Gia’ su.’
Γ ={0,∞eiα}
l`a nh´at c˘a´t theo tia lˆa.p v´o.i hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu..c g´oc α v`a di t`u. gˆo´c to.a dˆo. dˆe´n diˆe’m ∞, v`a Dα = C\Γ. R˜o r`ang Dα l`a miˆ`n do.n liˆen. Khie d´o h`am ϕ(z) = argz du.o..c x´ac di.nh mˆo.t c´ach do.n tri. bo.’i hˆe. phu.o.ng tr`ınh
x=rcosϕ(z), y=rsinϕ(z) (v`ıα < ϕ(z)< α+ 2π, ∀z ∈Dα).
V´ı du. 1. Gia’ su.’ Dα =C\Γ(0,∞eiα). Khi d´o h`am acgumen ϕ = argz l`a h`am liˆen tu.c∀z ∈Dα.
Ch´u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, ta cˆo´ di.nh diˆe’m z0 ∈ C\(0,∞eiα) t`uy ´y v`a gia’ su.’
ε >0 cho tru.´o.c. Ta x´et δ - lˆan cˆa.n thuˆo.cDα cu’a diˆe’m z0:
U(z0, δ) ={z ∈Dα :|z−z0|< δ}.
Dˆ˜ d`ang thˆa´y r˘a`nge ∀z ∈U(z0, δ) ta c´o
|ϕ(z)−ϕ(z0)|<arcsin δ
|z0|·
Nhu.ng v`ı khix > 0⇒arcsinx <2x nˆen
|ϕ(z)−ϕ(z0)|< 2δ
|z0| < ε, ∀z ∈U(z0, δ).
T`u. d´o suy ra diˆ`u pha’i ch´e u.ng minh.
Ta lu.u ´y r˘a`ng trˆen nh´at c˘a´t Γ h`am ϕ(z) c´o gi´an doa.n. Hiˆe.u c´ac gi´a tri. gi´o.i ha.n cu’aϕ(z) khiz dˆ` n dˆe´n diˆe’m trˆen b`o. bˆen pha’i v`a b`o. bˆen tr´ai l`a b˘a`nga 2π.
Trong tru.`o.ng ho..p nh´at c˘a´t da.ng ph´u.c ta.p ho.n, ϕ(z) khˆong thˆe’ x´ac di.nh nh`o. bˆa´t d˘a’ng th´u.c α < ϕ < α+ 2π du.o..c. Khˆong di sˆau v`ao chi tiˆe´t, ta chı’ lu.u ´y r˘a`ng trong tru.`o.ng ho..p n`ayϕ(z) c˜ung du.o..c x´ac di.nh do.n tri. v`a l`a mˆo.t h`am liˆen tu.c cu’az.