2. Ngày hồn thành đồ ỏn: / /20
3.1.3.2. Xỏc suất lỗi đối với kờnh bất đồng bộ
Ta thấy rằng số thao tỏc yờu cầu cho việc tớnh toỏn tăng theo hàm mũ theo số user. Từ nguyờn nhõn này, một số tỏc giả đĩ thay thế (4.30) gần đỳng bằng biến ngẫu nhiờn nhị thức:
(3.1.32) Bởi một biến ngẫu nhiờn Gaussian.Xỏc suất lỗi gần đỳng trở thành:
(3.1.33)
Sự thay thế này chỉ đỳng khi tỷ số tớn hiệu trờn nhiễu thấp, khi tỷ số tớn hiệu trờn nhiễu cao thỡ điều này trở nờn khụng tin cậy.
3.1.3.2. Xỏc suất lỗi đối với kờnh bất đồng bộ
Việc phõn tớch trong kờnh bất đồng bộ hồn tồn tương tự.Sự khỏc biệt chớnh bõy giờ là mỗi bit bị tỏc động bởi 2K-2 bit gõy nhiễu. Điều này tăng gấp đụi số hạng trong:
(3.1.34)
Điều kiện tổng quỏt cho trường hợp bất đồng bộ là:
(3.1.35) Nhận xột:
Khi số user truy cập càng tăng thỡ tỉ lệ lỗi bit càng tăng, và tỉ lệ lỗi của mụ hỡnh đồng bộ luụn thấp hơn mụ hỡnh bất đồng bộ cú dung lượng tưương đương.
3.2. Tỏch súng giải tương quan (decorrelating detector) 3.2.1. Kờnh CDMA đồng bộ
Vector ngừ ra của K ngừ ra bộ lọc thớch nghi cú thể cho bởi:
y=Rab+n (3.2.1) Ở đõy n là một vector ngẫu nhiờn Gaussian với trung bỡnh zero và ma trận hợp biến bằng
Khi khụng cú tạp õm, ta giả sử rằng ma trận R là khả đảo, nếu nhõn vector ngừ ra bộ lọc phối hợp với
(3.2.2) Như vậy, dữ liệu thu được:
(3.2.3) Ta cú thể kết luận rằng nếu cỏc dạng súng tớn hiệu trải phổ xỏc định là độc lập tuyến tớnh với nhau, bộ tỏch súng trong (3.2.3) cú thể đạt được việc giải điều chế hồn hảo cho mỗi user xỏc định.
Bõy giờ ta sẽ xột đến trường hợp cú nhiễu. Quỏ trỡnh xử lý cỏc ngừ ra của bộ lọc thớch nghi (3.2.1) với cho ta kết quả sau:
(3.2.4) Chỳ ý rằng thành phần thứ k trong (3.2.4) khụng bị ảnh hưởng nhiễu giao thoa gõy ra bởi bất kỳ cỏc user khỏc, nghĩa là nú là độc lập với tất cả . Nguồn nhiễu duy nhất chớnh là khụng gian nhiễu. Đú chớnh là lý do bộ tỏch súng được biểu diễn theo (3.2.3) được gọi là bộ tỏch súng giải tương quan. Sơ đồ khối của bộ thu giải tương quan được biểu diễn theo hỡnh 3.3
Hỡnh 3.3: Bộ tỏch súng giải tương quan cho kờnh đồng bộ
Bộ tỏch súng giải tương quan cú một số đặc tớnh mong muốn:
• Khụng yờu cầu biết cụng suất người dựng.
• Độc lập với cụng suất của cỏc người dựng giao thoa.
Đũi hỏi duy nhất của bộ tỏch súng này là sự nhận biết về thời gian cần thiết cho giải mĩ trải phổ tại mỏy thu.
• Việc giải điều chế cho mỗi user cú thể thực thi một cỏch độc lập hồn tồn. Ký hiệu là một dạng viết tắt của và lưu ý rằng ngừ ra thứ k của phộp biến đổi tuyến tớnh bằng với:
(3.2.5)
Trong đú: (3.2.6)
Tớn hiệu trong (3.2.5) cú thể biến đổi theo cỏc đơn vị bờn trong với dạng súng tớn hiệu tương ứng của nú như sau:
Do đú theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Ta cú thể thấy rằng bất kỳ sự kết hợp tuyến tớnh của với tất cả cỏc thành phần trực giao với nhau ngoại trừ như là một phộp biến đổi giải tương quan tuyến tớnh của với .Rừ ràng phộp biến đổi này khụng tồn tại nếu sk là một sự kết hợp tuyến tớnh của . Nếu là độc lập tuyến tớnh với nhau thỡ trong (3.2.6) là một phộp biến đổi giải tương quan duy nhất của với
Từ (3.2.5) ta cú thể xem bộ tỏch súng giải tương quan của user thứ k như là một bộ lọc thớch nghi đĩ được biến đổi theo (hỡnh 3.3) ở dưới đõy.
Hỡnh 3.4:Bộ lọc thớch nghi đĩ được biến đổi trong tỏch súng giải tương quan
Sự thống kờ quyết định của bộ tỏch súng giải tương quan (hay ngừ ra của bộ lọc thớch nghi theo phương trỡnh (3.2.6) khụng chứa tớn hiệu đĩ điều chế của những user giao thoa. Thực vậy với bất kỳ vector
Một cỏch khỏc để phỏt biểu thuộc tớnh quan trọng này là bố trớ nú trong mụ hỡnh hỡnh học của khụng gian vector tuyến tớnh được mở rộng bởi K dạng súng tớn hiệu xỏc định: bộ tỏch súng giải tương quan tương ứng với hỡnh chiếu của (tỷ lệ với ) trong khụng gian con trực giao với khụng gian con được mở rộng bởi những tớn hiệu xỏc định giao thoa
Trong trường hợp 2 user, ma trận nghịch đảo:
(3.2.9)
Vỡ những hệ số nhõn dương khụng ảnh hưởng khi thực hiện việc lấy dấu, ta cú thể thấy rằng trong một kờnh 2 user việc giải tương quan cho user 1 tương tự như bộ lọc thớch nghi kinh điển đơn user ngoại trừ việc thay s1 bởi
Ta cú bộ thu giải tương quan cho kờnh đồng bộ 2 user như sau:
Hỡnh 3.5: Bộ thu giải tương quan lờnh đồng bộ 2 user
(3.2.10) Sử sụng phộp biến đổi giải tương quan tuyến tớnh liờn quan đến mụ hỡnh bộ lọc thớch nghi trắng (the whitened matched filter). Ta lại cú:
Ở đõy F là ma trận tam giỏc dưới. Tớn hiệu:
(3.2.12) Là một phộp biến đổi giải tương quan của s đối với F, vỡ:
(3.2.13)
Chỉ khỏc khụng khi k = 1. Từ (3.2.12) ta thấy rằng bộ lọc thớch nghi trắng đầu tiờn là một phộp biến đổi giải tương quan tuyến tớnh thật sự cho user 1. Đặc tớnh này khụng đỳng với những user khỏc. Tuy nhiờn ta cú ngừ ra của bộ lọc thớch nghi trắng thứ k:
(3.2.14) Là một phộp biến đổi tương quan tuyến tớnh của đối với . Để làm rừ điều này, tương tự như (3.2.12) ta cú:
(3.2.15) Với:
Hơn thế nữa là ma trận tam giỏc trờn với hàng thứ k chỉ phụ thuộc vào
Bõy giờ ta cú thể thấy rằng bộ tỏch súng giải tương quan theo một thể thức đặc biệt như sau: một chỳ ý đơn giản rằng kết quả giải điều chế khụng lỗi trong điều kiện khụng cú nhiễu nền. Ngồi ra bộ tỏch súng giải tương quan cú thể cú được như một lời giải đối với những vấn đề tối ưu khỏc nhau. Trong phần này ta xột 3 tiờu chuẩn để đạt được bộ tỏch súng giải tương quan là tối ưu.
Bõy giờ ta giả sử rằng bộ tỏch súng khụng biết biờn độ thu cũng như khụng biết trước bất kỳ sự phõn bố nào của chỳng. Từ đú đương nhiờn ta xem như kết hợp ước lượng cực đại hàm khả năng của biờn độ và bit được truyền đi. Bởi vỡ nhiễu là trắng
và Gaussian, những bit và biờn độ đỳng nhất được xỏc định thụng qua trung bỡnh bỡnh phương dạng súng nhận được, khi đú những thụng số này sẽ đạt được:
(3.2.16)
Đặt ta xỏc định ngừ ra của bộ lọc thớch nghi theo dạng súng tớn hiệu xỏc định bởi yk, ta thấy rằng việc cực tiểu trong (3.2.15) tương đương với cực đại:
Đạt được bởi: Vỡ
Bõy giờ, ta xột những thụng số cực tiểu (3.50) (tức là, những bit và biờn độ đỳng nhất) đơn giản là:
(3.2.17) Và
Nờn bộ tỏch súng giải tương quan được xem như cho một sự ước lượng kết hợp tốt nhất giữa những bit phỏt đi và biờn độ trong trường hợp khụng biết trước biờn độ thu.
Tổng quỏt hơn ta quan tõm đến mụ hỡnh thời gian rời rạc L-chiều:
(3.2.18) Trong đú S là ma trận L x K của những vector tớn hiệu và ma trận hợp biến của m là ma trận L x L đồng nhất.Một phương phỏp hợp lý để lấy quyết định là:
(3.2.19) Ở đõy x(r) là một ước lượng của Ab đƣợc xỏc định khi tập K-vector đạt được vấn đề cực tiểu bỡnh phương:
(3.2.20)
Lời giải từ (3.2.19) là: (3.2.21)
Ở đõy ma trận (K L) chớnh là phộp biến đổi nghịch đảo Moore-Penrose của S. Và ma trận tương quan R lỳc này sẽ là:
Cỏch giải này tương đương với:
(3.2.22) Vỡ vậy, bằng cỏch giải bài toỏn cực tiểu bỡnh phương ta cú được bộ giải tương quan cho trường hợp ma trận tương quan chộo là duy nhất.
3.2.2. Kờnh CDMA bất đồng bộ
Giống với kờnh đồng bộ, ta cú thể tỡm biến đổi tuyến tớnh bao hàm mức ngưỡng của bit vào nếu = 0.Ta tiến hành nghịch đảo hàm biến đổi kờnh rời rạc theo thời gian:
(3.2.23) Điều này dẫn đến bộ tỏch súng được biểu diễn ở ( Hỡnh 3.6)
Trong trường hợp 2 user, ta cú:
(3.2.24)
(3.2.25)
Phương trỡnh (3.2.25) tương ứng với cấu trỳc tổng quỏt hàm chuyển đổi ma trận
như là tớch của hàm chuyển đổi vụ hướng với hàm chuyển đổi ma trận adj S(z). Tồn bộ adj S(z) khụng chứa mẫu số, chỳng là những đa thức dương hay õm theo z. Ta cú thể thấy thao tỏc nhõn những vector ngừ ra bộ lọc thớch nghi bởi ma trận adj S(z) như là sự loại bỏ giao thoa từ cỏc user khỏc. Tuy nhiờn giao thoa liờn kớ tự giữa những kớ tự khụng giao thoa phớa trƣớc của cựng user. Vớ dụ trong trường hợp 2 user trước khi nhõn ngừ ra bộ lọc thớch nghi bởi:
(3.2.26)
Mang lại ở user thứ i cho cả k = 1 và k=2:
(3.2.27) Lưu ý rằng những ngừ ra bộ lọc thớch nghi của những bit đú chồng chập với bị làm xấu đi bởi những bit . Vỡ thế, mục đớch của hàm chuyển đổi vụ hướng là để hoạt động như bộ cõn bằng zero, đú là một bộ lọc tuyến tớnh vụ hướng cú hàm chuyển đổi là nghịch đảo của hàm chuyển đổi đơn kờnh tương đương:
(3.2.2) Sự thực hiện ổn định của tồn tại nếu det S(z) khụng cú zero trong chu kỡ đơn vị:
(3.2.29) Với mọi
Lỳc này tương đương với
3.2.3. Phõn tớch hiệu suất cho bộ tỏch súng giải tương quan
Trường hợp kờnh đồng bộ
Bõy giờ ta quay lại bộ tỏch súng giải tương quan cho những dạng súng tớn hiệu xỏc định độc lập tuyến tớnh đồng bộ. Biến đổi giải tương quan tuyến tớnh là sự hỡnh thành tớn hiệu của user mong muốn trong khụng gian trực giao đến khụng gian được mở rộng bởi những tớn hiệu giao thoa và vỡ thế bit của nú khụng thay đổi biờn độ của tớn hiệu giao thoa.
Ngừ ra của bộ lọc thớch nghi gồm cú hai thành phần: Tớn hiệu của user k, nú bằng với
Thành phần do nhiễu nền, là nhiễu Gaussian với trung bỡnh zero và thay đổi bằng với thành phần k của ma trận hợp biến:
(3.2.30) Do đú, BER của user thứ k là:
(3.2.31) Như ta tớnh toỏn đõy là sự độc lập của những biờn độ giao thoa. Một cỏch rừ ràng, nếu user thứ k là trực giao với cỏc user khỏc thỡ bộ giải tương quan trựng hợp với bộ lọc thớch nghi đơn kờnh và Biểu diễn khỏc cho đối số của hàm Q trong (3.2.31) với điều kiện của vector tớn hiệu xỏc định:
(3.2.32)
Một biến đổi của (3.2.31) cú được trong điều kiện của ma trận tương quan chộo khụng chuẩn húa:
H=ARA Từ đú:
Cỏc phần tử trờn đường chộo của ma trận tương quan chộo khụng chuẩn hoỏ nghịch đảo khụng phụ thuộc vào năng lượng của giao thoa:
Và (3.2.31) trở thành: (3.2.33)
Một biểu diễn khỏc nữa cú thể được cho của trong điều kiện của hệ số Cholesky , BER của user 1 là:
(3.2.34) Tổng quỏt là BER của biến đổi giải tương quan tuyến tớnh cho đối với trong khi khụng cú user1,…,k -1.
Trong trường hợp 2 user, ta cú
(3.2.35) Do vậy, hiệu suất giống nhau cho tất cả cỏc user và năng lượng hiệu dụng là độc lập với mức nhiễu:
(3.2.37) Và chuyển đổi thành hiệu suất đa kờnh bằng với:
(3.2.38) Đối chiếu với xỏc suất lỗi của bộ lọc thớch nghi đơn kờnh:
(3.2.39) Quay lại trường hợp K user, vỡ (3.2.30) là xỏc suất lỗi của kờnh đơn –user với tỉ số tớn hiệu trờn nhiễu bằng:
(3.2.40) Lỳc này, hiệu suất đa truy cập sẽ là:
(3.2.41)
Nú khụng phụ thuộc vào cả mức nhiễu lẫn biờn độ giao thoa, và vỡ thế nú bằng với tiệm cận hiệu suất đa truy cập và trở khỏng gần – xa, ta cú:
(3.2.42)
Ta cú tớnh chất quan trọng là bộ tỏch súng giải tương quan đạt được trở khỏng gần – xa tối đa. Do đú khụng yờu cầu phải biết biờn độ thu.
Trường hợp bất đồng bộ:
Quyết định thống kờ của user thứ k trong bộ tỏch súng giải tương quan bất đồng bộ cú hai thành phần: và một biến ngẫu nhiờn Gaussian trung bỡnh zero. Để phõn tớch BER của mỏy thu ta cần ước lượng sự thay đổi của thành phần nhiễu. Nhắc lại rằng chuỗi vector nhiễu ở ngừ ra của dĩy bộ lọc thớch nghi cú một chuỗi ma trận tự tƯơng quan mà biến đổi z là:
(3.2.43)
Ngừ ra của biến đổi tuyến tớnh với hàm biến đổi do chuỗi sẽ được kớ hiệu bởi . Chuỗi ma trận tự tương quan được kớ hiệu:
(3.2.44) Dễ dàng biểu diễn:
Từ đú ta cú được ma trận D[0] là:
(3.2.46) Nhưng ta chỉ cần quan tõm đến thành phần trực giao thứ k của D[0]:
(3.2.47)
Từ (3.2.38) BER của bộ tỏc súng giải tương quan bất đồng bộ bằng với:
(3.2.48) Vỡ thế tiệm cận hiệu suất đa truy cập giải tương quan và trở khỏng gần xa bằng với:
(3.2.49) Vỡ đối số ta sử dụng để chứng minh sự tối ưu của trở khỏng gần – xa của bộ tỏch súng giải tương quan mang sang nguyờn bản tới trường hợp bất đồng bộ, ta cú thể kết luận rằng biểu diễn trong (3.2.37) là trở khỏng gần – xa bất đồng bộ tối ưu. Nhắc lại trong trường hợp 2 user, trở khỏng gần – xa tối ưu bằng với:
(3.2.50) Qua phõn tớch ta thấy bộ tỏch súng giải tương quan sẽ tối ưu trong mụi trường khụng cú nhiễu nền. Nghĩa là dữ liệu sẽ khụng cú lỗi trong mụi trường khụng nhiễu nền. Nhưng khi chuỗi dữ liệu được truyền trong mụi trường cú nhiễu thỡ bộ
tỏch súng giải tương quan triệt được nhiễu MAI nhưng nú cú một khuyết điểm là làm tăng mức nhiễu nền.
Ở những tỉ số tớn hiệu trờn nhiễu thấp thỡ bộ tỏch súng giải tương quan khụng tốt do mức nhiễu sẽ tương đối lớn so với tớn hiệu. Ở tỉ số tớn hiệu cao thỡ bộ tỏch súng này hoạt động khỏ tốt.
3.3. Bộ tỏch súng phương sai tối thiểu – mmse (minimun mean square error)
Một cỏch phổ biến trong lý thuyết ước lượng để ước lượng một biến ngẫu nhiờn W trờn cơ sở của những quan sỏt Z là chọn hàm nhằm tối thiểu húa bỡnh phương trung bỡnh lỗi (MSE):
(3.3.1)
Với điều kiện tổng quỏt, nú cú thể được biểu diễn rằng giải phỏp là bộ ước lượng cú điều kiện trung bỡnh:
(3.3.2) Trong hầu hết cỏc bài toỏn, rất khú để đạt được bộ ước lượng cú điều kiện trung bỡnh từ sự phõn bố kết hợp của W và Z. Thụng thường, cực tiểu húa bỡnh phương trung bỡnh lỗi trong biến đổi tuyến tớnh giới hạn của Z. Tổng quỏt bộ ước lượng bỡnh phương trung bỡnh lỗi cực tiểu tuyến tớnh thỡ dễ dàng tớnh toỏn và phụ thuộc vào sự phõn bố kết hợp của W và Z qua phương sai và hợp biến của chỳng.
Bộ tỏch súng MMSE tuyến tớnh cho user thứ k lựa chọn dạng súng ck trong khoảng thời gian T để đạt được:
(3.3.3) và những ngừ ra cú quyết định:
Biến đổi MMSE tuyến tớnh làm cực đại tỉ số tớn hiệu trờn nhiễu ở ngừ ra của biến đổi tuyến tớnh ta cú kết quả sau:
(3.3.5)
Ta luụn cú thể biểu diễn biến đổi tuyến tớnh là:
(3.3.6) Với được mở rộng bởi dạng súng tớn hiệu xỏc định và là trực giao của do đú:
(3.3.7) Do đú ta phải giới hạn mở rộng bởi . Điều này cú nghĩa là những ngừ ra của bộ tỏch súng MMSE tuyến tớnh cú quan hệ chặt chẽ với ngừ ra của bộ lọc thớch nghi, và cho phộp ta chuyển hướng vấn đề trong (3.3.3) thành vấn đề tối ưu thứ nguyờn hữu hạn, chọn K vector để tối thiểu húa:
(3.3.8) Ta cú K vấn đề tối ưu khụng liờn quan nhau (một cho mỗi user), cú thể giải quyết cựng một lỳc bằng cỏch chọn ma trận M KxK (k cột của ma trận này bằng với để cú:
(3.3.9)
Với (3.3.10)
Và kỡ vọng trong (3.3.9) tương ứng với vector của bit phỏt b và vector nhiễu n cú trung bỡnh zero và ma trận hợp biến bằng với
Bước đầu tiờn để giải quyết (3.3.9) là biểu diễn ma trận hợp biến x của vector lỗi:
(3.3.11) Ta cú: (3.3.12) (3.3.13) (3.3.14) (3.3.15)
Ta thay cỏc phần này trong (3.3.10) và biểu diễn ma trận hợp biến của vector lỗi là:
(3.3.16)
Mà (3.3.17) Và ta giả sử rằng A khụng duy nhất. Tớnh đồng nhất trong (3.3.16) được kiểm tra bởi