1. Gợi động cơ thông qua các bài tập toán có nội dung hình học lớp 4,5
1.2. Gợi động cơ nhằm hớng đến sự tiện lợi, hợp lí hoá, hoàn chỉnh và
hệ thống.
Bài toán 6: Trong hình bên có bao nhiêu hình tam giác?`
Đáp số: 3 hình.
GV: Em đếm bằng cách nào?
HS1: Em ghi chữ và liệt kê các tam giác rồi đếm, chẳng hạn: 3 tam giác đó là: ABM, ACM, BCM
HS2: Em đánh số rồi liệt kê các tam giác, sau đó đếm các tam giác đơn trớc, các hình ghép sau. Chẳng hạn 3 tam giác là: hình 1, hình 2, hình(1,2)
GV: Các em đều làm đúng nhng cách 1 không theo
qui luật nào nên dễ bỏ sót hoặc nhầm lẫn nếu nh số điểm nhiều lên (nh hình d- ới đây)
Còn cách 2 có tốt hơn nhng sẽ vất vả vì phải liệt kê quá nhiều tam giác. B M A C D E • M A B C 1 2 Hình 1
Các em có nhận xét gì về đặc điểm các hình tam giác, từ đó liên hệ tới cách đếm nào thuận tiện hơn?
HS: Có chung đỉnh M, có đáy là các đoạn thẳng nằm trên một đờng thẳng. GV: Đúng vậy. Các em có thấy số tam giác chính bằng số đáy của các tam giác đó? Số đáy này lại là số các đoạn thẳng đợc tạo thành từ việc nối 2 điểm trong các điểm đã cho ở trên đờng thẳng.
Từ đây chuyển sang bài toán:
Bài toán 7: Hình dới đây có bao nhiêu đoạn thẳng?
HS dễ dàng thấy có 3 đoạn thẳng bằng cách đếm tơng tự ở trên. Song, cũng có em phát hiện cách đếm khác khái quát hơn,
chẳng hạn: “với 1 điểm có 2 đoạn thẳng nối từ đó tới 2 điểm còn lại. Với 3 điểm có 6 đoạn (2 x 3 = 6) nhng mỗi đoạn đợc tính 2 lần nên chỉ có 3 đoạn thực sự (6 : 2 = 3).
Với sự hớng dẫn của GV, HS có thể đếm số đoạn thẳng nhiều điểm hơn, chẳng hạn ở hình dới đây:
Có 6 điểm trên đờng thẳng, một điểm ứng với 5 đoạn, 6 điểm ứng với: 5 x 6 = 30 (đoạn). Trong đó mỗi đoạn đợc tính hai lần nên số đoạn thẳng là: 30 : 2 = 15 (đoạn)
HS rút ra nhận xét: Muốn tìm số đờng thẳng trong các bài toán dạng trên có thể lấy số điểm nhân với số điểm đó trừ 1, rồi chia 2. Rõ ràng với nhận xét này HS có thể đếm đợc số tam giác ở bài toán trên thuận tiện hơn.
Từ một bài toán: “đếm hình” (hình 1) đơn giản GV có thể dẫn dắt HS sang bài toán “đếm số đoạn thẳng” (hình2)
• A • B • C • B • C • D • A • E • F
Có thể tiếp tục gợi động cơ nh sau:
GV: Số đoạn thẳng đếm đợc trong hình 2 có phụ thuộc vào yếu tố thẳng hàng không? Có thể mở rộng thành bài toán nào?
HS: Các điểm đã cho không cần thẳng hàng. Em có bài toán:
Bài toán 8: Cho 10 điểm, có bao nhiêu đoạn thẳng nối đợc từ 2 trong 10 điểm đó?
Em tính đợc là:
10 x 9 : 2 = 45 (đoạn)
GV: Em làm đúng. Vậy nếu ta có bài toán:
Bài toán 9: Tìm số đờng chéo trong hình có 8 cạnh? (đờng chéo là đoạn thẳng nối 2 đỉnh không liền nhau)
(Lu ý: Đối với HSTH các đa giác đều là đa giác lồi) GV: Bài này tơng tự với bài nào?
HS: Tơng tự Bài toán 7. Chỉ khác là số đờng chéo sẽ bằng số đoạn thẳng đợc nối bất kì 2 trong 8 đỉnh trừ đi các đoạn thẳng là các cạnh của hình đó. HS tính: Số đoạn thẳng có là: 8 x 7 : 2 = 28 (đoạn) Số đờng chéo có là: 28 - 8 = 20 (đờng) Đáp số: 20 đờng. • B • C • E • A • F • D Hình 2 A B C 1 2 Hình 1
GV: Có thể đếm đợc các đờng chéo một cách dễ dàng không? (Có). Nếu với một hình 12 cạnh thì việc đếm các đờng chéo có dễ hay không? (Dễ. Em tính đợc: 12 x 11 : 2 -12 = 54 đờng chéo)
Nh vậy: Từ một bài toán đếm hình đơn giản GV đã dẫn dắt sang bài toán
đếm số đoạn thẳng khiến cách đếm hình dễ dàng hơn, song quan trọng là GV đã biết gợi động cơ để giúp HS có một cách suy nghĩ, một phơng pháp tơng tự, óc khái quát khi tập quan sát, giải quyết vấn đề ... và cuối cùng lại đi đến một bài toán khác đó là đếm số đờng chéo trong một hình với số cạnh bất kì.
Bài toán 10: Hãy tìm tất cả các hình chữ nhật trong hình 5x5 ô vuông?
GV: Thế nào là một hình chữ nhật? (Là hình có 2 cạnh dài bằng nhau, 2 cạnh ngắn bằng nhau và 4 góc vuông).
Hình vuông có phải là hình chữ nhật không? (Có)
Thế nào là các hình chữ nhật khác nhau? (Khác nhau về kích thớc, về hình dạng, về vị trí)
Bây giờ chúng ta sẽ trở lại với tấm bìa, hãy ớc lợng số ô vuông, hãy phỏng đoán.
Thật là nhiều, dễ lẫn lộn và băn khoăn không biết đếm có đủ không? Một ý tởng! Chúng ta có thể tìm ra đợc một qui tắc tính. Làm thế nào để tìm ra qui tắc này? Nếu đếm đợc số hình chữ nhật trong tấm bìa 5x5 ô vuông thì số đó có quan hệ với 5x5 là gì? Gợi động cơ cho HS phán đoán.
Nếu dùng thao tác đếm sẽ dẫn đến đếm thiếu bởi vì với tấm bìa 50x100 ô vuông làm sao đếm đủ đợc?
Gợi ý để HS chọn một bài toán tơng tự, dễ giải hơn: Với tấm bìa 2x3 ô vuông.
Hãy vẽ một hình gồm 2x3 ô vuông.
GV: Em đếm đợc bao nhiêu hình? (15,16,18 ... hình). Bằng cách nào? HS: Trớc hết em đếm hình có kích thớc 1x1 ô vuông
Các hình có kích thớc 1x1 ô vuông. (Có 6 hình) Các hình có kích thớc 2x1 ô vuông. (Có 3 hình) Các hình có kích thớc 1x2 ô vuông. (Có 4 hình)
Các hình có kích thớc 4x1 ô vuông. (Không có hình nào) Các hình có kích thớc 1x3 ô vuông. (Có 2 hình)
Các hình có kích thớc 2x2 ô vuông. (Có 2 hình) Các hình có kích thớc 2x3 ô vuông. (Có 1 hình)
Nh thế cho ta kết quả là 18 hình. Kết quả này tin cậy đợc vì cách đếm trên không có gì là mơ hồ cả, đó là kĩ thuật tốt để tính toán.
Để ý rằng ta đang đi tìm kiếm một qui tắc về sự liên hệ giữa các số 2, 3,và 18. Chúng liên hệ với nhau nh thế nào? 2x3x3=18 số này cho ta một qui tắc tính: “Số hình chữ nhật bằng số của hàng nhân với số của cột, nhân tiếp với số của cột”. Đây là cách chúng ta mò mẫm, kiểm tra và phỏng đoán qui tắc. Vấn đề là phải kiểm tra qui tắc đó.
Kiểm tra trên tấm bìa 2x2 ô vuông.
GV: Em đếm đợc mấy hình chữ nhật? (9 hình) Kiểm tra: 2x2x2 = 8 (không phải 9) Nh vậy qui tắc chúng ta cần phát biểu lại. Hãy xét bài toán khác.
Bài toán 11: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm. Ngời ta chia chiều dài thành 4 phần bằng nhau và chiều rộng thành 3 phần bằng nhau rồi nối các điểm nh hình vẽ:
a. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật (trên hình vẽ)?
b. Tính tổng chu vi và diện tích của các hình vuông tạo thành? (Đề thi HSGQG bậc TH năm học 1996 - 1997)
Vẽ trên giấy kẻ ô vuông hình trên.
Ta cũng thực hiện liệt kê đầy đủ các hình chữ nhật gồm: Số hình có kích thớc 1x1 ô vuông. (Có 12 hình) Số hình có kích thớc 1x2 ô vuông. (Có 8 hình) Số hình có kích thớc 1x3 ô vuông. (Có ? hình)
Với mẫu trên suy ra số nào? (Không cần đếm, dự đoán (4). Kiểm tra lại bằng hình. Đúng có 4 hình kích thớc 1x3)
Tiếp tục liệt kê:
Số hình có kích thớc 2x1 ô vuông. (Có 9 hình) Số hình có kích thớc 2x2 ô vuông. (Có 6 hình) Số hình có kích thớc 2x3 ô vuông. (Có ? hình) Không cần đếm, dự đoán: 3 hình. Kiểm tra lại đúng. Bây giờ ta lại dự đoán:
Số hình có kích thớc 3x1 ô vuông. (Có 6 hình) Số hình có kích thớc 3x2 ô vuông. (Có ? hình) Số hình có kích thớc 3x3 ô vuông. (Có ? hình) Số hình có kích thớc 4x1 ô vuông. (Có ? hình) Số hình có kích thớc 4x2 ô vuông. (Có ? hình) Số hình có kích thớc 4x3 ô vuông. (Có ? hình) Liệt kê cuối cùng nh sau:
1x1 → 12 hình 2x1 → 9 hình
1x2 → 8 hình 2x2 → 6hình
3x1 → 6 hình 4x1 → 3 hình
3x2 → 4 hình 4x2 → 2 hình
3x3 → 2 hình 4x3 → 1 hình
Tổng các hình chữ nhật khác nhau là 60 hình. Mối liên hệ giữa 4, 3, 60 là gì?
Hãy tìm kiếm và phát hiện:
Nếu đếm theo hình có 1 cột có:12 + 8 + 4 (Đều là những số chia hết cho 4)
Nếu đếm theo hình có 2 cột có:9 + 6 + 3 (Đều là những số chia hết cho 3) Nếu đếm theo hình có 3 cột có:6 + 4 + 2 (Đều là những số chia hết cho 2) Nếu đếm theo hình có 4 cột có:3 + 2 + 1 (Đều là những số chia hết cho 1) Ta viết lại các tổng trên nh sau:
12 + 8 + 4 = 4x3 + 4x2 + 4x1 = 4x (3 + 2 + 1) 9 + 6 + 3 = 3x3 + 3x2 + 3x1 = 3x (3 + 2 + 1) 6 + 4 + 2 = 2x3 + 2x2 + 2x1 = 2x (3 + 2 + 1) 3 + 2 + 1 = 1x3 + 1x2 + 1x1 = 1x (3 + 2 + 1) Ta có tổng sau: 4x (3 + 2 + 1) + 3x(3 + 2 + 1) +3x(3 + 2 + 1) +1x(3 + 2 + 1)
= (3 + 2 + 1)x (4 + 3 + 2 + 1). (áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng)
= 60
GV: Mối liên hệ phỏng đoán là gì?
Số hình chữ nhật bằng “Tổng của 3 số tự nhiên đầu tiên nhân tổng của 4 số tự nhiên đầu tiên”. Kiểm tra lại ở bài toán có 2x3 ô vuông:
(3 + 2 + 1) x (2 + 1) = 18 (Đúng) Và ở bài toán có 2x2 ô vuông:
Có nghĩa là: Nếu qui tắc mà chúng ta phỏng đoán đúng thì số hình chữ nhật khác nhau ở tấm bìa 5x5 ô vuông là:
(5 + 4 + 3 + 2 + 1) x (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 225 (hình) Nh vậy việc sử dụng qui tắc dễ hơn rất nhiều so với việc đếm.
Bài toán trên cho ta một ví dụ về việc phát hiện các qui tắc toán học. Chúng ta cha chứng minh đợc qui tắc trên là đúng. Tuy nhiên, bằng cách qui nạp dần GV vẫn cho HS tạm chấp nhận nh vậy.
Đây là một bài toán khó, nên trong suốt quá trình giải toán GV đã chỉ rõ mục tiêu hớng tới là tìm một qui tắc để tính số hình chữ nhật. Để làm đợc điều đó, liên tiếp trong quá trình tìm kiếm GV đã gợi động cơ, hớng đích cho HS bằng cách: Đặt các câu hỏi gợi mở, chỉ rõ các tình huống xảy ra, các kĩ thuật tìm kiếm lời giải ... Thực ra đây là bài toán có tính thách đố, nó không cần đến những kiến thức toán học sâu xa mà chỉ dừng lại ở phép đếm, phân tích thành số và tính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng.
Nhằm hớng đến sự tiện lợi, hợp lí hoá, hoàn chỉnh và hệ thống, còn có rất nhiều cách để GV gợi động cơ. Trong đó, các bài toán về lí thuyết cắt ghép hình là một môi trờng khai thác khá “màu mỡ.”
Các bài toán cắt ghép hình đòi hỏi phải quan sát, phân tích, tổng hợp những yếu tố: góc, đỉnh, cạnh của hình ban đầu để tìm ra mối quan hệ giữa các mảng hình sẽ cắt ra hoặc phải ghép lại theo yêu cầu bài toán. HS phải tởng tợng về các phép cắt và ghép, thử so sánh giữa hình ban đầu với hình phải ghép đợc. Mặt khác, các bài toán về cắt ghép hình ở đầu bậc TH còn mang tính trực quan: HS có thể đợc thao tác trên vật thật, dùng kéo cắt hình ra các phần và ghép lại. Đối với HS cuối bậc TH thì thao tác trên vật thật không còn nữa, yêu cầu HS phải thao tác trên bình diện trí óc, đòi hỏi t duy HS phải có sự khái quát lớn. Trong đầu các em phải có đợc những dự đoán cắt ghép nh thế nào để đợc hình mong muốn (cũng có thể trải qua nhiều lần thử, sai). Tuy nhiên, nếu cứ “mò mẫm” thì sẽ mất rất nhiều thời gian, thậm chí kết quả không đợc nh mong đợi.
Chính vì vậy, GV phải giúp HS đơn giản hoá bài toán, tìm một công cụ có thể hỗ trợ tích cực cho công việc của mình (nếu phù hợp) bằng cách đặt ra mục tiêu sao cho việc cắt ghép diễn ra chính xác mà có thể kiểm tra đợc bằng mắt, bằng tay, làm giảm bớt tính khái quát, trừu tợng, tởng tợng trong lớp bài toán này.
Việc vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông sẽ giúp HS dễ hình dung hơn: phần nào phải để nguyên, phần nào phải cắt và ghép nh thế nào.
GV gợi ý cho HS theo qui trình:
- Vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông sao cho có thể đếm đợc số ô vuông của hình vẽ. Quan sát đặc điểm các yếu tố hình đã cho: Đỉnh, cạnh, góc, vị trí, hình dạng, kích thớc, tởng tợng đợc hình cần ghép nh thế nào?
- Phân tích, đối chiếu, so sánh yếu tố đề bài đã cho và cần xác định yếu tố nào đã đợc đáp ứng, xác định đợc bộ phận nào cần cắt ghép. Thực hiện cắt ghép thử.
- Cắt, ghép nh bớc trên.
- Kiểm tra các yêu cầu của bài toán, tìm các cách ghép khác nhau và chọn cách tốt nhất.
Bài toán 12: Hãy chia tấm bìa dới đây thành 6 phần giống nhau về hình dạng và mỗi phần đều có một bông hoa?
Ta chia tấm bìa thành các ô vuông (nh hình vẽ)
* *
* *
Nhìn hình vẽ ta thấy: Tổng số ô vuông nhỏ là 18 ô. Do đó, khi chia tấm bìa thành 6 phần giống hệt nhau về hình dạng thì mỗi phần sẽ có số ô là:
18 : 6 = 3 (ô), nên hình dạng mỗi phần phải có hình chữ L. Ta có cách chia nh sau:
Bài toán 13: Chia hình vuông thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau?
- Vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông đợc chia thành 16 ô vuông nhỏ.
- Mảnh đợc cắt ra là các tam giác có diện tích bằng nhau bằng 4 ô vuông. Khi đó, cạnh đáy và chiều cao tơng ứng của mỗi tam giác có độ dài bằng độ dài cạnh 4 ô vuông và cạnh 2 ô vuông.
Do đó ta có các cách cắt sau: Cách 1: * * * * * * * * * * * *
- Cắt hình vuông theo hai đờng chéo tạo ra 4 tam giác bằng nhau (vì khi gấp t tờ giấy lại theo hai đờng chéo thì thấy các tam giác đợc tạo thành chồng khít lên nhau)
- Ta có: Các tam giác OAB, ODC, OBC, OAD bằng nhau nên chúng có diện tích bằng nhau.
Vì mỗi tam giác có độ dài chiều cao và cạnh tơng ứng là 4 ô vuông và 2 ô vuông nên nếu lấy AB làm cạnh của một tam giác đợc cắt ra thì đỉnh còn lại của tam giác cách AB một khoảng là 2 ô vuông. Các vị trí của đỉnh là E, A (ở cách 2) và M, D, C (ở cách 3). Do đó ta có các cách giải sau:
Cách 2:Cắt theo AE, CE và CF
Cách 3: Cắt theo MC, MD và MN
Bài toán 14: Cho hình chữ nhật có độ dài cạnh là 9cm và 16cm.
a. Hãy tìm cạnh hình vuông có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật trên? b. Hãy cắt hình chữ nhật thành hai mảnh để ghép lại đợc một hình vuông?
(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2004 - 2005) A M A B C D F B C N D E Cách 2 Cách 3 A B C D O Cách 1
-Vẽ trên giấy kẻ ô vuông. Số ô vuông là: 9 x 16 = 144 (ô vuông)
Hình vuông có diện tích 144 ô, cạnh của nó là 12 ô.
-Hình vuông ghép lại từ hai mảnh có dạng hình AEFG. Khi đó AD kéo dài thêm DG có độ dài 3 ô vuông và AB bị rút ngắn đi EB = 4ô vuông. Hình chữ nhật DHFG có các kích thớc tơng ứng là 12 ô vuông và 3 ô là hình đợc ghép với hình chữ nhật AEHD để đợc hình vuông AEFG.
Khi đó B chuyển tới vị trí N Khi đó E chuyển tới vị trí M
Khi đó M chuyển tới vị trí Y và Y chuyển tới vị trí D.
-Cắt hình chữ nhật theo đờng XYZMNE, DX = 4, YZ = 4, MN =4. Ta đ- ợc 2 mảnh là ADXYZMNE và CXYZMNEB.
-Ghép 2 mảnh trên lại ta đợc hình vuông AGFE.
Bài toán tự giải:
Bài toán 15: Tìm số hình chữ nhật trong tấm bìa với kích thớc 5x10 ô vuông?
Bài toán 16: Cắt một hình chữ nhật thành 5 mảnh để ghép lại đợc một hình vuông.
Bài toán 17: Có một tờ bìa hình vuông đã cắt đi 1/4 hình vuông đó ở một góc. Hãy chia hình đó thành 4 phần bằng nhau.
Z A E B D M Y Z N G F H C X 4cm 3cm
Bài toán 18: Có thể cắt các hình vuông ABEF, ACGH để ghép lại thành hình vuông BCMN không?