu. c (hay C - liˆen tu. c) ta.i diˆe’m z0∈D nˆe´u
f(z0)6=∞ v`a lim
z→z0
f(z) =f(z0), z ∈D.
2. Nˆe´u h`am f(z) liˆen tu.c ta.i mo.i diˆe’m z ∈ D th`ı h`am f(z) du.o..c go.i l`a
liˆen tu. c trˆen tˆa. p ho..p D.
Tˆa.p ho..p mo.i h`am liˆen tu.c trˆen tˆa.p ho..p D ⊂C du.o..c k´y hiˆe.u l`a C(D). Di.nh ngh˜ıa 1.3.5 c`on c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng tu.o.ng du.o.ng sau dˆay. H`am f(z) du.o..c go.i l`a liˆen tu. c ta.i diˆe’m z0 ∈D nˆe´u ∀ε >0,∃δ(ε, z0)>0:
∀z ∈ {|z−z0|< δ(ε, z0)} (1.28) th`ı
|f(z)−f(z0)|< ε. (1.29) Tu.o.ng tu.. nhu. vˆa.y, ta c˜ung c´o thˆe’ n´oi dˆe´n t´ınh C - liˆen tu.c theo mˆo.t tuyˆe´n (ho˘a.c du.`o.ng cong) v`a hiˆe’u nhu. sau: nh˜u.ng hˆe. th´u.c (1.28) - (1.29) chı’ du.o..c tho’a m˜an ta.i nh˜u.ng diˆe’m thuˆo.c tuyˆe´n (ho˘a.c du.`o.ng cong) ˆa´y m`a khˆong dˆe’ ´y dˆe´n c´ac gi´a tri. cu’a h`am ta.i c´ac diˆe’m kh´ac.
C ´AC V´I DU.
1. H`am f(z) = z+a
z+b (a 6= b) liˆen tu.c ta.i mo.i diˆe’m z0 6= −b trong m˘a.t ph˘a’ng z.
Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’ cho tru.´o.c ε >0. Ta d˘a.t|z0+b|= 2d. Gia’ su.’ thˆem r˘a`ng
|z−z0|< d. Ta c´o z+b=z0+b+z−z0 ⇒ |z+b|> |z0+b| − |z−z0| >2d−d=d ⇒ |z+b|> d. T`u. d´o suy ra z+a z+b − z0+a z0+b = |a−b| |z−z0| |z+b| |z0+b| 6 |a−b| |z−z0| 2d2 ·
1.3. H`am biˆe´n ph´u.c 69 Nˆe´u |a−b| |z−z0| 2d2 < ε (ngh˜ıa l`a |z−z0|< 2εd 2 |a−b|) v`a |z −z0| < d th`ı ta s˜e c´o z+a z +b − z0+a z0+b < ε. Do d´o hˆe. th´u.c zz++ab −z0+a z0+b < ε
du.o..c tho’a m˜an nˆe´u
|z−z0|<min1 2|z0+b|, |z0+b|2 2|a−b| .
2. H`am f(z) =zn, n∈N liˆen tu.c v´o.i mo.i z =a h˜u.u ha.n. Ta c´o
zn−an = (z−a)(zn−1 +azn−2+· · ·+an−1) do d´o
|zn−an|6|z−a|(|z|n−1+· · ·+|a|n−1).
Ta x´et h`ınh tr`on {|z|6 r} v`a gia’ su.’ z v`a a thuˆo.c h`ınh tr`on d´o, |z| < r,
|a|< r. Khi d´o
|zn−an|6nrn−1|z−a|.
v`a ta c´o thˆe’ cho.n sˆo´δ(ε) l`a b˘a`ng min
ε
nrn−1 , r+|a|
.
Diˆ`u d´o ch´e u.ng to’ r˘a`ng zn l`a h`am liˆen tu.c ∀z ∈ {|z|6r}, trong d´o r c´o thˆe’ l´o.n t`uy ´y. V`a nhu. vˆa.y zn l`a h`am liˆen tu.c ∀z ∈C.
D- i.nh l´y 1.3.2. 1. H`am f(z) liˆen tu. c ta. i diˆe’m z0 =x0 +iy0 khi v`a chı’ khi
u(x, y)v`a v(x, y) liˆen tu. c ta. i diˆe’m (x0, y0).
Ch´u.ng minh. Tru.´o.c hˆe´t ta lu.u ´y r˘a`ng
|u(x, y)−u(x0, y0)| |v(x, y)−v(x0, y0)|
)
6|f(z)−f(z0)|6|u(x, y)−u(x0, y0)|+|v(x, y)−v(x0, y0)|
1. Gia’ su.’ h`am f(z) liˆen tu.c ta.i diˆe’mz0. Ta c´o
|u(x, y)−u(x0, y0)|6|f(z)−f(z0)|< ε
khi|z−z0|< δ.
Nhu.ng |z−z0|< δ khi dˆ` ng th`o.i c´oo |x−x0|< √δ
2 v`a|y−y0|<
δ
√
2, do d´o h`am u(x, y) liˆen tu.c. Tu.o.ng tu..v(x, y) liˆen tu.c.
Ngu.o..c la.i, nˆe´u uv`a v l`a c´ac h`am liˆen tu.c th`ı h`amf liˆen tu.c (ba.n do.c c´o thˆe’ suy luˆa.n dˆe˜ d`ang).
2. Phˆ` n th´a u. hai cu’a di.nh l´y du.o..c suy t`u. bˆa´t d˘a’ng th´u.c
|f(z)| − |f(z0)|
6|f(z)−f(z0)|.
T`u. di.nh l´y 1.3.2 suy ra r˘a`ng nh˜u.ng di.nh l´y so. cˆa´p vˆe` c´ac ph´ep t´ınh dˆo´i