D- i.nh ngh˜ıa 1.5.1. Gia’ su.’ du.`o.ng cong γ khˆong di qua gˆo´c to.a dˆo. z = 0. Khi d´o g´oc quay cu’a vecto.z khi diˆe’m z chuyˆe’n dˆo.ng theo du.`o.ng cong γ t`u. diˆe’m dˆ` u dˆe´n diˆe’m cuˆo´i du.o..c go.i l`a sˆo´ gia cu’a acgumena z do.c theo du.`o.ng cong γ v`a k´y hiˆe.u l`a ∆γargz.
V´ı du. 2
1. Nˆe´uγl`a doa.n th˘a’ng v´o.i diˆe’m dˆa` u 1−iv`a diˆe’m cuˆo´i 1 +ith`ı ∆γargz =
π
2.
2. Nˆe´u γ+ ={z :|z|= 1,Imz >0} v´o.i hu.´o.ng ngu.o..c chiˆe`u kim dˆo` ng hˆo` th`ı ∆γ+argz =π.
3. Nˆe´u γ− = {z : |z| = 1,Imz 60} v´o.i hu.´o.ng c`ung chiˆ`u kim dˆoe ` ng hˆo` th`ı ∆γ−argz =−π.
Bˆay gi`o. ta nˆeu ra cˆong th´u.c biˆe’u diˆ˜n dˆo´i v´o.i ∆e γargz. V`ı
x=rcosϕ, y=rsinϕ,
nˆen
dx= cosϕdr−rsinϕdϕ, dy = sinϕdr+rcosϕdϕ.
Do d´o
rdϕ=−sinϕdx+ cosϕdy
v`a
dϕ=d(argz) = −ydx+xdy
x2+y2 · (1.49)
Bˆay gi`o. ta x´et
Z
γ
d(argz). T´ıch phˆan n`ay b˘a`ng hiˆe.u gi˜u.a gi´a tri. acgumen
1.5. H`am argz 97 vˆa.y ∆γargz = Z γ −ydx+xdy x2+y2 · (1.50)
Sˆo´ gia ∆γargz c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay.
(I) Gia’ su.’ D =C\ {0} (t´u.c l`aD = {z ∈ C : 0 <|z| <∞} v`a γ1, γ2 l`a nh˜u.ng du.`o.ng cong dˆ` ng luˆan v´o.i nhau (o γ1 ≈γ2) trong D. Khi d´o
∆γ1argz= ∆γ2argz. (1.51)
Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ γ1 v`aγ2 di t`u. diˆe’mA dˆe´n diˆe’mB. D˘a.t γ =γ1∪γ2. V`ı
γ1≈ γ2 trong D v`a ∂ ∂y −y x2+y2 = ∂ ∂x x x2+y2
nˆen5 t´ıch phˆan cu’a −ydxx2++yxdy2 lˆa´y theo du.`o.ng cong nˆo´i diˆe’m A v´o.i diˆe’m B
khˆong phu. thuˆo.c v`ao da.ng cu’a du.`o.ng cong. Do d´o
Z γ1 −ydx+xdy x2+y2 = Z γ2 −ydx+xdy x2+y2 · (1.52) T`u. (1.50) v`a (1.52) suy ra (1.51). D˘a.c biˆe.t t`u. t´ınh chˆa´t (I) r´ut ra
(II) Nˆe´uγ ⊂D l`a du.`o.ng cong d´ong v`a γ ≈0 trong D th`ı
∆γargz = 0. (1.53)
Nhˆa. n x´et. 1. Ta lu.u ´y r˘a`ng d˘a’ng th´u.c (1.51) du.o..c tho’a m˜an khˆong pha’i v´o.i
γ1 v`a γ2 bˆa´t k`y (v´o.i c´ac dˆ` u m´a ut chung) trong D. Thˆa.t vˆa.y, v´o.iγ+ v`a γ−
d˜a x´et trong c´ac v´ı du. 2) v`a 3) ta c´o ∆γ1argz 6= ∆γ2argz2. Hiˆe’n nhiˆen trong tru.`o.ng ho..p n`ay γ1 khˆong dˆ` ng luˆan v´o.io γ2 trong D.
5Xem G. M. Fichtengon. Co. so.’ gia’i t´ıch to´an ho.c, tˆa.p II, trang 230-232. Nh`a xuˆa´t ba’n Da.i ho.c v`a Trung ho.c Chuyˆen nghiˆe.p, H`a Nˆo.i 1972.
2. C˜ung nhu. vˆa.y, d˘a’ng th´u.c (1.53) du.o..c tho’a m˜an khˆong pha’i dˆo´i v´o.i du.`o.ng cong d´ong γ bˆa´t k`y trong D. Ch˘a’ng ha.n nˆe´u γ ={|z|= 1}c´o hu.´o.ng ngu.o..c chiˆe`u kim dˆo` ng hˆo` th`ı ∆γargz = 2π. Hiˆe’n nhiˆen o.’ dˆay γ khˆong dˆ` ngo luˆan v´o.i 0.
(III) Nˆe´u du.`o.ng cong γ khˆong di qua diˆe’m z= 0 th`ı
∆γargz =−∆γ−argz. (1.54)
D˘a’ng th´u.c (1.54) du.o..c suy t`u. (1.50) v`a t´ınh di.nh hu.´o.ng cu’a t´ıch phˆan du.`o.ng.
(IV) Nˆe´u du.`o.ng cong γ khˆong di qua diˆe’mz = 0 v`a du.o..c biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng γ=γ1∪γ2, trong d´o γ1,γ2 l`a c´ac cung cu’a n´o th`ı
∆γ1∪γ2argz = ∆γ1argz+ ∆γ2argz.
Diˆ`u d´o du.o..c suy t`u. (1.50) v`a t´ınh cˆo.ng t´ınh cu’a t´ıch phˆan du.`o.ng.e