4 2− 2 2 20 0 = Vậy M nằm trờn đường trũn.
2.2.DH chủ đề PP tọa độ trong mặt phẳng với sự trợ giỳp của phần mềm Cabri II Plus
mềm Cabri II Plus
2.2.1. Sử dụng phần mềm Cabri II Plus trong cỏc tỡnh huống DH điển hỡnh
•DH khỏi niệm
DH định nghĩa parabol.
Hóy dựng hỡnh và tạo vết vẽ parabol trờn phần mềm Cabri ?
Bước 1 : Dựng hỡnh
+ Dựng đường chuẩn ∆. + Dựng điểm A trờn ∆.
+ Dựng tam giỏc vuụng ABC vuụng tại A.
+ Dựng cỏc nỳt Interrupteur 1 và 2 sao cho nỳt 1 hiện ờke ABC và nỳt 2 hiện sợi dõy BMF sao cho MA =
MF (chiều dài sợi dõy BMF bằng độ dài đoạn AB). + Ẩn đi cỏc đường khụng cần thiết.
Bước 2 : Tạo vết
+ Tạo vết cho điểm M chuyển động điểm A, ta cú tập hợp điểm M là một parabol tiờu điểm F.
Hóy phỏt biểu định nghĩa parabol ?
+ Cho một điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định khụng đi qua F. Tập hợp cỏc điểm M cỏch đều F và ∆ được gọi là đường parabol (hay parabol).
+ Điểm F được gọi là tiờu điểm của parabol.
+ Đường thẳng ∆ được gọi là đường chuẩn của parabol.
+ Khoảng cỏch từ F đến ∆ được gọi là tham số tiờu của parabol. •DH định lớ
DH định lớ sin trong tam giỏc
“Cho tam giỏc ABC cú BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đường trũn (O ; R). Ta cú
a b c
2R, sin A = sin B = sin C =
Trong đú R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.”
Bước 1. Dựng hỡnh
+ Đường trũn thứ nhất dựng tam giỏc vuụng ABC (gúc A vuụng), đường trũn thứ hai dựng tam giỏc ABC nhọn và đường trũn thứ ba dựng tam giỏc ABC tự (gúc A tự).
+ Đo cỏc cạnh AB, BC, CA của cỏc tam giỏc ở cả ba đường trũn. + Đo cỏc gúc A, B, C của cỏc tam giỏc ở cả ba đường trũn.
Bước 2. Dự đoỏn kết quả
+ Ta thấy ở đường trũn thứ nhất a = 2R = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
+ Ở đường trũn thứ hai và thứ ba ta cũng thấy cú kết quả a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
Từ đõy ta đi chứng minh định lớ sin
Nếu gúc A vuụng cú BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đường trũn (O ; R) thỡ a = 2R. Dễ thấy a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
Nếu gúc A nhọn vẽ đường kớnh BA’ ta cú a = 2RsinA’ = 2RsinA. Tương tự ta cũng cú b = 2RsinB và c = 2RsinC. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh tương tự cho trường hợp gúc A tự ta cũng cú
Vậy trong mọi trường hợp a b c 2R. sin A = sin B = sin C = •DH giải bài tập
VD 1
Cho tam giỏc ABC với A 7 ; 3 , B (1 ; 2), C ( 4 ; 3). 4
= ữ = = −
Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A.
Hóy dựng hỡnh và tỡm phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A ?
Bước 1 : Dựng hỡnh
+ Dựng tam giỏc ABC với A 7 ; 3 , B (1 ; 2), C ( 4 ; 3). 4
= ữ = = −
+ Dựng đường phõn giỏc trong của gúc A là d.
Bước 2. Hiển thị kết quả
+ Tọa độ hoặc phương trỡnh →d ta thấy d cú phương trỡnh 4x – 8y + 17 = 0.
Hóy giải bài toỏn trờn bằng PP toỏn học ?
+ Cỏc đường thẳng AB và AC cú phương trỡnh là
AB : 4x 3y− + =2 0 và AC : y – 3 = 0.
+ Cỏc đường phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài của gúc A cú phương trỡnh 4x 3y 2 y 3 0 5 1 − + + − = hoặc 4x 3y 2 y 3 0 ; 5 1 − + − − = hay :
4x +2y 13 0− = (đường phõn giỏc d )1 4x – 8y + 17 = 0 (đường phõn giỏc d ).2
Do hai điểm B, C nằm cựng phớa đối với đường phõn giỏc ngoài và nằm khỏc phớa đối với đường phõn giỏc trong của gúc A nờn ta chỉ cần xột vị trớ của B, C đối với một trong hai đường, chẳng hạn d . Thay tọa 2 độ của B, C lần lượt vào vế trỏi của d ta được2
4 16 17 5 0− + = > và 16 24 17− − + = −23 0,< tức là B, C nằm khỏc phớa đối với d .2
Vậy phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A là 2
d : 4x 8y 17 0.− + =
Nhận xột
+ Việc dựng hỡnh và tỡm phương trỡnh của đường phõn giỏc trờn phần mềm Cabri tương đối đơn giản và hơn nữa là chỳng ta khụng cần tỡm phương trỡnh của đường phõn giỏc ngoài như lời giải toỏn học.
+ Chỳng ta cú thể so sỏnh kết quả toỏn học với kết quả hiển thị của phần mềm. Nếu hai kết quả này khỏc nhau thỡ ta phải xem xột tớnh đỳng đắn của cả hai kết quả đú là kết quả giải bằng phương phỏp toỏn học và kết quả cú được nhờ sử dụng sự trợ giỳp của phần mềm.
VD 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho đường trũn
2 2
x + y − 2x +4y 20 0− = và điểm M(4 ; 2).
c) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trờn đường trũn đó cho. d) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn tại điểm M.
Hóy dựng hỡnh, kiểm chứng điểm M nằm trờn đường trũn và tỡm phương trỡnh tiếp tuyến tại M trờn phần mềm Cabri 2D ?
Bước 1 : Dựng hỡnh
+ Dựng đường trũn (C) 2 2
x + y −2x +4y 20 0− = hay (x – 1)2 + (y + 2)2 = 52.
+ Dựng điểm M trờn (C) sao cho M = (4 ; 2).
Bước 2 : Hiển thị kết quả
+ Thuộc ? →M→ (C). Ta thấy M thuộc (C).
+ Dựng tiếp tuyến tại M là d (d là đường thẳn vuụng gúc với IM tại M (I là tõm đường trũn)).
+ Tọa độ hoặc phương trỡnh →d. Ta thấy d cú phương trỡnh là 3x + 4y 20 0.− =
Hóy giải bài toỏn bằng PP toỏn học ?
a) Thay tọa độ (4 ; 2) của M vào vế trỏi của phương trỡnh đường trũn, ta được
2 2
4 +2 −2.4 4.2 20 0.+ − =Vậy M nằm trờn đường trũn. Vậy M nằm trờn đường trũn.
b) Đường trũn cú tõm I = (1 ; −2). Tiếp tuyến của đường trũn tại M là đường thẳng đi qua M và nhận MIuuur làm vectơ phỏp tuyến.
Vỡ MI ( 3 ; 4)uuur= − − nờn phương trỡnh của tiếp tuyến là 3(x 4) 4(y 2) 0
− − − − =
hay
3x + 4y 20 0.− =
VD 1
Cho tam giỏc cú ba đỉnh A ( 1 ; 1), B ( 1 ; 3), C (2 ; 4).= − − = − = − Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường cao kẻ từ A.
GV dựng hỡnh và tỡm phương trỡnh của đường cao kẻ từ A trờn phần mềm Cabri :
Bước 1 : Dựng hỡnh
+ Hiện hệ trục tọa độ vuụng gúc Oxy.
+ Dựng A ( 1 ; 1),= − − B ( 1 ; 3),= − C (2 ; 4).= − + Dựng tam giỏc ABC.
+ Dựng đường cao d đi qua A.
Bước 2 : Hiển thị kết quả (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tọa độ hoặc phương trỡnh → →d 3x – 7y – 4 = 0.
Lời giải bài toỏn như sau
Đường cao cần tỡm là đường thẳng đi qua A và nhận BCuuur là một vectơ phỏp tuyến. Ta cú BC (3 ; 7)uuur= − và A ( 1 ; 1)= − − nờn theo (1), phương trỡnh tổng quỏt của đường cao đú là 3(x + 1) – 7(y + 1) = 0 hay 3x – 7y – 4 = 0.
GV sỏng tạo ra bài toỏn mới nhờ sử dụng phần mềm Cabri :
Viết phương trỡnh đường cao kẻ từ A của tam giỏc ABC với A ( 1 ; 1),= −
B (3 ; 2),= C (2 ; 4).= −
Sử dụng phần mềm Cabri cú ngay kết quả “tức thỡ” là x + 6y + 7 = 0.
VD 2
Cho tam giỏc ABC với 7 A ; 3 , B (1 ; 2), C ( 4 ;3). 4 = ữ = = −
Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A.
• GV dựng hỡnh và tỡm đường phõn giỏc trong của gúc A trờn phần mềm Cabri
Bước 1 : Dựng hỡnh
+ Dựng tam giỏc ABC với A 7 ; 3 , B (1 ; 2), C ( 4 ; 3). 4
= ữ = = −
+ Dựng đường phõn giỏc trong của gúc A là d.
Bước 2. Hiển thị kết quả
+ Tọa độ hoặc phương trỡnh →d ta thấy d cú phương trỡnh 4x – 8y + 17 = 0.
Lời giải bài toỏn như sau
Dễ thấy cỏc đường thẳng AB và AC cú phương trỡnh AB : 4x – 3y + 2 = 0 và AC : y – 3 = 0
Cỏc đường phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài của gúc A cú phương trỡnh 4x 3y 2 y 3 0 5 1 − + + − = hoặc 4x 3y 2 y 3 0 ; 5 1 − + − − = Hay 4x +2y 13 0− = (đường phõn giỏc d )1 4x 8y 17 0− + = (đường phõn giỏc d ).2
Do hai điểm B, C nằm cựng phớa đối với đường phõn giỏc ngoài và nằm khỏc phớa đối với đường phõn giỏc trong của gúc A nờn ta chỉ cần xột vị trớ của B, C đối với một trong hai đường, chẳng hạn d . Thay tọa độ của B, C 2 lần lượt vào vế trỏi của d ta được2
4 – 16 + 17 = 5 > 0 và −16 – 24 +17 = -23 < 0, tức là B, C nằm khỏc phớa đối với d .2
Vậy phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A là 2
d : 4x 8y 17 0− + = . GV thay đổi dữ kiện của giả thiết để cú bài toỏn mới
Cho tam giỏc ABC với 7 A ; 3 , B (1 ; 2), C ( 2 ;5). 4 = ữ = = −
Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A. Sử dụng phần mềm Cabri ta cú ngay kết quả tức thỡ
d 4x 18y 47 0.= − + =
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});