Đứng trớc một bài toán, hầu hết những ngời làm toán thờng đặt ra câu hỏi: “Bài toán này thuộc kiểu nào?”, và từ đó dẫn tới câu hỏi: “Có thể áp dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?”. Điều đó nói lên sự cần thiết phải
phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu, có thể giúp ích cho ta khi giải toán.
1. G.Polya trong [31] đã phân loại các bài toán theo nghĩa rộng thành hai kiểu: những bài toán tìm tòi và những bài toán chứng minh. Các bài tập toán về phơng trình và bất phơng trình thuộc kiểu bài toán tìm tòi.
a, Những bài toán tìm tòi: Mục đích cuối cùng của những bài toán tìm tòi là tìm ra (dựng, thu đợc, xác định…) một đối tợng nào đó, tức là tìm ra ẩn số của bài toán.
ẩn có thể thuộc những phạm trù hết sức khác nhau. Trong các bài toán hình học về dựng hình, thì ẩn là một hình, trong khi giải phơng trình đại số, thì ẩn là một số, là nghiệm của phơng trình đó. Một bài toán đợc phát biểu rành mạch phải chỉ rõ phạm trù (tập hợp) chứa đựng ẩn, và ngay từ đầu, ta phải biết ẩn định tìm thuộc loại nào.
Khi ta xem xét các bài toán, ta thờng dùng “dữ kiện” để chỉ tất cả các đối tợng cho trớc, hay toàn bộ tập hợp đối tợng đó liên hệ với ẩn nhờ các điều kiện. Nếu bài toán có nội dung là dựng một tam giác theo các cạnh a, b, và c
của nó thì các đoạn a, b, c là các dữ kiện. Nhng nếu bài toán có nội dung là giải một phơng trình bậc hai x2 + ax + b = 0 thì hai số a và b là các dữ kiện.
Ta gọi ẩn, điều kiện và dữ kiện là những phần chính của một bài toán tìm tòi. Thật vậy, ta không thể hi vọng giải đợc một bài toán mà ta không hiểu. Mà muốn hiểu bài toán thì phải biết và biết rất rõ cái gì là ẩn, cái gì là dữ kiện và điều kiện nh thế nào. Nh vậy là, trong quá trình giải một bài toán, cần phải đặc biệt chú ý đến các phần chính đó.
b, Những bài toán chứng minh: Mục đích cuối cùng của một bài toán
chứng minh là xác định xem một kết luận nào đó là đúng hay sai, là xác nhận hay bác bỏ kết luận đó.
Khi cần chứng minh hay bác bỏ một mệnh đề toán học phát biểu dới hình thức tự nhiên nhất, ta gọi điều kiện (giả thiết) và kết luận của nó là phần chính
của bài toán. Và quả thật các phần chính đáng đợc chú ý đặc biệt. Muốn chứng minh một mệnh đề, cần phải khám phá ra khâu lôgíc liên hệ các phần chính của nó, tức là điều kiện (giả thiết) và kết luận; muốn bác bỏ một mệnh đề cần phải vạch rõ (nếu có thể thì dựa vào một phản ví dụ) rằng một trong hai phần chính - tức là điều kiện, không dẩn tới phần kia - tức là kết luận.
2. Đứng trên quan điểm môn học thì ta có thể phân chia các bài tập toán trong chơng trình phổ thông thành ba loại: Các bài tập toán đại số sơ cấp; các bài tập toán giải tích và các bài tập toán hình học sơ cấp.
Theo tác giả Đậu Thế Cấp trong [12] thì Đại số sơ cấp nghiên cứu về các phép toán sơ cấp, các biểu thức sơ cấp, các phơng trình và bất phơng trình sơ cấp, với công cụ sơ cấp là các phép toán về số và biểu diễn trong mặt phẳng toạ độ. Các bài tập toán trong chơng trình phổ thông nói chung và các bài tập toán về phơng trình và bất phơng trình nói riêng đều sử dụng công cụ đó.
Các bài tập toán giải tích trong chơng trình toán Trung học phổ thông, phần lớn đợc đa ra mức độ áp dụng lý thuyết. Không có các bài tập quá khó hay các bài tập mang tính chất “mẹo” hay “bẩy” học sinh. Cả lý thuyết và bài tập đều đợc trình bày theo hớng giảm nhẹ đến mức tối đa tính hàn lâm, điều đó là phù hợp với yêu cầu đổi mới về phơng pháp dạy học hiện nay.
Các kiến thức hình học đợc xây dựng theo hệ tiên đề, với các đối tợng là các hình biểu diễn, các con số và các phép biến đổi. Vì vậy các bài tập hình học trong trờng phổ thông đều có cách giải theo các phơng pháp: tổng hợp; véc tơ; toạ độ; các phép biến hình.
3. Nếu theo tiêu chí về số lợng các đại lợng thay đổi trong một bài tập toán, thì ta có thể chia các bài tập tập toán trong chơng trình toán phổ thông thành hai dạng: dạng toán không chứa tham số và dạng toán có chứa tham số.
Trong các bài tập toán không chứa tham số, từ các điều kiện và dữ kiện cho trớc, qua các bớc biến đổi thì ta sẽ tìm đợc “giá trị” của các ẩn. Trong khi đó, với các bài toán có chứa tham số, có nghĩa là ngoài các giá trị cần tìm là ẩn của bài toán, còn có giá trị tham số thay đổi. Thông thờng ở các bài tập toán
trong bậc phổ thông, yêu cầu ngời giải bài tập toán đó phải căn cứ vào sự biến thiên của tham số để tìm đợc “giá trị” của ẩn số tơng ứng.
4. Nếu theo tiêu chí thuật giải thì ta lại có thể chia các bài tập toán thành hai loại: Loại các bài tập toán đã có quy trình giải và loại các bài tập toán không có quy trình giải (không có quy trình giải theo nghĩa là không đợc trình bày trong sách giáo khoa hiện hành).
Trong các bài tập toán đã có thuật giải, việc cần thiết để các em học sinh có thể làm đợc các bài tập đó là: nắm vững quy trình; nhớ đợc ý nghĩa từng bớc trong quy trình; nhận dạng đúng và áp dụng phù hợp quy trình đó. Vì vậy, có nhiều em học sinh nhớ và vận dụng tốt các thuật toán để giải đợc nhiều bài tập toán, nhng không vì thế mà t duy của các em, trong đó có t duy sáng tạo, đã đợc phát triển.
Trong các bài tập toán không có thuật giải, học sinh muốn tìm ra hớng giải quyết, đòi hỏi học sinh phải huy động kiến thức để phân tích bài toán, tìm kiếm các kiến thức liên quan, phải xoay từ hớng này sang hớng khác...để tìm ra đợc phơng pháp giải tối u, và thông qua đó sẽ phát triển đợc t duy sáng tạo cho bản thân mình. Do đó trong phạm vi Luận văn này, tác giả không đi sâu nghiên cứu các bài toán đã có thuật giải hay tựa thuật giải, mà chỉ đi sâu vào việc định hớng tìm tòi lời giải của các bài tập toán không có quy trình giải.
Các cách phân loại trên đây chỉ mang tính chất tơng đối, bởi vì với các tiêu chí khác nhau sẽ có sự phân loại khác nhau, và trong các cách phân loại đó sẽ có sự giao thoa trong các bài tập toán cụ thể. Vì vậy, trong quá trình dạy cho các em giải bài tập toán, tuỳ vào từng thời điểm mà giáo viên có thể nói bài tập toán này thuộc dạng này hay dạng kia, thậm chí để các em khắc sâu một kiến thức nào đó, ta có thể tăng thêm nội hàm để chia ra nhỏ hơn các dạng bài tập toán.