Một số đặc điểm DH chủ đề PP tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 THPT

10. Thuộc tớnh

2.1. Một số đặc điểm DH chủ đề PP tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 THPT

10 THPT

2.1.1. Sơ lược lịch sử hỡnh thành PP tọa độ

• Một số nột đại cương về PP tọa độ trong mặt phẳng

Theo [21], cơ sở của PP tọa độ là hệ trục tọa độ. Hệ tọa độ cho phộp ta dựng được đồ thị của một đường khi biết phương trỡnh của đường đú. Hệ tọa độ cho phộp ta lập phương trỡnh của một đường khi biết tớnh chất đặc trưng của tất cả cỏc điểm thuộc đường đú. Thay vỡ chỳng ta làm việc với cỏc bài toỏn hỡnh học thỡ chỳng ta sẽ làm việc với cỏc phương trỡnh. Tức là, chỳng ta đó chuyển những ngụn ngữ hỡnh học về ngụn ngữ đại số.

Khi làm việc với hỡnh học, ta đó sử dụng đến số thực và cỏc phộp toỏn của trường số thực. Tức là, ta đó sử dụng đến “mụ hỡnh bằng số thực” để thể hiện cỏc khỏi niệm và cỏc quan hệ hỡnh học. Ứng với mỗi điểm M của đường thẳng sẽ tương ứng 1 – 1 với số thực x xỏc định. Tương tự với mỗi điểm M của mặt phẳng, ứng với một cặp số thực xỏc định cú thứ tự (x ; y) và ngược lại.

Khi chỳng ta đưa vào mặt phẳng một hệ tọa độ thỡ ứng với mỗi điểm ta cú thể cho tương ứng một cặp số thực gọi là tọa độ của điểm đú. Một đường được biểu thị bằng một phương trỡnh và một hệ phương trỡnh. Cỏc quan hệ như thẳng hàng, đồng quy, song song, vuụng gúc, … được thay bằng những quan hệ đại số giữa những số, những vộctơ và những phộp toỏn.

PP tọa độ như là “cõy cầu” nối giữa hỡnh học và đại số. Nhờ cú PP tọa độ ta cú thể “đại số húa” hỡnh học và cả “hỡnh học húa” đại số.

Cú thể núi, sự ra đời của PP tọa độ đó xỏc lập mối quan hệ mật thiết giữa hỡnh học và đại số - vốn là hai ngành khỏc nhau của toỏn học.

• Một số nột đại cương về sự trỡnh bày kiến thức tọa độ trong chương trỡnh hỡnh học phổ thụng

Cỏc khỏi niệm quan trọng về tia số, trục số, hệ trục tọa độ được trỡnh bày ở đại số 7 và đại số 9.

Trong chương trỡnh THPT kiến thức tọa độ được trỡnh bày ở nhiều chương.

Ở chương trỡnh THPT việc trỡnh bày PP tọa độ cú liờn quan mật thiết với cụng cụ vectơ : SGK giới thiệu PP vectơ sau đú dựng vectơ để xõy dựng tọa độ. Tọa độ của điểm M được hiểu là tọa độ của vectơ OMuuuur. PP tọa độ trong mặt phẳng (hỡnh học 10 nõng cao) chủ yếu nghiờn cứu cỏc dạng phương trỡnh của đường thẳng, cỏc quan hệ song song, vuụng gúc của hai đường thẳng, gúc giữa hai đường thẳng, khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng, phương trỡnh đường trũn, phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn và phương trỡnh đường elip, hypebol, parabol. PP tọa độ trong khụng gian (hỡnh học 12) trỡnh bày nội dung về PP tọa độ trong khụng gian. Đú là cỏc dạng phương trỡnh đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu, khoảng cỏch giữa cỏc yếu tố.

Ở chương trỡnh THPT trước kia, ba đường cụ-nic được trỡnh bày ở chương trỡnh lớp 12 sau khi học xong đạo hàm, tức là đó học kiến thức về tiếp tuyến với một đường cong. Cũn chương trỡnh THPT hiện nay, ba đường cụ- nic được đưa vào chương trỡnh hỡnh học 10 nờn chưa học về tiếp tuyến với một đường cong. Chớnh vỡ thế cỏc dạng bài tập về tiếp tuyến với đường cụ-nic nay khụng cũn học nữa.

2.1.2. DH một số tỡnh huống điển hỡnh chủ đề PP tọa độ trong mặt phẳng

• DH khỏi niệm

HS phỏt biểu định nghĩa parabol (SGK) ?

+ Cho một điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định khụng đi qua F. Tập hợp cỏc điểm M cỏch đều F và ∆ được gọi là đường parabol (hay parabol).

+ Điểm F được gọi là tiờu điểm của parabol.

+ Đường thẳng ∆ được gọi là đường chuẩn của parabol.

+ Khoảng cỏch từ F đến ∆ được gọi là tham số tiờu của parabol. HS nờu cỏch vẽ parabol (SGK) ?

+ Ta cú thể vẽ parabol với tiờu điểm F và đường chuẩn ∆ như sau : Lấy một ờke ABC (vuụng ở A) và một đoạn dõy khụng đàn hồi, cú độ dài bằng AB. Đớnh một đầu dõy vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của ờke. Đặt ờke sao cho cạnh AC nằm trờn ∆, lấy đầu bỳt chỡ ộp sỏt sợi dõy vào cạnh AB và giữ căng sợi dõy rồi cho cạnh AC của ờke trượt trờn ∆. Khi đú đầu M của bỳt chỡ sẽ vạch nờn một phần của parabol (vỡ ta luụn cú MF = MA).

• DH định lớ

DH định lớ sin trong tam giỏc

“Cho tam giỏc ABC cú BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đường trũn (O ; R). Ta cú

a b c

2R, sin A = sin B = sin C =

Nếu gúc A vuụng cú BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đường trũn (O ; R) thỡ a = 2R. Dễ thấy a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.

Nếu gúc A nhọn vẽ đường kớnh BA’ ta cú a = 2RsinA’ = 2RsinA. Tương tự ta cũng cú b = 2RsinB và c = 2RsinC.

Chứng minh tương tự cho trường hợp gúc A tự ta cũng cú

A = 2RsinA’ = 2Rsin(1800 – A) = 2RsinA và b = 2RsinB, c = 2RsinC. Vậy trong mọi trường hợp a b c 2R.

sin A = sin B = sin C = •DH giải bài tập

VD 1

Cho tam giỏc ABC với A 7 ; 3 , B (1 ; 2), C ( 4 ; 3). 4

 

= ữ = = −

 

Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A. Cỏc đường thẳng AB và AC cú phương trỡnh là

AB : 4x 3y− + =2 0 và AC : y – 3 = 0.

Cỏc đường phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài của gúc A cú phương trỡnh 4x 3y 2 y 3 0 5 1 − + + − = hoặc 4x 3y 2 y 3 0 ; 5 1 − + − − = hay :

4x +2y 13 0− = (đường phõn giỏc d )1 4x – 8y + 17 = 0 (đường phõn giỏc d ).2

Do hai điểm B, C nằm cựng phớa đối với đường phõn giỏc ngoài và nằm khỏc phớa đối với đường phõn giỏc trong của gúc A nờn ta chỉ cần xột vị trớ của B, C đối với một trong hai đường, chẳng hạn d . Thay tọa 2 độ của B, C lần lượt vào vế trỏi của d ta được2

4 16 17 5 0− + = > và 16 24 17− − + = −23 0,< tức là B, C nằm khỏc phớa đối với d .2

Vậy phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A là 2 d : 4x 8y 17 0.− + = VD 2 Cho đường trũn 2 2 x + y − 2x +4y 20 0− = và điểm M(4 ; 2).

a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trờn đường trũn đó cho. b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn tại điểm M. Ta giải bài toỏn như sau

a) Thay tọa độ (4 ; 2) của M vào vế trỏi của phương trỡnh đường trũn, ta được

2 2