Gia’ su.’ miˆe`nD ⊂C. Theo di.nh ngh˜ıa, h`am do.n tri. liˆen tu.c f(z) trong miˆ`ne
D du.o..c go.i l`a mˆo. t nh´anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`am da tri. F(z) nˆe´u ta.i mo.i diˆe’m z ∈ D gi´a tri. f(z) tr`ung v´o.i mˆo.t trong c´ac gi´a tri. cu’a F(z) ta.i diˆe’m d´o. Nˆe´u dˆo´i v´o.i h`am F(z) tˆ` n ta.i d`u chı’ mˆo.t nh´anh do.n tri. liˆen tu.c trongo miˆ`ne D cho tru.´o.c th`ı ngu.`o.i ta n´oi r˘`nga F(z) cho ph´ep t´ach c´ac nh´anh do.n tri. liˆen tu.c trong D.
Vˆ` sau ta thu.`o.ng x´et dˆe´n miˆee `n D0 = C\R− (t´u.c l`a tru.`o.ng ho..p nh´at c˘a´t di theo b´an tru.c thu..c ˆam). Gia’ su.’ z0 l`a diˆe’m cˆo´ di.nh t`uy ´y thuˆo.c D,
γ(z0, z)⊂D0 l`a du.`o.ng cong do.n liˆen tu.c di t`u.z0 dˆe´nz, z ∈D0 (nˆe´uz =z0
th`ıγ(z0, z) l`a du.`o.ng cong d´ong). Ta.i diˆe’m z0 ta cˆo´ di.nh mˆo.t trong c´ac gi´a tri. cu’a argz0 v`a k´y hiˆe.uϕ0= argz0. Ta x´et h`am
ϕ∗(z) = argz0, z =z0, ∆γ(z0,z)argz, z ∈D, z 6=z0. (1.55)
1.5. H`am argz 99
H`am ϕ∗(z) c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay:
1. ϕ∗(z) l`a h`am do.n tri. trong D0. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’.γ1(z0, z) v`aγ2(z0, z) l`a hai du.`o.ng cong do.n liˆen tu.c thuˆo.cD0. V`ı ca’γ1 v`aγ2 dˆ`u khˆong bao diˆe’me 0 nˆen t`u. t´ınh chˆa´t (I) v`a (II) suy ra ∆γ1(z0,z)argz = ∆γ2(z0,z)argz. Do d´o
ϕ∗(z) do.n tri. ta.i diˆe’mz ∈D0 bˆa´t k`y. Do d´o n´o do.n tri. trong D0.
2. ϕ∗(z) l`a h`am liˆen tu.c trong D0. Ch´u.ng minh hˆe.t nhu. trong n◦1 cu’a mu.c n`ay.
T`u. diˆ`u v`e u.a ch´u.ng minh suy ra r˘a`ng v´o.i gi´a tri. du.o..c cho.nϕ0, h`amϕ∗(z) l`a mˆo.t nh´anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`am da tri. argz v`a nh´anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`am argz trong D0 ho`an to`an du.o..c x´ac di.nh bo.’i gi´a tri. cu’a n´o ta.i mˆo.t diˆe’m z0 ∈D0.
Tiˆe´p theo ta x´et c´ac h`am
ϕm(z) = argz0+ 2mπ, z=z0, m∈Z, ∆γ(z0,z)argz, z∈D, z 6=z0. (1.56)
D´o l`a nh˜u.ng nh´anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`am da tri. argz trong D0 (khi
m= 0 ta c´o ϕ0(z) =ϕ∗(z)).
T`u. cˆong th´u.c (1.56) ta thˆa´y r˘a`ng dˆe’ h`am (1.56) l`a do.n tri. trong miˆe`nD
n`ao d´o, diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n v`a du’ l`a sˆo´ gia cu’a acgumen ∆γargz khˆong phu. thuˆo.c v`ao du.`o.ng cong γ, ngh˜ıa l`a dˆo´i v´o.i du.`o.ng cong d´ong ˜γ ⊂ D bˆa´t k`y ta c´o ∆γ˜argz = 0.
N´oi c´ach kh´ac, miˆ`ne D khˆong ch´u.a nh˜u.ng du.`o.ng cong d´ong Jordan bao gˆo´c to.a dˆo.. V´ı du. vˆe` mˆo.t miˆe`n nhu. vˆa.y l`a
Dα =C\[0, αeiα].
Ta d˜a n´oi r˜o v`ı sao khi miˆ`ne D ⊃ {z = 0} th`ı trong D khˆong thˆe’ t´ach nh´anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`am argz.
Gia’ su.’ ngu.o..c la.i, trong D tˆ` n ta.i nh´anh do.n tri. liˆen tu.c ˜o ϕ(z) cu’a h`am argz. Gia’ su.’ ta.i diˆe’m cˆo´ di.nh z0 ∈ D ta c´o ˜ϕ(z0) = argz0+ 2k0π, k0 ∈ Z+
l`a sˆo´ cˆo´ di.nh n`ao d´o. Gia’ su.’ γ l`a du.`o.ng cong d´ong qua z0 v`a bao gˆo´c to.a dˆo. z = 0. Khi diˆe’m z v`ong quanh γ theo hu.´o.ng du.o.ng t`u. diˆe’m z0 th`ı
˜
ϕ(z) s˜e biˆe´n thiˆen liˆen tu.c v`a khi z tro.’ vˆe` diˆe’mz0 th`ı ˜ϕ(z) s˜e nhˆa.n gi´a tri. 2k0π+ argz + 2π = ˜ϕ(z) + 2π. Diˆ`u d´o c´o ngh˜ıa l`a nh´anh du.o..c t´ache ϕ(z) khˆong do.n tri.. Diˆe`u d´o ch´u.ng to’ r˘a`ng trong miˆe`nD bˆa´t k`y ch´u.a gˆo´c to.a dˆo. khˆong thˆe’ t´ach nh´anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`am argz.