lời giải toán phơng trình và bất phơng trình
Hêghen khẳng định rằng “phép biện chứng là lí luận về mối liên hệ phổ biến, là môn khoa học về những quy luật phổ biến của sự vận động và phát triển của tự nhiên, của xã hội loài ngời và của thế giới ”.
V.I. Lênin nhấn mạnh: phép biện chứng là học thuyết sâu sắc nhất, không phiến diện về sự phát triển. Những ngời theo quan điểm biện chứng xem thế giới nh là một chỉnh thể thống nhất các sự vật, các hiện tợng, và các quy luật cấu thành thế giới đó vừa tách biệt nhau vừa có mối quan hệ qua lại thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau.
1. Từ việc nghiên cứu nguyên lí về mối liên hệ phổ biến của các sự vật và hiện tợng chúng ta cần rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng nh trong hoạt động thực tiễn. Với t cách là một nguyên tắc, phơng pháp luận trong sự nhận thức các sự vật và hiện tợng, quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta phải xem xét nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, các yếu tố, các thuộc tính khác nhau của chính sự vật đó, mặt khác là trong mối liên hệ qua lại giữa sự vật đó với các sự vật khác.
Lênin viết: “muốn thực sự hiểu đợc sự vật cần phải nhìn bao quát và nghiên cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của các sự vật đó”.
Tuy nhiên trong khi nêu yêu cầu để nhận thức đợc sự vật cần phải nghiên cứu tất cả các mối liên hệ thì V. I. Lênin cũng chỉ ra rằng: “chúng ta không thể làm đợc điều đó một cách hoàn toàn đầy đủ nhng sự cần thiết phải xem xét tất cả mọi mặt sẽ đề phòng cho chúng ta khỏi phạm sai lầm và sự cứng nhắc”.
2. Nguyên lí về sự phát triển: Tự nhiên, xã hội và t duy đều nằm trong quá trình vận động và phát triển không ngừng. Điều đó nói lên rằng khi xem xét các sự vật và hiện tợng phải đặt nó trong sự vận động và phát triển, đồng thời phát hiện ra các xu hớng biến đổi chuyển hoá của chúng. Lênin viết: “lôgíc biện chứng đòi hỏi phải xem xét sự vật trong sự phát triển, trong sự tự vận động, và
trong sự biến đổi của nó”. Ănghen cho rằng, khi nghiên cứu các đại lợng biến thiên thì bản thân Toán học đã bớc vào lĩnh vực của phép biện chứng rồi. Newton nói rằng: “tôi xem những phần đờng cong rất nhỏ là những đờng thẳng” (câu nói này tuy vi phạm luật đồng nhất và luật tự mâu thuẫn nhng nó phản ánh chân thực một hiện thực, giúp ta hiểu sâu một dạng vận động của vật chất). Quan điểm phát triển đòi hỏi không chỉ thấy sự vật nh là cái đang có mà còn phải nắm đợc khuynh hớng phát triển trong tơng lai của nó. Ănghen viết: “phép biện chứng là phơng pháp mà điều căn bản là nó xem xét những sự vật và những phản ánh của chúng trong t tởng trong mối liên hệ qua lại lẫn nhau của chúng, trong sự ràng buộc, sự vận động, và sự phát sinh”.
Quan điểm Duy vật biện chứng cho rằng mọi quy luật đều mang tính khách quan, các quy luật đợc phản ánh trong các khoa học không phải là sự sáng tạo thuần tuý của t tởng. Những quy luật do khoa học phát triển chính là sự phản ánh những quy luật hiện thực của thế giới khách quan và của t duy.
Với t cách là một khoa học, phép biện chứng duy vật nghiên cứu những quy luật phổ biến tác động trong tất cả các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và t duy con ngời. Các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật phản ánh sự vận động, phát triển dới những phơng diện cơ bản nhất. Mỗi quy luật của phép biện chứng nghiên cứu những phơng diện, những góc độ khác nhau của quá trình vận động và phát triển của các sự vật và hiện tợng, đó là sự tác động tổng hợp của tất cả những quy luật cơ bản do phép biện chứng duy vật trừu tợng hoá, khái quát hoá tạo nên. Vì vậy trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải các bài tập toán về phơng trình và bất phơng trình nói riêng, nếu giáo viên biết cách lồng ghép và vận dụng phù hợp các quy luật và các mối quan hệ của triết học Duy vật biện chứng, sẽ có tác dụng tốt trong việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh. Trong phạm vi đề tài này, tác giả đề cập đến ba trong các mối quan hệ triết học đó trong dạy học giải bài tập phơng trình và bất phơng trình.
2.2.1. Khai thác mối quan hệ nguyên nhân và kết quả để định hớng tìm lời giải
Theo [7], nguyên nhân là sự tác động lẩn nhau giữa các mặt trong một sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau gây ra sự biến đổi nhất định. Kết quả là những biến đổi xuất hiện do tác động lẩn nhau của các mặt trong một sự vật hoặc các sự vật với nhau. Theo quan điểm của phép biện chứng duy vật thì mối liên hệ nhân quả có tính khách quan, phổ biến và tất yếu.
- Nguyên nhân là cái sinh ra kết quả, vì vậy nguyên nhân bao giờ cũng có trớc kết quả. Còn kết quả bao giờ cũng xuất hiện sau khi nguyên nhân đã xuất hiện.
Vận dụng trong công việc tìm kiếm lời giải bài toán phơng trình và bất phơng trình: đứng trớc một bài toán, giáo viên cần cho học sinh nghiên cứu thật kĩ càng giả thiết toán (thờng là các nguyên nhân chính để sản sinh ra kết quả là nghiệm của phơng trình hay bất phơng trình). Phải làm cho học sinh thấy đợc mối liên hệ giữa các con số, các nhóm số hạng có mặt trong bài toán đó, từ đó tác động để có đợc kết quả nh mong muốn.
Ví dụ 20: Giải phơng trình
2 (tanx-sinx)+3 (cotx-cosx)+5=0
Đối với bài toán này, nếu không có các số 2 và 3 trong hai số hạng đầu của phơng trình thì ta không thể nghĩ đến việc phân tích 5=3+2.
Khi đó phơng trình tơng đơng: 2 (tanx-sinx+1)+3 (cotx-cosx+1)=0
⇔ 2 ( cos 1) 0 sin cos ( 3 ) 1 sin cos sin − + + − x+ = x x x x x
⇔ (sinx+cosx-sinx.cosx) ( ) 0 sin 3 cos 2 + = x x
Với điều kiện sinx.cosx ≠ 0 Đến đây bài toán có thể giải một cách đơn giản.
- Trong hiện thực, mối quan hệ nhân quả biểu hiện rất phức tạp, một kết quả thờng không phải do một nguyên nhân, kết quả có thể là do nhiều nguyên nhân tác động theo dạng phối hợp hay tác động riêng lẻ, và một nguyên nhân có thể sản sinh ra nhiều kết quả. Do đó trong khi giải các bài tập toán, cần tập cho học sinh thói quen không tự thoả mãn với kết quả và lời giải vừa tìm đợc, mà
phải có cách nhìn tổng quát, xem xét vấn đề dới nhiều góc độ khác nhau để tìm ra nhiều nguyên nhân có thể dẫn tới kết quả đúng.
Ví dụ 21: Giải phơng trình:
tan2x +cot2x + 2tanx + 2cotx = 6 với 0 < x <
2
π.
Nếu biết cách phân tích và nhìn bài toán dới nhiều góc độ khác nhau thì sẽ đa ra đợc nhiều cách giải khác nhau.
Cách giải 1:
Nếu nhìn bài toán trong mối quan hệ bởi nguyên nhân tanx=
x
cot 1 , ta
nghĩ ngay đến việc chuyển bài toán về dạng chỉ chứa tanx (hoặc cotx) bằng cách thay cotx = x tan 1 ( hoặc tan x = x cot 1 ).
Khi đó phơng trình đa đợc về dạng:
tan4x + 2tan3x - 6tan2x + 2tanx + 1 = 0 hay (tanx - 1) (tan2x + 4tanx + 1) = 0
Đến đây dễ dàng tìm đợc tanx và từ đó suy ra x.
Cách giải 2:
Nếu căn cứ vào nguyên nhân đối xứng của tanx và cotx của bài toán, từ cách viết phơng trình đã cho dới dạng:
tan2x + cot2x + 2 (tanx + cotx) = 6 và để ý đến hệ thức:
tan2x + cot2x = (tanx + cotx)2 - 2 ta nghĩ ngay đến việc chọn ẩn phụ:
u = tanx + cotx
Khi đó ta thu đợc phơng trình đối với ẩn u có dạng:
u2 + 2u - 8 = 0
Chỉ cần giải phơng trình tìm u rồi trở về tìm x.
Nếu quan tâm đến điều kiện cụ thể của bài toán là 0 < x <
2
π, điều kiện
đó cho phép ta đánh giá đợc các nhóm tanx + cotx, tan2x + cot2x mà cụ thể là: tan2x + cot2x ≥ 2
tanx + cotx ≥ 2
Dấu đẳng thức trong hai bất đẳng thức đó xảy ra khi tanx = 1, tức là khi
x =
4
π. Vì thế giá trị của vế trái lớn hơn hoặc bằng 6; chỉ bằng 6 khi
x = 4 π. Từ đó ta kết luận: x = 4
π là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho
.
- Trong sợi dây vô tận của sự vận động của vật chất, không có một hiện t- ợng nào đợc coi là nguyên nhân đầu tiên và cũng không có một kết quả nào đ- ợc xem là kết quả cuôí cùng. Trong mối quan hệ này sự vật và hiện tợng nào đó đợc coi là nguyên nhân, song trong mối quan hệ khác nó lại là kết quả và ngợc lại. Điều này thể hiện rõ trong quá trình giải phơng trình và bất phơng trình, đặc biệt khi dùng các phép biến đổi tơng đơng, qua quá trình biến đổi đó, phơng trình hay bất phơng trình trớc là nguyên nhân của kết quả của phơng trình hay bất phơng trình sau, đến lợt mình thì phơng trình hay bất phơng trình này lại là nguyên nhân của kết quả sau nữa, và ngợc lại.
Ta lấy ví dụ cụ thể nh sau: trong khi giải phơng trình 2x−3=x−2
Khi đó, phơng trình có chứa căn bậc hai là nguyên nhân của kết quả là phải có điều kiện 2x-3≥0, và kết quả trên lại là một trong các nguyên nhân (kết hợp với x-2≥0) để có kết quả là phơng trình đã cho tơng đơng với 2x-3= (x-2)2.
- Nguyên nhân sản sinh ra kết quả, nhng sau khi xuất hiện, kết quả không giữ vai trò thụ động đối với nguyên nhân, trái lại, nó ảnh hởng ngợc trở lại nguyên nhân. Do đó qua quá trình biến đổi phơng trình hay bất phơng trình, kết quả nghiệm mà các em học sinh thu đợc có thể đúng hoặc sai, và nhiệm vụ ngời thầy giáo là phải nhận xét kết quả đó. Nếu kết quả cha đúng thì cần định hớng
để các em tìm ra phép biến đổi hay phơng pháp (nguyên nhân) dẫn đến kết quả sai đó.
2.2.2. Khai thác mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng trong việc tìm tòi lời giải bài toán và sáng tạo các bài toán mới
Theo [7], cái riêng là phạm trù triết học dùng để chỉ một sự vật, một hiện tợng, một quá trình riêng lẻ nhất định. Cái chung là một phạm trù triết học dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính, những mối quan hệ giống nhau ở nhiều sự vật, hiện tợng hay quá trình riêng lẻ.
Cũng theo quan điểm của phép Biện chứng duy vật, giữa cái riêng và cái chung có mối quan hệ biện chứng với nhau. Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng; ngợc lại, cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhng sâu sắc hơn cái riêng.
Khi dạy học Toán cần lu ý cho học sinh biết tìm cái riêng trong cái chung, biết nhận thức sâu sắc mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung.
Ví dụ 22: Giải phơng trình:
4 2 4 2
1 1 9 3 1
cos cos cos cos
16+ x−2 x + 16+ x− 2 x = 2
Thoạt nhìn thì học sinh sẽ nghĩ đây là một phơng trình vô tỉ lợng giác. Nhng vấn đề đặt ra trớc hết là: phải chăng phơng trình trên là một phơng trình vô tỉ (còn tính lợng giác thì hiển nhiên rồi). Suy nghĩ nh vậy cũng là lẽ tự nhiên bởi vì:
Quá trình suy nghĩ thông thờng đi từ đơn giản đến phức tạp, từ cái riêng đến cái chung. Cái riêng ở đây là xét xem các biểu thức dới dấu căn có phải là các bình phơng đúng hay không? Còn cái chung ở đây là tính chất vô tỉ (nếu có).
Ngoài ra cũng nên nghĩ thêm rằng nếu phơng trình đã cho mang tính chất vô tỉ thì quả là bài toán không có gì hay ngoài sự phức tạp của nó.
Nhằm vào cái riêng, ta xét thấy các biểu thức dới căn là các bình phơng đúng. Cụ thể là:
2
4 2 2
1 cos 1cos cos 1
16 x 2 x x 4 ữ + − = − , 2 4 2 2
9 cos 3cos cos 3
16 x 2 x x 4
ữ
+ − = − .
Nh vậy tính chất vô tỉ trong bài toán đó chỉ còn là cái áo ngụy trang mà thôi, bởi vì do A = A2 nên phơng trình đã cho có dạng:
2 1 2 3 1
cos cos
4 4 2
x− + x− = (19)
Phơng trình (19) là một phơng trình lợng giác có dấu giá trị tuyệt đối. Do đặc điểm về dạng của phơng trình, có thể đặt: u = cos2x với 0 ≤ u ≤ 1.
Khi đó ta có phơng trình đối với u là:
2 1 4 3 4 1 + − = − u u (20)
Đến đây có thể giải phơng trình (20) bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối (bằng phơng pháp phân khoảng) hoặc giải bằng phơng pháp hình học.
Theo phép biện chứng duy vật, cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng nên chỉ có thể tìm cái chung trong cái riêng, thông qua cái riêng chứ không thể ở ngoài cái riêng. Để phát hiện cái chung cần xuất phát từ những cái riêng, từ những sự vật, hiện tợng, quá trình riêng lẻ, cụ thể.
Trong quá trình dạy học Toán tuân theo cặp phạm trù cái chung - cái riêng cần đặc biệt rèn luyện cho học sinh một số thao tác t duy nh: Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự.
Khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng đến cái chung, là "chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" (G.Pôlya). Đặc biệt hoá là thao tác t duy ng- ợc của khái quát hoá, là "chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho
sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho". Trong quá trình dạy học không chỉ yêu cầu học sinh đi từ cái riêng đến cái chung (khái quát hoá) mà còn đòi hỏi họ đi từ cái chung đến cái riêng (đặc biệt hoá) và làm rõ mối quan hệ chung - riêng giữa cái đạt đợc và cái xuất phát. Tơng tự đợc xem nh tiền thân của khái quát hoá, bởi vì việc chuyển từ một trờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát, là một bớc để đi tới những trờng hợp riêng bất kì của cùng một cái tổng quát đó. Nhiều khi học sinh đã có một sự hình dung nhất định về cái chung nhng cha hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đa ra những hiện tợng riêng lẻ coi nh đại biểu của cái chung. Vì thế trong những trờng hợp nhất định, ta có thể coi thực hiện phép t- ơng tự nh là biểu hiện của khái quát hoá.
Cần làm cho học sinh hiểu rằng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tơng tự là phơng pháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức. Từ những kiến thức đã có có thể vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới. Trên cơ sở đó giúp các em đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình. Từ đó sẽ tạo cho các em hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện Toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà các em tiếp nhận đợc.
Ví dụ nh từ bài toán có vẻ nh hiển nhiên: 5-2x = (3-x)+ (2-x), hay phơng trình (3-x)+ (2-x)= 5-2x có nghiệm là ∀x∈R.
Vấn đề đặt ra là ngoài trờng hợp riêng đặc biệt nh trên, các phơng trình dạng (3-