1. Gợi động cơ thông qua các bài tập toán có nội dung hình học lớp 4,5
1.5.Gợi động cơ bằng cách tạo ra những tình huống, những bớc đệm
trung gian để hớng đích và qui lạ về quen
Trong môn toán ở TH, GV có thể gợi động cơ bằng các câu hỏi dẫn dắt để tạo nhu cầu nhận thức, gợi sự ham thích giải quyết vấn đề cho HS. Tuy nhiên, khi gặp những bài toán khó, rắc rối cần sử dụng những bớc trung gian. GV gợi động cơ để kích thích HS suy nghĩ, lần lợt phải giải quyết những bài toán phụ, những bài toán tơng tự để giải bài toán chính. Đây là cách gợi động cơ trung gian nhằm qui lạ về quen.
1. 5. 1. Tìm các bài toán phụ
Bài toán 33: Cho tam giác ABC có AB = 24cm. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lợt các điểm chính giữa của chúng là M, N, P. Tìm diện tích của tam giác MNP?
Có thể chia ra các bài toán phụ sau:
Bài toán phụ 1: (Với giả thiết nh trên). Hãy so sánh: dt(CNP) với dt(CPB); dt(PMA) với dt(CPB); dt(NBM) với dt(CMB)
Bài toán phụ 2: (Với giả thiết nh trên). Hãy chứng tỏ rằng: dt(CNP) = dt(PMA) = dt(NMB)
Bài toán phụ 3: (Với giả thiết nh trên). Hãy tính các dt(CNP) ; dt(PMA) ; dt(NMB) và dt(ABC)
A
B H M
N P
Trong trờng hợp 3 bài toán phụ ta có các bài giải:
* Bài toán phụ 1 giải nh sau:
Vì N là điểm chính giữa cạnh CB nên dt(CPN) = dt(NPB) = 21 dt(CPB)
Tơng tự :
M là điểm chính giữa cạnh AB nên dt(PBM) = dt(APM) =
2 1
dt(PBA) N là điểm chính giữa cạnh BC nên dt(NBM) = dt(CMN) =
2 1
dt(CMB) * Bài toán phụ 2 giải nh sau:
Vì P là điểm chính giữa của AC nên dt(ABP) = dt(CPB) = 12 dt (ABC) M là điểm chính giữa của AB nên dt(CBM) = dt(CMA) = 12 dt (ABC) Suy ra dt(CPN) = dt(PMA) = dt(NBM) =41 dt(ABC)
* Bài toán phụ 3 giải nh sau: Cách1: dt(ABC) = 2 1 x24x62 =744 cm2→ 41 dt(ABC) = 186cm2 dt(MPN) = dt(ABC) - (dt(CPN) + dt(PMA) + dt(NBM)) = 744 - 3 x 186 = 186 (cm2) Cách2: dt(ABC) = 744 cm2 Vì dt(CPN) = dt(PMA) = dt(NBM) = 4 1 dt(ABC) nên dt(CPN) +dt(PMA) + dt(NBM) = 43 dt(ABC)
dt(MPN) = dt(ABC) - 43 dt(ABC) =14 dt(ABC) = 7444 = 186 cm2 Đáp số: 186 cm2
Việc giải các bài toán phụ giúp HS tháo gỡ những khó khăn ban đầu. Các yêu cầu của bài toán phụ thờng đơn giản, dễ hiểu, dễ thực hành hơn so với yêu
cầu ban đầu của bài toán chính. Sử dụng các bài toán phụ là cần thiết bởi vì để kích thích sự ham tìm hiểu, tự giác trong học tập của mỗi HS thì phải để các em tin tởng vào khả năng giải toán của mình. Việc giải các bài toán phụ đã dần gợi mở cho các em niềm ham thích giải toán, biến yêu cầu của bài toán thành nhu cầu của mỗi HS.
Bài toán 34: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 36 cm, chiều cao xuất phát từ A dài 26cm. Trên AB lấy đoạn AM = 2/3 AB, trên AC lấy đoạn AN = 2/3 AC. Tính diện tích MNCB.
Bài toán phụ 1: Hãy tạo hai tam giác trong hình tứ giác MNCB, so sánh diện tích của chúng với diện tích tam giác ABC?
Bài toán phụ 2: Tính diện tích hai tam giác vừa tạo thành?
Bài toán phụ 3: Tính tổng diện tích hai tam giác trên?
* Lần lợt giải các bài toán phụ nh sau:
Kẻ BN tạo đợc 2 tam giác BMN và tam giác BNC từ tứ giác MNCB. Vì NA = 3 2 AB → NC = 3 1 AB →dt(BCN) = 3 1 dt(ABC) và dt(ABN) = 3 2 dt(ABC) Vì AM = 3 2 AB →MB = 3 1 AB (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
→dt(MNB) = 31 dt(ANB) = 31x32 dt(ABC) = 92 dt(ABC)
dt(ABC)= 21 x26x36 = 468 (cm2) →dt(BCN)= 468 : 3 = 156 (cm2) dt(MNB)= 92 x 468 = 104 (cm2) Ta có: dt(MNCB) = dt(BMN) + dt(BNC) = 156 + 104 = 260 (cm2) A C N M B 36cm 26 cm
Đáp số: 260 cm2
1. 5.2. Tìm các bài toán tơng tự
Học toán ở TH chính là học cách giải toán. Một bài toán khó hay dễ lại phụ thuộc vào việc HS đã đợc gặp và giải những bài tơng tự hay cha. Tuy nhiên, việc nhận ra dạng quen thuộc và nghĩ đến những bài toán tơng tự là một thao tác khó, đòi hỏi GV phải biết gợi ý, đặt HS vào những tình huống buộc phải liên hệ đợc với những bài toán tơng tự kia.
Nếu HS liên hệ đợc với các bài toán tơng tự thì việc giải toán sẽ tiến hành dễ dàng bởi các bài toán tơng tự thờng đơn giản hơn bài toán mà HS đang giải. Việc xét tơng tự là cách gợi động cơ mở đầu, xuất phát từ phơng thức t duy và hoạt động phổ biến trong toán học, quen thuộc với phơng thức này không chỉ là kết quả mà còn là điều kiện của việc gợi động cơ theo cách đó.
Thật vậy, việc xét tơng tự chỉ có tác dụng gợi động cơ khi HS đã quen thuộc với cách xem xét này, đã trải nghiệm thành công nhiều lần làm việc theo cách đó. Do đó, việc gợi động cơ phải trở thành việc làm thờng xuyên, liên tục biến mỗi bài toán (có thể xét tơng tự đợc) thành những tình huống buộc HS phải suy nghĩ, tìm tòi trong “kho” trí nhớ của mình nhằm tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS.
Bài toán 35: Cho hình vuông ABCD có diện tích 162 cm2, lấy 4 điểm M, N, P, Q là các điểm chính giữa các cạnh hình vuông làm tâm vẽ 4 hình tròn có bán kính bằng nửa cạnh hình vuông MNPQ. Tính diện tích phần gạch chéo? A M B Q D N C P a b d c 1 4 3 2
GV: Em có nhận xét gì về phần có gạch chéo?
HS: Là khoảng còn lại của diện tích hình vuông MNPQ với diện tích các phần hình tròn tâm lần lợt là M, N, P, Q đờng kính là cạnh hình vuông MNPQ.
GV: Bài toán này tơng tự với bài toán nào?
HSA: Tơng tự với bài toán:Tìm diện tích phần gạch sọc biết chu vi hình tròn.
HSB: Tơng tự với bài toán: Tính diện tích phần gạch chéo biết cạnh hình vuông.
GV: Đúng! Rất tốt.
Việc giải 2 bài toán trên HS đã làm.
HSA: Em tính bán kính đờng tròn bằng cách lấy cạnh hình vuông chia cho 2 rồi tính ra diện tích của nó. Sau đó tính diện tích hình vuông, cuối cùng tính hiệu giữa diện tích hình vuông với diện tích hình tròn.
HSB: Em tính diện tích nửa hình vuông. Tính diện tích hình tròn với bán kính là cạnh hình vuông. Diện tích phần gạch chéo là hiệu của diện tích 1/4 hình tròn và diện tích nửa hình vuông.
GV: Đúng vậy, diện tích các phần gạch chéo này đều tơng tự nhau vì chúng đều liên quan đến diện tích của hình vuông và hình tròn.
Tơng tự các bài toán trên ta phải tính diện tích hình vuông MNPQ rồi trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3), (4).
Cách giải:
Cắt 4 mảnh a, b, c, d ghép lại đợc 1 hình vuông bằng hình vuông MNPQ. Nên diện tích hình vuông MNPQ = 1/2 diện tích ABCD.
Diện tích hình vuông MNPQ = 162 : 2 = 81 (cm2) •
Ta có: 81 = 9 x 9
Cạnh của hình vuông MNPQ là 9cm. Tổng diện tích các hình (1), (2), (3), (4) bằng diện tích của hình tròn có bán kính = 1/2 cạnh của hình vuông MNPQ.
Bán kính đó bằng: 9 : 2 = 4,5 (cm) Diện tích hình tròn có bán kính 4,5cm là: 4,5 x 4,5 x 3,14 = 63,585 (cm2) Diện tích phần gạch chéo là: 81 - 63,585 = 17,415 (cm2) Đáp số: 17,415 cm2
Nhờ việc xét tơng tự thông qua các bài toán đơn giản hơn mà HS đã làm từ trớc, dẫn đến việc giải những bài toán phức tạp hơn thế này đợc giải quyết dễ dàng.
Bài toán 36: Cho tam giác ABC, E là một điểm trên cạnh BC sao cho BC = 3EC. Nối AE. Trên AE lấy 1 điểm M sao cho AE = 4AM. Đờng thẳng qua B và M cắt AC tại D.
a. Tính tỉ số ADAC
b. So sánh diện tích tam giác AMD với diện tích tam giác MBE.
(Đề thi HSG TP.Hồ Chí Minh năm học 1994 1995 vòng 2)– – (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Một phần của bài toán trên tơng tự với bài toán:
Cho hình thang ABCD đáy AB = 30cm, CD = 45cm, AC cắt BD tại O biết diện tích tam giác OAB = 180 cm2. Tính diện tích hình thang?
A B D C O E H 30cm 45cm
Vì tam giác ADC và tam giác ABC có cùng chiều cao nên: ) ( ) ( ABC dt ACD dt = 30 45 = 2 3 (lần) Coi AC là đáy chung thì tỉ số 2 đờng cao:
BH DE = 2 3 (lần)
Hai tam giác DAO và BAO có chung đáy AO, tỉ số 2 chiều cao là 3/2 nên: dt(DAO) = dt(BAO)x 3/2 =270 (cm2). Từ đó tính đợc dt(ABD)
Tơng tự dt(BCD) = dt(ACD) = dt(ABC) x 3/2 = 675 (cm2) từ đó tính đợc dt ABCD.
Tơng tự hàng loạt những bài toán vậy, áp dụng vào giải Bài toán 36 nh sau:
Qua A, E, C vẽ các đờng thẳng AH, EK, CI vuông góc với BD.
a. Ta có: AE = 4AM vậy ME = 3MA. Suy ra:
SEMB = 3SABM (2 tam giác có cùng chiều cao hạ từ B). Vậy EK = 3AH (2 tam giác EMB và ABM có chung đáy BM)
Tơng tự ta có BC = 3EC suy ra BC =
2 3
BE. Vậy SBMC = 23 SBME (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ M). Do đó: CI = 23 EK (2 tam giác BMC và BME có chung đáy BM)
Kết hợp với EK = 3AH ta có: CI = 2 9 AH SMCD = 2 9
SMAD (2 tam giác có chung đáy MD)
A B M C H D I K E
Vậy: CD =
2 9
AD (2 tam giác MCD, MAD có chung chiều cao hạ từ M). Do đó AD AC = 2 2 9+ = 2 11 .
b. Vì SMCD = 29 SMAD nên nếu SMAD gồm 2 phần bằng nhau thì SMCD gồm 9 phần nh thế. Suy ra SMAC = 9 + 2 = 11 (phần)
Vì BC = 3 EC nên BE = 2EC. Suy ra: SAEB = 2SAEC và SMEB = 2SMEC SAEB – SMEB = 2(SAEC – SMEC)
SABM = 2SMAC = 11 x 2 = 22 (phần) Mặt khác, vì ME = 3MA nên:
SMEB = 3SAMB . Suy ra: SMEB = 22 x 3 = 66 (phần) Vậy SMEB so với SMAD thì gấp: 66 : 2 = 33 (lần)
Đáp số: a. AD AC = 2 11 b.SMEB= 33SMAD
Bài toán tự giải:
Bài toán 37: Cho tam giác ABC nh hình vẽ a. Trong đó BH = CH, AM = MN= NH
a. Hãy ghi tên tất cả các hình tam giác có chung đỉnh A và tính diện tích của từng hình tam giác đó, biết diện tích tam giác ABC = 120 cm.2
b. Kéo dài BN cắt AC tại K. Hỏi K có phải là điểm chính giữa cạnh AC hay không? Tại sao?
A C B H N M Hình a B C A M E D Hình b N (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
áp dụng giải bài toán sau:
Trong hình vẽ b cho biết AM = ME = ED; BD = 32 DC. a. Tìm trên hình vẽ những tam giác có diện tích bằng nhau.
b. Kéo dài BE cắt AC tại N. Biết diện tích tam giác BED = 4 cm2. Tính diện tích các tam giác DEC, ABC rồi so sánh AN và CN.
Bài toán 38: Cho tứ giác ABCD, M, N, P, Q lần lợt là điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CD, DA. Nối M với N, N với P, P với Q, Q với M. So sánh diện tích MNPQ với tổng diện tích các tam giác AMQ, BMN, CNP, DPQ.
áp dụng giải:
Cho hình chữ nhật ABCN có diện tích bằng 48cm2. Trên CD lấy E sao cho EC = 12 ED. Trên BC lấy M sao cho BM = 52 BC
a. So sánh diện tích tam giác ABM và CEM? b.Tính diện tích tam giác AEM?