Ta cũng xột tập hợp A và tập hợp B (Phần tử cấu trỳc) trong , thỡ phộp co nhị phõn của tập hợp A bởi phần tử cấu trỳc B đƣợc kớ hiệu A B và viết dƣới dạng cụng thức nhƣ sau:
A B = z| B z A, (0.16)
Với Bz b z b, B, (0.17)
Phộp co nhị phõn của tập hợp A bởi phần tử cấu trỳc B là tập hợp cỏc điểm z (z nằm ở tõm điểm của phần tử cấu trỳc B) sao cho Bz là tập con của A.
Xột hỡnh vẽ sau: Hỡnh 2.8: Phộp co nhị phõn trờn hai đối tƣợng d/8 d/4 d/2 d Hướng 3d/4 d/8 d/4 d d d d/8 d/8 3d/ 4 d/8 d/8 d/ 2 d/4 d/4 d/2
Hỡnh 2.8a bao gồm:
+ Tập hợp A cú hai cạnh bờn kớch thƣớc là d.
+ Phần tử cấu trỳc vuụng B kớch thƣớc d/4(Dấu chấm đen ở giữa là tõm điểm).
+ Cuối cựng là kết quả của phộp co nhị phõn giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B.
Phần cú màu nhạt hơn là kết quả sau khi thực hiện co hỡnh ảnh bởi phần tử cấu trỳc B. Hỡnh 2.8b gồm những thành phần tƣơng tự nhƣng với phần tử cấu trỳc B
là hỡnh chữ nhật, và cho ta một kết quả khỏc.
Vậy phộp co nhị phõn của ảnh A với phần tử cấu trỳc B là quỹ tớch cỏc điểm đƣợc tạo ra bởi tõm điểm của phần tử cấu trỳc B khi tịnh tiến trờn hỡnh ảnh A.
Từ đú ta cú cụng thức: A B B b B A , (0.18)
Phộp co nhị phõn và gión nhị phõn cú thể đƣợc với nhau qua phộp bự và phộp phản xạ của tập hợp, luận lý này sẽ đƣợc minh họa qua cụng thức sau:
(A B)c=Ac B , (0.19) Ta chứng minh cụng thức trờn là đỳng: Từ cụng thức co nhị phõn ta cú: (A B)c = z| B z Ac, (0.20) Nếu tập hợp Bz là tập con tập hợp A thỡ ta cú, BzAc=, cho nờn, trong trƣờng hợp này ta sẽ cú:
(A B)c= | c
z
z B A c, (0.21)
Vỡ phần bự của phộp gión nhị phõn giữa tập hợp A và tập hợp B luụn thỏa món:
(A B)c= | c
z
z B A
| z A B z B A Suy ra: (A B)c= Ac B , (dpcm)
Nhƣ vậy, phần bự của phộp co nhị phõn giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B
là phộp gión nhị phõn giữa phần bự của tập hợp A với phản xạ của phần tử cấu trỳc
B.
Một ứng dụng quan trọng của phộp co nhị phõn là dựng để loại trừ cỏc chi tiết khụng cần thiết trờn hỡnh ảnh. Vớ dụ, trờn một hỡnh ảnh , ta cú cỏc đối tƣợng cú cỡ tƣơng ứng 1,4,6 và 11 điểm ảnh, Bõy giờ nếu muốn loại trừ cỏc đối tƣợng nhỏ khụng cần thiết trờn ảnh, chỉ để lại cỏc đối tƣợng cú kớch thƣớc lớn, nhƣ trong hỡnh vẽ đối tƣợng ta cần giữ lại là những đối tƣợng cú kớch thƣớc 11 điểm ảnh. Ta sẽ sử dung phần tử cấu trỳc cú kớch thƣớc 10x10 điểm ảnh để thực hiện phộp co nhị phõn ( Erosion ). Kết quả sẽ chỉ cũn lại 3 đối tƣợng cú kớch thƣớc 1 điểm ảnh(Hỡnh 2.9b). Sau đú để cỏc đối tƣợng trở lại kớch thƣớc ban đầu ta sử dụng phộp gión nhị phõn( Dilation ) với phần tử cấu trỳc cú kớch cỡ tƣơng ứng (Hỡnh 2.9c).
Hỡnh 2.9: Quỏ trỡnh lọc đối tƣợng sử dụng phộp co nhị phõn và phộp gión nhị phõn.
)
b
)
Quỏ trỡnh thực hiện cú thể đƣợc minh họa rừ ràng qua hỡnh vẽ sau:
Hỡnh 2.10: Ứng dụng của phộp co ảnh dƣới dạng số nhị phõn.
a) Hỡnh ảnh ban đầu; b) Hỡnh ảnh quỏ trỡnh co nhị phõn trờn đối tƣợng với phần tử cấu trỳc 9x9, phần tử đƣợc tụ đậm màu sẽ cú giỏ trị 1 sau quỏ trỡnh co nhị phõn; c) Phúng to đối tƣợng và giỏ trị của đối tƣợng sau quỏ trỡnh co nhị phõn với phần tử cấu trỳc 9x9.