Cỏc mệnh đề

-Mệnh đề 1: Tớnh chất gia tăng a) X X' X B  X' B, B X B X'B, B b) BB'X B  X' B, X X B XB', X a) b) c)

-Mệnh đề 2: Tớnh chất phõn phối với phộp 

a) X(BB)(XB)(XB),

b) X BB=(X B)(X B), - Mệnh đề 3: Tớnh chất phõn phối với phộp giao (X Y ) B=(X B) (Y B), - Mệnh đề 4: Tớnh chất kết hợp

a) (XB)BX(BB),

b) (X B) B=X (BB),

2.5.2. Định lý

Giả sử, X là một đối tƣợng trong ảnh, B là phần tử cấu trỳc, khi đú X sẽ bị chặn trờn và chặn dƣới bởi tập close của X theo B.

Ta cú,(XB) B  X (X B) B, Chứng minh, Ta cú:     x X Bx X B, (Vỡ x x X X B B    ) ( ) x X B

   B(Theo định nghĩa của phộp co),

(X B)

  B  X ,

(0.22)

Mặt khỏc,  y (X B) B,

Suy ra:  x X Bsao cho, yBx ( Vỡ (X B) B= x

x X B B  ) , x B X y X     Suy ra: X (X B)B, (0.23)

Từ (1.22) và (1.23) ta cú: (XB) B X (X B)B, 2.5.3. Hệ quả Tớnh Bất biến: a) ((XB) B)B=(XB), b) ((X B)B) B=(X B), Thật vậy, từ định lý trờn ta cú: X (XB) B,

Do đú, theo tớnh chất gia tăng ta cú:

(( ) X B X B     B)B, (0.24) Mặt khỏc cũng theo định lý trờn ta cú: (X B)B  X X ((X B)B) B  X B, (0.25) Từ (1.24) và (1.25) ta cú: ((XB) B)B=XB. Và ((X B)B) B=X B. 2.6. Phộp mở ảnh (Opening[2]) và phộp đúng ảnh (Closing[2]).

Ở cỏc chủ đề trờn đó nờu một số khỏi niệm cũng nhƣ phƣơng thức gión nhị phõn và co nhị phõn cỏc đối tƣợng trờn một ảnh. Sau đõy là hai khỏi niệm cũng rất quan trọng trong phộp toỏn hỡnh thỏi, đú là phộp mở ảnh (Opening) và phộp đúng ảnh (Closing). Phộp mở ảnh và phộp đúng ảnh là hai phộp toỏn đƣợc mở rộng từ hai phộp toỏn hỡnh thỏi cơ bản là phộp co nhị phõn và phộp gión nhị phõn. Phộp mở ảnh thƣờng làm trơn biờn của đối tƣợng trong ảnh, nhƣ loại bỏ những phần nhụ ra cú kớch thƣớc nhỏ. Phộp đúng ảnh cũng tƣơng tự làm trơn biờn của đối tƣợng trong ảnh

nhƣng ngƣợc với phộp mở. Phộp toỏn này thƣờng làm hợp nhất cỏc đoạn gẫy hẹp, loại bỏ cỏc lỗ hổng nhỏ và làm đầy cỏc khe hở trong chu tuyến.

2.6.1. Phộp mở ảnh.

Bài toỏn đặt ra là làm thể nào để cú thể làm trơn biờn của đối tƣợng loại bỏ những điểm nhụ thừa, cú kớch thƣớc nhỏ khụng cần thiết. Từ đú, ta đặt ra giải phỏp nhƣ sau: sử dụng phộp co nhị phõn, lƣợc bỏ cỏc điểm ảnh bờn gần phớa ngoài bề mặt đối tƣợng, chỉ để lại chỉ giữ lại cỏc phần tử cơ bản cấu hỡnh lờn hỡnh dạng của đối tƣợng. Từ cỏc phần tử sau khi co nhị phõn ta sẽ sử dụng phộp gión nhị phõn để tỏc động lờn đối tƣợng. Cuối cựng ta sẽ cú đối tƣợng mới từ cỏc phần tử cơ bản đú, đối tƣợng này sẽ đỏp ứng đƣợc yờu cầu bài toỏn đặt ra.

Nhƣ vậy, để thực hiện phộp đúng ảnh ta phải trải qua hai giai đoạn là co ảnh và gión ảnh. Đầu tiờn sử dụng phộp co và phần tử cấu trỳc cú kớch thƣớc tƣơng ứng để tỏc động lờn đối tƣợng trong ảnh đỳng theo yờu cầu. Tƣơng tự với phộp gión nhị phõn ta sẽ thu đƣợc kết quả.

Với tập hợp A là đối tƣợng trong hỡnh ảnh và B là phần tử cấu trỳc, ( ) là ký hiệu của phộp mở ảnh giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B, phộp mở ảnh đƣợc xỏc định bởi cụng thức:

Hỡnh 2.11: Quỏ trỡnh thực hiệp phộp mở ảnh.

Trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học, giả sử ta cú phần tử cấu trỳc B dạng một hỡnh trũn, khi đú biờn của tập hợp A B gồm quỹ tớch cỏc điểm thuộc biờn của phần tử cấu trỳc B, khi B tịnh tiến trờn đƣờng biờn tập hợp A, và cỏch biờn của tập hợp A

khoảng cỏch xa nhất (Hỡnh 2.12), hỡnh 2.12a là đối tƣợng ban đầu, hỡnh 2.12c là đối tƣợng sau khi thực hiện phộp mở ảnh. Tất cả cỏc hƣớng gúc ngoài đều đƣợc làm trơn, trong khi những gúc hƣớng vào trong đều khụng bị ảnh hƣởng. Những chỗ nhọn nhỏ thừa nhụ ra sẽ bị lƣợc bỏ.

Từ luận điểm này ta cú cụng thức: x x B A A B B   , (0.26)

Hỡnh 2.12: Phộp mở ảnh trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học.

)

a

)

Khu vực tụ đậm là đối tƣợng mới sau khi thực hiện phộp toỏn, khu vực trong viền nột đứt là đối tƣợng cũ trƣớc khi thực hiện phộp toỏn.

2.6.2. Phộp đúng ảnh.

Tƣơng tự nhƣ phộp mở ảnh, nhƣng quỏ trỡnh thực hiện phộp đúng ảnh cú xu hƣớng ngƣợc lại, với mục đớch, làm đầy những chỗ thiếu hụt của đối tƣợng trờn ảnh dựa vào cỏc phần tử cơ bản ban đầu.

Với tập hợp A là đối tƣợng trong ảnh, B là phần tử cấu trỳc.   là ký hiệu phộp đúng ảnh. Khi đú phộp đúng ảnh của tập hợp A bởi Phần tử cấu trỳc B, kớ hiệu là (A B ), xỏc định bởi:

(A B )=(AB) B, (1.28)

Cho một hỡnh ảnh nhị phõn, với đối tƣợng trong ảnh cú những khu vực bị đứt góy, khụng liền mạch. éể khắc phục hiện tƣợng này ta ỏp dụng phộp đúng ảnh, với

A là đối tƣợng ban đầu, B là phần tử cấu trỳc cú kớch thƣớc 3x3 (Hỡnh 2.13a). Khi ỏp dụng phộp đúng ảnh, đầu tiờn đối tƣợng này sẽ đƣợc mở rộng bằng phộp gión nhị phõn theo phần tử cấu trỳc B. Lỳc này những khu vực thiếu hụt sẽ đƣợc bự lờn, và khu vực đứt sẽ đƣợc nối lại (Hỡnh 2.13b). Sau đú ỏp dụng phộp co nhị phõn để đƣa đối tƣợng về trạng thỏi ban đầu (Hỡnh 2.13c).

Hỡnh 2.13: Quỏ trỡnh thực hiện phộp đúng ảnh.

Trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học tƣơng tự nhƣ phộp mở ảnh, ngoại trừ việc phần tử cấu trỳc trong phộp đúng ảnh này cú cỏch thức thực hiện đối nghịch với phộp mở ảnh.

Cho một đối tƣợng trong ảnh tƣơng tự nhƣ đối tƣợng ở (hỡnh 2.12). Khi thực hiện phộp đúng ảnh thỡ hỡnh trũn(phần tử cấu trỳc) cú xu hƣớng quột bờn ngoài đƣờng biờn của đối tƣợng (Hỡnh 2.14).

AB A1 B ) a ) b ) c

Hỡnh 2.14: Minh họa phộp đúng ảnh trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học. Quan sỏt trờn hỡnh vẽ ta cú thể thấy cỏc gúc hƣớng vào của đối tƣợng đƣợc làm trơn, cỏc gúc hƣớng ra thỡ khụng cú tỏc động gỡ. Độ lừm do phần tử cấu trỳc tạo ra ở bờn trỏi đối tƣợng nhỏ hơn bờn phải, vỡ thế kớch thƣớc phần tử cấu trỳc cũng rất quan trọng trong độ trơn của gúc.

Một điểm w đƣợc coi là một phần tử của (A B ) khi và chỉ khiBz  A , với

mọi wBzkhi Bz tịnh tiến.

Nhƣ trong quan hệ giữa phộp gión nhị phõn và phộp co nhị phõn. Phần bự của phộp đúng giữa hai tập hợp là phộp mở giữa phộp bự và phộp phản xạ của hai tập hợp; tức là: (A • B)c= (Ac ), (1.29) 2.6.3. Cỏc tớnh chất của Phộp mở ảnh và phộp đúng ảnh. *Tớnh chất 1: Đối với phộp mở ảnh a) A B A, c) Nếu CD thỡ C BD B, d) (A B) B A B, ) a ) b c) c

*Tớnh chất 2: Đối với phộp đúng ảnh a) A A B,

b) Nếu CD thỡ C B  D B, c) (A B )  B A B,

d) A B Khi và chỉ khi Bz  A ,

Cỏc tớnh chất trờn giải thớch cỏc kết quả nhận đƣợc khi phộp toỏn mở và đúng ảnh đƣợc sử dụng để xõy dựng lọc phộp toỏn hỡnh thỏi. Vớ dụ, xột cấu trỳc lọc của phộp mở ảnh. Khi đú tớnh chất (1a) chỉ ra kết quả sẽ là tập hợp con của tập hợp ban đầu. Tớnh chất (1b) nghĩa là tớnh đơn điệu đƣợc bảo toàn. Tớnh chất 1c cho thấy phộp toỏn mở ảnh chỉ đƣợc sử dụng khụng hơn 1 lần, những lần sau kết quả vẫn giữ nguyờn, tƣơng tự cỏc tớnh chất cũng đƣợc suy ra đối với phộp đúng ảnh.