Phơng trình và bất phơng trình là một trong những nội dung cơ bản của chơng trình môn Toán ở nhà trờng phổ thông. Những vấn đề lí luận nh khái niệm phơng trình, bất phơng trình; quan hệ tơng đơng đối với hai phơng trình, bất phơng trình; phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình đợc đa dần ở mức độ thích hợp với từng bậc, lớp đi lên theo vòng tròn xoáy trôn ốc từ lớp 8 đến lớp 12. Đồng thời học sinh cũng đợc dần dần làm việc với từng loại phơng trình, bất phơng trình thích ứng với năng lực nhận thức Toán học của học sinh.
ở đầu bậc Trung học phổ thông, cụ thể là sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, học sinh đợc học về phơng trình, bất phơng trình với các khái niệm chung và phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số. Nếu không nghiên cứu kỹ thì có thể đa ra kết luận: kiến thức này là sự trình bày lại những gì mà học sinh đã đợc làm quen ở bậc trung học cơ sở. Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhng lại có sự khác biệt về nội dung.
Xem xét sự khác nhau về khái niệm phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày ở cấp Trung học cơ sở và cấp Trung học phổ thông. Trong mục này chúng tôi nói đến phơng trình còn bất phơng trình có sự tơng tự.
Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học Trung học cơ sở và Trung học phổ thông thể hiện ngay ở khái niệm phơng trình:
Sách giáo khoa Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phơng trình ẩn x có dạng A (x) = B (x), trong đó vế trái A (x) và vế phải B (x) là hai biểu thức của cùng một biến x”.
ở sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f (x) và y = g (x) có tập xác định lần lợt là Df và Dg. Đặt D = Df ∩ Dg, mệnh đề chứa biến f (x) = g (x) đ“ ” ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phơng trình. Số x0 thuộc D gọi là nghiệm của phơng trình f (x) = g (x) nếu f (x“ 0) = g (x0) là mệnh đề đúng” ”.
Định nghĩa phơng trình và bất phơng trình ở bậc Trung học phổ thông có đa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không đợc xây dựng ở Trung học cơ sở. Bậc Trung học phổ thông, khái niệm tập xác định phơng trình đã đợc đa vào, điều này là một điểm mới so với bậc Trung học cơ sở. Dễ nhận thấy khái niệm phơng trình ở bậc Trung học phổ thông là sự kế thừa và phát triển khái niệm phơng trình ở bậc Trung học cơ sở. Với sự chính xác, khoa học của khái niệm phơng trình ở bậc Trung học phổ thông, tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phơng trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phơng trình. Những khái niệm này ở bậc Trung học cơ sở đợc hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn nh khái niệm nghiệm của phơng trình đợc hiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phơng trình: 2x + 5 = 3 (x - 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phơng trình là số để hai vế phơng trình bằng nhau. Còn ở bậc Trung học phổ thông nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm nghiệm của phơng trình đợc đa vào khá lôgic và hợp lí.
Chính sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã chọn phơng án không xây dựng khái niệm phơng trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phơng trình thông qua ví dụ cụ thể. Ngay cả tập“
xác định của phơng trình - cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là”
điều kiện xác định), ở vào thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phơng trình có ẩn ở mẫu”.
Việc đa ra khái niệm phơng trình, bất phơng trình nh trong sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lí về phép biến đổi tơng đơng.
Về mặt kỹ năng giải các phơng trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp học. Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách giải phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình bậc hai một ẩn,... Nhng mục tiêu ở hai cấp học là không giống nhau. Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề ph- ơng trình bậc nhất và bậc hai mà học sinh đã đợc học ở các lớp dới nay chỉ nhắc lại rất sơ lợc, thậm chí coi nh học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới. Cụ thể, vấn đề mới ở đây là phơng pháp giải và biện luận các phơng trình có tham số”. Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi ở trờng THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phơng trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10 đi sâu vào những phơng trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải” [23]. Nh vậy, phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số trở thành nội dung chính trong chơng trình Toán ở bậc Trung học phổ thông. Sự khác biệt thể hiện rõ ràng ngay trong Sách giáo khoa ở hai cấp học. ở đây ta so sánh việc trình bày nội dung phơng trình bậc nhất một ẩn số.
Sách giáo khoa Toán 8, Tập 2, đa ra khái niệm phơng trình bậc nhất 1 ẩn, sau đó đa ra hai qui tắc vận dụng để giải. ở cuối tiết phơng trình bậc nhất 1 ẩn, Sách giáo khoa đa ra cách giải tổng quát phơng trình:
ax + b = 0 (với a≠ 0), đợc giải nh sau:
ax + b = 0 ⇔ax = - b⇔ x b a
= − .
Vậy phơng trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có nghiệm duy nhất x = b
a
− . Sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, đa ra phơng pháp giải và biện luận phơng trình dạng ax + b = 0 nh sau:
+) a≠ 0: Phơng trình có nghiệm duy nhất x = b a
− . +) a = 0 và b≠ 0: Phơng trình vô nghiệm.
+) a = 0 và b = 0: Phơng trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập hợp số thực.
Nh vậy, chủ đề phơng trình, bất phơng trình ở hai cấp Trung học cơ sở và Trung học phổ thông là có sự khác biệt rõ rệt. Mặc dù chủ đề phơng trình và bất phơng trình đã từng xuất hiện ở các lớp dới, nhiều vấn đề về phơng trình có vẻ lặp đi lặp lại, nhng thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là:
Sự xuất hiện của phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số. Hay nói cách khác, là có sự “đồng tâm xoáy trôn ốc” của kiến thức về phơng trình, bất phơng trình ở hai cấp học.
Đến đầu lớp 11, Sách giáo khoa trình bày các kiến thức về phơng trình và bất phơng trình lợng giác. Đây là sự tiếp nối mạch kiến thức về hàm số luợng giác và các công thức lợng giác đã đợc học từ cuối lớp 10. Tuy nhiên so với sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì các kiến thức ở mảng này đợc trình bày đơn giản hơn: Chỉ giới thiệu và nêu cách giải các phơng trình lợng giác cơ bản; phơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lợng giác; phơng trình đẳng cấp bậc hai, và phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Còn phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx cũng nh bất phơng trình lợng giác đợc đa vào phần đọc thêm. Nh vậy chơng trình mới phù hợp với tinh thần giảm tải của Bộ GD&ĐT đã đề ra.
Đến chơng trình lớp 12, Sách giáo khoa đã đa ra định nghĩa và các ph- ơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình mũ và logarit, đây cũng là dạng phơng trình và bất phơng trình cuối cùng đợc trình bày trong chơng trình Toán trung học phổ thông.
Khi dạy học chủ đề phơng trình, bất phơng trình cần làm rõ sự khác nhau giữa các định lý về phép biến đổi tơng đơng phơng trình với các định lý về phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình. Nhiều học sinh do không nắm vững nội dung