Theo nghĩa rộng, bài tập toán (trong khuôn khổ của Luận văn này, ta xem bài toán theo nghĩa là bài tập toán học) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phơng tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhng không thể đạt đợc ngay. Giải toán tức là tìm ra phơng tiện đó.
Thế nào là nắm vững môn Toán? Đó là phải biết giải toán không những chỉ những bài toán thông thờng mà cả những bài toán đòi hỏi t duy độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo nữa. Đối với học sinh, có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ yếu của một hoạt động toán học. Vì vậy, việc tổ chức ứng dụng có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán.
Một trong những chức năng của bài tập toán mà ta phải quan tâm đó là chức năng phát triển: Bài tập toán phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện t duy sáng tạo, từ đó hình thành những phẩm chất t duy khoa học. Và ngoài ra nó còn chức năng dạy học và chức năng kiểm tra.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng biết cách làm thế nào để giải đợc bài toán. Để tăng hứng thú học tập cho học sinh, phát triển t duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho họ, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, các phơng pháp tìm tòi lời giải một bài toán.
Mỗi bài toán mà học sinh đã giải, dạy cho họ kỹ năng hớng về những tình huống có vần đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn một hoạt động, một hớng đi để giải quyết vấn đề. Khi làm Toán, trí tuệ của con ng- ời đợc huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp đợc rèn luyện, các thao tác t duy từ đó trở nên nhanh nhạy hơn. Có thể nói kỹ năng giải toán là tài sản đặc trng của t duy toán học.
1.2.4.2. Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán
Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác t duy là một thành phần không
thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm [32] của G. Pôlya ông đã đa ra 4 bớc để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán:
Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên ngời giáo viên cần chú ý hớng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì?. Có thể biểu diễn bài toán dới một hình thức khác đợc không?. Nh vậy, ngay ở bớc “Hiểu rõ đề toán” ta đã thấy đợc vai trò của t duy sáng tạo trong việc định hớng để tìm tòi lời giải.
2) Xây dựng chơng trình giải:
Trong bớc thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của t duy sáng tạo đợc thể hiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trờng hợp đặc biệt, xét các bài toán tơng tự hay khái quát hoá hơn vv... thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan: * Bài toán này có thuật giải hay không?
* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào cha? Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đợc không?.
* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tơng tự?. * Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?
- Dự đoán kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Em có thể giải một phần của bài toán?
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện cha? Đã sử dụng hết điều kiện cha? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn đợc xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hớng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đợc những gợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán. Tuy nhiên để đạt đợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán, đồng thời học sinh phải đợc tự mình áp dụng vào hoạt động giải toán của mình.
3) Thực hiện chơng trình giải:
Khi thực hiện chơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bớc. Em đã thấy rõ ràng là mỗi bớc đều đúng cha? Em có thể chứng minh là nó đúng không?
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm đợc:
Học sinh phổ thông thờng có thói quen khi đã tìm đợc lời giải của bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thờng xuyên thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thờng có nhiều cách giải, học sinh thờng có những suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán, và kết quả là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lu ý để phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kém chán nản.
Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học sinh yếu kém, nhng có thể coi là một phơng hớng bồi dỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, trong một số trờng hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinh toàn lớp thấy đợc việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới.
1.3. Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trờng phổ trông hiện nay
Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lợng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đào tạo có chủ trơng đổi mới nội dung và phơng pháp giáo dục. Việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xem là chìa khóa của vấn đề nâng cao chất lợng. Thế nhng ở các trờng phổ thông hiện nay, các phơng pháp dạy học đợc giáo viên sử dụng phần lớn vẫn là các phơng pháp truyền thống. Vấn đề cải tiến phơng pháp dạy học theo hớng phát huy tính tích cực của học sinh đã đợc đặt ra nhng kết quả cha đạt nh mong muốn. Giáo viên đã có ý thức lựa chọn phơng pháp dạy học chủ đạo trong mỗi tình huống điển hình ở môn Toán nhng nhìn chung còn nhiều vấn đề cha đợc giải quyết. Phơng pháp thuyết trình vẫn còn khá phổ biến, các phơng pháp áp dụng công nghệ thông tin nhiều lúc, nhiều nơi còn lạm dụng. Những phơng pháp dạy học có khả năng phát huy đợc tính tích cực, độc lập sáng tạo ở học sinh nh dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hoá thì giáo viên ít sử dụng. Có tình trạng đó là do phần đông giáo viên cha thật sự nắm vững các phơng pháp dạy học này. Giáo viên cha đợc hớng dẫn một quy trình, một chỉ dẫn hành động để thiết kế bài giảng phù hợp. Vì vậy khi vận dụng các phơng pháp dạy học mới khó hoàn thành nội dung chơng trình dạy học trong khuôn khổ thời lợng bị hạn chế. Vấn đề thu hút số đông học sinh yếu kém tham gia các hoạt động cũng gặp không ít khó khăn. Bên cạnh đó, cơ sở vật chất của các trờng phổ thông hiện nay tuy đã đợc cải thiện nhiều nhng vẩn cha đáp ứng đợc nhu cầu dạy học. Kết quả là hiệu quả dạy học không đợc nâng cao, và dẩn tới không phát huy đợc t duy sáng tạo cho các em học sinh
Thực tế dạy học phần bài tập ở các trờng phổ thông hiện nay có thể đợc mô tả nh sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, sau đó gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho học sinh. Một số bài toán sẽ đợc phát triển theo hớng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tơng tự hóa cho đối tợng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thờng chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên ít khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc hay các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp.
Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phơng pháp thuyết trình và đàm thoại chứ cha chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học.
Hình thức dạy học cha đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt cha sinh động, cha gây hứng thú cho học sinh. Học sinh tiếp nhận kiến thức chủ yếu còn bị động. Những kỹ năng cần thiết của việc tự học cha đợc chú ý đúng mức. Do vậy việc dạy học giải các bài tập toán ở trờng phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều điều cần đợc đổi mới. Đó là học trò cha thật sự hoạt động một cách tích cực, cha chủ động và sáng tạo, cha đợc thảo luận để đa ra các khám phá của mình, kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn còn yếu. Vai trò của thầy vẫn chủ yếu là ngời giải bài tập hoặc hớng dẫn học sinh giải các bài tập toán, chứ cha phải là ngời ''khơi nguồn sáng tạo'', ''kích thích học sinh tìm đoán''. Thực tế đó nói lên rằng còn rất nhiều vấn đề về mặt phơng pháp dạy học cần đợc quan tâm nghiên cứu cả về lí luận và triển khai ứng dụng trong thực tiễn.
1.4. Kết luận chơng 1
Trong Chơng 1, Luận văn đã hệ thống hoá một số vấn đề lý luận về t duy, t duy sáng tạo, nêu đợc sự cần thiết phải phát tiển t duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy học Toán.
Cũng trong chơng này, tác giả đã nêu bật đợc vai trò, chức năng của bài tập toán trong quá trình dạy học, đồng thời tác giả cũng đã nêu phơng pháp chung để giải bài tập toán, đây là cơ sở để phần sau đi sâu nghiên cứu quá trình giải các bài toán về phơng trình và bất phơng trình.
Việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập toán là rất cần thiết, bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích đợc tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống. Với việc nắm vững lý luận về dạy học giải bài tập toán, với tiềm năng to lớn trong việc phát triển t duy sáng tạo của toán phơng trình và bất phơng trình. Mỗi giáo viên trong quá trình dạy học cần tìm ra đợc các phơng pháp s phạm thích hợp nhằm phát triển và rèn luyện loại t duy này cho các em học sinh.
Chương 2
Một số vấn đề dạy học giải bài tập phơng trình và bất phơng trình theo định hớng bồi dỡng t duy
sáng tạo cho học sinh qua việc tìm tòi lời giải
2.1. Chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng trung học phổ thông
2.1.1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phơng trình và bất phơng trình
Phơng trình và bất phơng trình là một trong những nội dung cơ bản của chơng trình môn Toán ở nhà trờng phổ thông. Những vấn đề lí luận nh khái niệm phơng trình, bất phơng trình; quan hệ tơng đơng đối với hai phơng trình, bất phơng trình; phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình đợc đa dần ở mức độ thích hợp với từng bậc, lớp đi lên theo vòng tròn xoáy trôn ốc từ lớp 8 đến lớp 12. Đồng thời học sinh cũng đợc dần dần làm việc với từng loại phơng trình, bất phơng trình thích ứng với năng lực nhận thức Toán học của học sinh.
ở đầu bậc Trung học phổ thông, cụ thể là sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, học sinh đợc học về phơng trình, bất phơng trình với các khái niệm chung và phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số. Nếu không nghiên cứu kỹ thì có thể đa ra kết luận: kiến thức này là sự trình bày lại những gì mà học sinh đã đợc làm quen ở bậc trung học cơ sở. Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhng lại có sự khác biệt về nội dung.
Xem xét sự khác nhau về khái niệm phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày ở cấp Trung học cơ sở và cấp Trung học phổ thông. Trong mục này chúng tôi nói đến phơng trình còn bất phơng trình có sự tơng tự.
Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học Trung học cơ sở và Trung học phổ thông thể hiện ngay ở khái niệm phơng trình:
Sách giáo khoa Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phơng trình ẩn x có dạng A (x) = B (x), trong đó vế trái A (x) và vế phải B (x) là hai biểu thức của cùng một biến x”.
ở sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f (x) và y = g (x) có tập xác định lần lợt là Df và Dg. Đặt D = Df ∩ Dg, mệnh đề chứa biến f (x) = g (x) đ“ ” ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phơng trình. Số x0 thuộc D gọi là nghiệm của phơng trình f (x) = g (x) nếu f (x“ 0) = g (x0) là mệnh đề đúng” ”.
Định nghĩa phơng trình và bất phơng trình ở bậc Trung học phổ thông có đa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không đợc xây dựng ở Trung học cơ sở. Bậc Trung học phổ thông, khái niệm tập xác định phơng trình đã đợc đa vào, điều này là một điểm mới so với bậc Trung học cơ sở. Dễ nhận thấy khái niệm phơng trình ở bậc Trung học phổ thông là sự kế thừa và phát triển khái niệm phơng trình ở bậc Trung học cơ sở. Với sự chính xác, khoa học của khái niệm phơng trình ở bậc Trung học phổ thông, tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phơng trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phơng trình. Những khái niệm này ở bậc Trung học cơ sở đợc hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn nh khái niệm nghiệm của phơng trình đợc hiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phơng trình: 2x + 5 = 3 (x - 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm