Phˆ `n trong v` aa phˆ `n ngo` a ai

khˆong giao nhau. Gia’ su.’ z ∈U(z1,1)∩U

∞, 1 |z1|+ 2 . V`ız∈U(z1,1) nên ρ(z,0) 6ρ(z, z1) +ρ(z1,0) <1 +|z1|. M˘a.t khác v`ız ∈ U ∞, 1 |z1|+ 2 nên ρ(z,0) >|z1|+ 2. Dó là diˆù mâue thuâñ.

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.4. Tâ.p ho..p con A⊂C (ho˘a.cC) du.o..c go.i là tâ. p dóng nêú phˆ` n bà u CCA cu’a nó là tâ.p mo’ ..

D- i.nh lý 1.2.3. Hê. các tâ.p ho..p dóng tho’a mãn các t´ınh châ´t sau dây:

1. C và ∅ là nh˜u.ng tâ. p dóng.

2. Ho..p cu’a mô.t sô´ h˜u.u ha.n tâ.p ho..p dóng là tâ.p ho..p dóng.

3. Giao cu’a mô. t sô´ h˜u.u ha. n hay vô ha. n bâ´t k`y các tâ. p ho..p dóng là tâ.p ho..p dóng.

Chú.ng minh. Suy tru..c tiê´p tù. di.nh lý 1.2.1 và các quy t˘ać lâý phâ` n bù.

Nhâ. n xét 1.2.1. Tù. di.nh lý 1.2.1 và 1.2.3 suy ra r˘a`ng trên m˘a.t ph˘a’ng phú.c

C chı’ có ch´ınhC và tâ.p ho..p ∅là dˆ` ng thò.i vò u.a dóng vù.a mo.’ trongC.

1.2.2 Phˆ` n trong v`a a phˆ` n ngo`a ai

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.5. Gia’ su.’ A ⊂ C, A 6= ∅. Tâ.p ho..p các diê’m trong cu’a A

du.o..c go.i làphˆ` n tronga cu’a A và du.o..c ký hiê.u là

◦

A. T`u. di.nh l´y 1.2.1 suy ra r˘a`ng

◦

A l`a tˆa.p ho..p mo.’.

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.6. Phˆ` n tronga

◦

1.2. Các khái niê.m tôpô co. ba’n trên m˘a.t ph˘a’ng phú.c 39

Ta c´o

D- i.nh lý 1.2.4. Diê’m z0 ∈ C là diê’m ngoài cu’a tâ. p ho..p A khi và chı’ khi

d(z0, A)>0, trong d´o khoa’ng c´ach

d(z0, A) = inf

z0∈Ad(z0, z0).

Chú.ng minh. 1. V`ıd(z0, A) > 0 ⇒ U(z0, d(z0, A)) ⊂ CA, do dó z0 là diê’m trong cu’aCA, tú.c là diê’m ngoài cu’a A.

2. Nêúz0 là diê’m ngoài cu’a A th`ı tˆ` n ta.i h`ınh tròno U(z0, r), r >0, n˘a`m trong CA. Nhu. vâ.y dôí vó.i diê’m z ∈ A bâ´t k`y ta có d(z0, z)> r và do dó

d(z0, A)>r.

1.2.3 D- iˆe’m tu.

Ta xét diê’m tu. cu’a tâ.p ho..p và cu’a dãy diê’m trênC.

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.7. Diê’m z0 ∈ C du.o..c go.i là diê’m tu. (hay diê’m gió.i ha. n) cu’a tâ.p ho..p A⊂C nêú trong lân câ.n bâ´t k`y cu’a nó có vô sô´ diê’m cu’a A.

Tâ.p ho..p các diê’m tu. cu’a tâ.p ho..p A thu.ò.ng du.o..c ký hiê.u làA0. Tù. di.nh ngh˜ıa 1.2.7 suy r˘a`ng lân câ.n bâ´t k`y cu’a diê’m z giao vó.i A khi và chı’ khi ho˘a.c z ∈ A, ho˘a.c z là diê’m tu. cu’a A. V`ı vâ.y, có thê’ mô ta’ khái niê.m tâ.p ho..p dóng theo ngôn ng˜u. lân câ.n nhu. sau:

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.4’. Tâ.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i là dóng nêú nó chú.a mo.i diê’m tu. cu’a nó.

Ho..p cu’a tâ.p ho..p A⊂C vó.i tâ.p ho..p mo.i diê’m tu. cu’a nó du.o..c go.i làbao dóngcu’a tâ.p ho..p A và ký hiê.u là A.

Nhu. vˆa.y A=A∪A0.

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.8. Anh xa.´ zn:N→Cdu.o..c go.i là mô.t dãy diê’m trênCvà ký hiê.u là

zn n>0. Dãy{zn} ⊂Cdu.o..c go.i làhô. i tu. tó.i diê’mz (hayz làgió.i ha. n cu’a dãy {zn}) nêú: vó.i mô˜i lân câ.n V cu’a z, dˆùe ∃m0 ∈ N : ∀m ∈N,

Tù. di.nh lý 1.2.2 (tiên dê` Hausdorff) ta có

D- i.nh lý 1.2.5. Trong C mo. i dãy hô. i tu. dˆù cé o gió.i ha. n duy nhâ´t.

Chú.ng minh. Nêú dãy hô.i tu. zn có hai gió.i ha.n z0 và ˜z0 (z0 6= ˜z0) th`ı t`ım du.o..c hai lân câ.n U vàV cu’a z0 và ˜z0 tu.o.ng ú.ng sao cho U∩V =∅.

Theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n th`ı∃m0 ∈N;n0 ∈Nsao cho: zn∈U,∀n>m0,

zn∈ V, ∀n> n0, v`ı vâ.y zn ∈U ∩V khi n >max(m0, n0). Nhu.ng diˆù nàye không thê’ xa’y ra.

Nhâ. n xét 1.2.2. Gi˜u.a các khái niê.m diê’m tu. cu’a dãy {zn} và cu’a tâ.p ho..p các giá tri. {zn} có su.. khác nhau. V´ı du., dãyxn= 1, n= 0,1,2, . . . có diê’m tu.x= 1, còn tâ.p {zn} chı’ gˆ` m mô.t diê’mo zn = 1 không có diê’m tu..

1.2.4 Biˆen cu’ a tˆa. p ho..p

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.9. Tâ.p ho..p nh˜u.ng diê’m cu’a Ckhông thuô.c phâ` n trong và không thuô.c phâ` n ngoài cu’a tâ.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i là biên cu’a A và ký hiê.u là ∂A.

V`ı

◦

A∪

◦

CA là tâ.p ho..p mo.’ nên ∂Alà tâ.p ho..p dóng.

D- i.nh lý 1.2.6. Diê’m a∈∂Akhi và chı’ khi lân câ. n bâ´t k`y cu’a diê’m a dˆ` ngo thò.i chú.a diê’m cu’a A và cu’a CA.

Chú.ng minh. Gia’ su.’ lân câ.n V bâ´t k`y cu’a diê’m a dˆ` ng thò.i giao vó.io A và

CA: V ∩A6=∅; V ∩CA6=∅. Khi dó V 6⊂A vàV 6⊂CA. Suy ra a6∈ ◦ A và a6∈ ◦ _ CA. Vâ.y a∈∂A.

Ngu.o..c la.i, gia’ su.’a∈∂AvàV là lân câ.n nào dó cu’aa. Khi dóV ∩A6=∅

v`ı nêú V ∩A=∅ th`ıV ⊂CA suy ra a thuô.c phâ` n ngoài cu’a A. Tu.o.ng tu..

1.2. Các khái niê.m tôpô co. ba’n trên m˘a.t ph˘a’ng phú.c 41

1.2.5 Tˆa. p ho..p comp˘a´c

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.10. 1. Tâ.p ho..pA⊂Cdu.o..c go.i làtâ. p ho..p comp˘ać nêú nó dóng và bi. ch˘a.n.

2. Tâ.p ho..pA ⊂Cdu.o..c go.i là tâ.p comp˘ać nêú A là tâ.p ho..p dóng trong

Gia’ su.’ {U} là ho. tùy ý các tâ.p ho..p mo.’ phu’ tâ.p ho..p comp˘ać A, tú.c là mô˜i diê’m z ∈ A dˆù thuô.c ´ıt nhâ´t là mô.t tâ.p ho..p cu’a ho.e {U}. Ngu.ò.i ta c˜ung nói r˘a`ng ho.{U}là mô.t phu’ mo.’ cu’aA. Dôí vó.i các tâ.p ho..pA⊂Chai diˆù kiê.n sau dây là tu.o.ng du.o.ng vó.i nhau:e

(I) Alà tâ.p ho..p comp˘ać;

(II) tù. mo.i phu’ mo’ cu’a. A dˆù có thê’ tr´ıch ra mô.t phu’ con h˜u.u ha.n, tú.ce là có mô.t sô´ h˜u.u ha.n chı’ sô´i1, i2, . . . , in sao cho

A⊂Ui1 ∪Ui2 ∪ · · · ∪Uin, Uik ∈ {U}, k= 1,2, . . . , n.

Dó ch´ınh là nô.i dung cu’a bô’ dê` Heine - Borel - Lebesgue.

Mô.t trong nh˜u.ng hê. qua’ quan tro.ng nhâ´t cu’a bô’ dê` Heine - Borel - Lebesgue là nguyên lý Bozano - Weierstrass.

D- i.nh lý 1.2.7. (nguyên lý Bolzano - Weierstrass). Dãy vô ha. n bâ´t k`y

{zn}, n = 1,2, . . . (1.18)

các diê’m cu’a tâ. p ho..p comp˘ać K ⊂C có ´ıt nhâ´t mô. t diê’m tu. .

Chú.ng minh. Gia’ thiê´t r˘a`ng không mô.t diê’m nào cu’a K là diê’m gió.i ha.n cu’a dãy (1.18). Diˆù dó có ngh˜ıa làe ∀z ∈ K, ∃δ > 0 sao cho U(z, δ) chú.a không quá mô.t sô´ h˜u.u ha.n diê’m cu’a dãy (1.18). Ta ký hiê.uU là ho. các tâ.p ho..p mo.’U(z, δ) khiz cha.y trênK. Dó là phu’ mo.’ cu’aK và theo bô’ dˆ` Heinee - Borel - Lebesgue có thê’ tr´ıch phu’ con h˜u.u ha.n phu’ K:

[U(z10, δ1), U(z20, δ2), . . . , U(zn0, δn)].

V`ı mˆo˜i U(z0

k, δk) chú.a không quá mô.t sô´ h˜u.u ha.n diê’m cu’a dãy (1.18) nên dãy (1.18) không thê’ là dãy vô ha.n. Ngh˜ıa là gia’ thiê´t cu’a chúng ta không dúng. Do dó nguyên lý Bolzano - Weierstrass du.o..c chú.ng minh.

C ´AC V´I DU.

1. Tâ.p ho..p mô.t diê’m là tâ.p ho..p comp˘ać. 2. Tâ.p ho..p h˜u.u ha.n diê’m là tâ.p ho..p comp˘ać.

3. Tâ.p ho..p C không pha’i là tâ.p ho..p comp˘ać. Thâ.t vâ.y, nêú ta xét phu’ mo.’ vó.i tâm ta.i gôć to.a dô. và bán k´ınh > 0 th`ı rõ ràng là mô.t sô´ h˜u.u ha.n bâ´t k`y các h`ınh tròn này n˘a`m tro.n trong mô.t h`ınh tròn bán k´ınh h˜u.u ha.n. Do dó nó không phu’ toàn C du.o..c.

4. Tâ.p ho..p Clà tâ.p ho..p comp˘ać. Dê’ chú.ng minh diêù này ta cu. thê’ hóa tôpô dã trang bi. cho C o.’ dˆ` u mu.c nhu. sau:a

a) Tâ.p ho..p U không chú.a diê’m ∞ là mo.’ trong C nêú nó mo.’ trong C; b) Tâ.p ho..p U(∞) chú.a diê’m ∞ là mo.’ trongC nêú phˆ` n bà u CCU(∞) là comp˘ać trong C.

Ba.n do.c có thê’ tu.. kiê’m chú.ng r˘a`ng tôpô này ch´ınh là tôpô dã xác di.nh o.’ trên. Vó.i tôpô dã cu. thê’ hóa này o.’ trong C ta dˆ˜ dàng ché u.ng minh du.o..c r˘a`ng C là comp˘ać. Thâ.t vâ.y, nêú{Ui} là mô.t phu’ mo.’ cu’a C, th`ı mô.t trong các Ui s˜e chú.a diê’m ∞. Ta ký hiê.u dó là U(∞). Khi dó phˆ` n bà u cu’a nó là comp˘aćK ⊂C nào dó. V`ıK comp˘ać nên nó du.o..c phu’ bo.’i mô.t sô´ h˜u.u ha.n tâ.p ho..p Ui1, Ui2, . . . , Uin. Tù. dó suy ra r˘a`ng các tâ.p ho..p Ui1, Ui2, . . . , Uin và

U(∞) l`a phu’ con h˜u.u ha.n cu’a C.

V`ı m˘a.t ph˘a’ng phú.c C là tâ.p ho..p comp˘ać, nên tù. nguyên lý Bolzano - Weierstrass suy ra: trong C dãy vô ha. n bâ´t k`y có ´ıt nhâ´t là mô. t diê’m tu. .

Hiê’n nhiên r˘a`ng trong C tˆ` n ta.i nh˜u.ng dãy diê’m không có diê’m gió.i ha.no thuô.c C. Ch˘a’ng ha.n dãy 1,2, . . . , n, . . . không có diê’m gió.i ha.n trong C.

1.2.6 Tâ. p ho..p liên thông

Gia’ su.’ A là tâ.p ho..p con cu’a m˘a.t ph˘a’ng phú.cC. Ta có:

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.11. Tâ.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i là tâ. p ho..p liên thông nêú không tˆ` n ta.i hai tâ.p ho..p mo.’o A1 và A2 trong C sao cho:

1. A∩A1 6=∅, A∩A2 6=∅; 2. A∩A1∩A2 =∅;

1.2. Các khái niê.m tôpô co. ba’n trên m˘a.t ph˘a’ng phú.c 43

3. A⊂A1 ∪A2.

Bây giò. ta xét tâ.p ho..p A trong tôpô ca’m sinh4 bo.’ i tôpô cu’a C. Nhu. ta dã biê´t, khi dó tâ.p ho..p A s˜e tro.’ thành không gian tôpô con cu’a C. Do dó gia’ su.’ A=A∗

1∪A∗

2, trong d´oA∗ 1 v`aA∗

2 là nh˜u.ng tâ.p ho..p mo.’ không trôńg và không giao nhau dôí vó.i A. Khi dó, tˆ` n ta.i nh˜u.ng tâ.p ho..p mo.’ không giaoo nhauA1 vàA2 cu’a C sao cho:

A∗1 =A1∩A, A∗2=A2∩A.

V`ı tˆa.p ho..p A∗

1 v`a A∗

2 là nh˜u.ng tâ.p ho..p bù nhau mô.t cách tu.o.ng hô˜ dôí vó.i A nên A∗

1 v`a A∗

2 là nh˜u.ng tâ.p ho..p dô` ng thò.i dóng và mo.’ trong A. Tù. dó ta có di.nh ngh˜ıa tu.o.ng du.o.ng sau dây:

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.12. Tâ.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i là tâ.p ho..p liên thông nêú trong A không tˆ` n ta.i mô.t tâ.p ho..p con nào dôo ` ng thò.i vù.a dóng vù.a mo.’ trongA trù. ch´ınh tâ.p ho..p A và tâ.p ho..p ∅.

C ´AC V´I DU.

1. Tâ.p ho..p trôńg và tâ.p ho..p gô` m mô.t diê’m là nh˜u.ng tâ.p ho..p liên thông. 2. Tâ.p ho..p C là tâ.p ho..p liên thông.

3. Tâ.p ho..p C\ {mô.t sô´ h˜u.u ha.n diê’m} là tâ.p ho..p liên thông. 4.Doa.n th˘a’ng I = [a, b]⊂R là tâ.p ho..p liên thông.

Dôí vó.i tâ.p ho..p mo.’ không trôńg cu’a m˘a.t ph˘a’ng C ta có:

D- i.nh lý 1.2.8. Gia’ su.’ U là tâ. p ho..p mo.’ trong C. Hai diˆù kiê.n sau dây làe tu.o.ng du.o.ng

1. Tâ. p ho..p U liên thông.

2. Qua hai diê’m tùy ý cu’a tâ. p ho..p U có thê’ nôí chúng b˘a`ng mô. t du.ò.ng gâ´p khúc n˘a`m tro.n trong U.

4Tôpô cu’a tâ.p ho..p A⊂C, trong dó lân câ.n cu’a các diê’m là giao cu’a A vó.i các lân câ.n cu’a ch´ınh các diê’m âý trong tôpô cu’aCdu.o..c go.i là tôpô ca’m sinh

Chú.ng minh. Ta chú.ng minh tù. (1) suy ra (2). Gia’ su.’ a ∈ U là diê’m bâ´t k`y cho tru.ó.c. Ta ký hiê.u E là tâ.p ho..p nh˜u.ng diê’m cu’aU mà ta có thê’ nôí chúng vó.i diê’m a b˘a`ng nh˜u.ng du.ò.ng gâ´p khúc trong U. Tâ.p ho..p E có các t´ınh châ´t sau dây:

a) Tâ.p ho..p E 6=∅v`ı nó chú.a ´ıt nhâ´t là diê’m a.

b) Tâ.p E là mo.’ . Thâ.t vâ.y, v`ıU mo.’ nên vó.i mô˜i diê’m c0 ∈ U tˆ` n ta.io mô.t lân câ.n h`ınh tròn vó.i tâm là c0 n˘a`m tro.n trong U. Mô˜i diê’m cu’a h`ınh tròn này dˆù có thê’ nôí vó.ie c0 b˘a`ng mô.t du.ò.ng gâ´p khúc (ch˘a’ng ha.n, nôí theo bán k´ınh). Nhu. vâ.y, nêú diê’mc0 có thê’ nôí vó.i diê’ma b˘a`ng du.ò.ng gâ´p khúc n˘a`m tro.n trongU th`ı tˆ` n ta.i mô.t lân câ.n cu’a diê’mo c0 mà mo.i diê’m cu’a nó dˆù có thê’ nôí vó.ie a b˘a`ng du.ò.ng gâ´p khúc ∈U. Do dóE là tâ.p ho..p mo.’. c) E là tâ.p ho..p dóng. Thâ.t vâ.y, gia’ su.’ diê’m c0 ∈ U là diê’m tu. cu’a E. Ta s˜e chú.ng minh r˘a`ng c0 ∈ E. Vó.i r > 0 nào dó, h`ınh tròn S = S(c0, r) vó.i bán k´ınhr và vó.i tâm ta.i c0 du.o..c chú.a trong U. V`ı diê’m c0 là diê’m gió.i ha.n cu’aE nên t`ım du.o..c diê’mc∈S(c0, r)∩E. Diê’mccó thê’ nôí vó.i diê’ma

v`ıc∈E và diê’m cc˜ung có thê’ nôí vó.i c0 bo.’ i doa.n th˘a’ng trongU. Nhu. vâ.y

Khoa’ng c´ ach trˆ en C

T´ınh liˆ en tu.c cu’a h`am arg z