trong chương trình môn Toán THPT.
1.3.1. Nội dung chủ đề Đạo hàm.
Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải tích. Nó là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số. Nhờ khái niệm đạo hàm, ta có thể nghiên cứu: tính đơn điệu của hàm số, vấn đề cực trị của hàm số, các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số, … điều này giúp ích rất nhiều cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đạo hàm cũng là một
công cụ hữu hiệu để giải quyết một số bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học (Cơ học, Điện học, Hoá học, …).
Mục tiêu của chương:
Về kiến thức:
- Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; - Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm;
- Nắm được định nghĩa vi phân, công thức tính gần đúng nhờ vi phân; - Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp hai.
Về kĩ năng: Học sinh cần đạt được các yêu cầu sau
- Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa đối với một số hàm số đơn giản;
- Vận dụng tốt các quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số và cách tính đạo hàm của hàm số hợp;
- Biết cách tính đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp;
- Biết các ứng dụng của đạo hàm và vi phân để giải một số bài toán về tiếp tuyến, vận tốc, …
Cấu tạo của chương: Gồm 5 bài, dự kiến thực hiện trong 15 tiết, cụ thể:
§1. Khái niệm đạo hàm (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) §2. Các quy tắc tính đạo hàm (3 tiết) Luyện tập (1 tiết) §3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác (2 tiết)
Luyện tập (1 tiết) §4. Vi phân (1 tiết) §5. Đạo hàm cấp cao (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn tập và kiểm tra chương (2 tiết)
* Những điểm mới về cấu trúc và thời lượng:
Trong chương trình SGK Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung phần Giải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm được dành 46 tiết và được phân bố vào 2 chương đầu của lớp 12:
Chương I: Đạo hàm (20 tiết)
Chương II: Ứng dụng của đạo hàm (26 tiết)
Trong chương trình đổi mới này, nội dung trên của SGK nâng cao được chia thành 3 mảng nội dung và được phân bố vào 2 năm học: Đạo hàm (cuối lớp 11, tiếp nối ngay với chương giới hạn trước đó), ứng dụng của đạo hàm đầu lớp 12 và công thức tìm đạo hàm của các hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số luỹ thừa (xen kẽ vào nội dung của chương tiếp theo ở lớp 12).
Đạo hàm trình bày ở chương V- Chương cuối của năm học lớp 11. Điều đó có những ưu điểm cơ bản sau:
- Tiếp nối ngay được chương Giới hạn (chương IV) đã học trước đó nên vận dụng được dễ dàng các định lí, tính chất vừa học của chương Giới hạn.
- Không gây căng thẳng cho học sinh phải học liên tục, học dồn dập nhiều giờ vào một vấn đề.
- Đáp ứng kịp thời những kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập tốt các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học,...
Thời gian dành cho chương Đạo hàm chỉ có 15 tiết, giảm 5 tiết so với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Nhưng bù lại, chương này chưa đề cập đến các công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số Luỹ thừa (đã được chuyển lên lớp 12). Để tăng tính khả thi của sách, các tác giả đã cải tiến cách trình bày, rút gọn cách xây dựng một số khái niệm, tăng thời gian luyện tập, giảm thời lượng giảng bài lí thuyết nhưng vẫn đảm bảo bám sát chương trình và chuẩn kiến thức đã được quy định.
Về mục câu hỏi và bài tập sau mỗi bài, SGK đã cố gắng cải tiến theo hướng:
Bớt những bài tập phải tính toán cồng kềnh, những bài tập áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian, những bài tập tính Đạo hàm của các hàm số cho bởi nhiều biểu thức Giải tích...
- Đa dạng hoá các bài tập: cụ thể có nhiều câu hỏi và bài tập có hình ảnh hình học, nhiều bài tập ôn tập được những kiến thức mà học sinh đã học ở lớp 10 và đầu lớp 11 nhiều bài tập áp dụng thực tế.
* Những điểm mới về nội dung:
Để thực hiện những định hướng về đổi mới nội dung và PPDH môn Toán theo tinh thần phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao đã có những thay đổi sau:
- Đổi mới phương pháp trình bày một số khái niệm như: thay đổi định nghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp,...
- Giảm một số kiến thức khó như: Đạo hàm một phía, đạo hàm trên đoạn, quan hệ giữa đạo hàm và liên tục,.... Bớt chứng minh một số định lí.
- Tăng cường luyện tập tại lớp, thêm một số bài tập về nhà (nhưng các bài tập này thường là dễ) bỏ hẳn những bài toán phức tạp hoặc những bài toán khó. Chẳng hạn: Bớt đi những bài toàn tính theo định nghĩa Đạo hàm của hàm số cho bởi hai hay nhiều biểu thức, đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian...
- Thêm một số bài toán ứng dụng thực tế, bài toán có hình ảnh hình học, bài toán tổng hợp (mà không khó) ôn tập được nhiều kiến thức đã học ở lớp 10 và lớp 11
Ví dụ: §3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Trước khi phát biểu Định lí 1, nên yêu cầu học sinh xem (mà không tính toán) bảng giá trị của sinxx ở trong SGK để đi đến nhận xét: với x (dương) càng nhỏ thì sinxx càng gần với 1. Trong khuôn khổ của chương trình, Định lí này không được chứng minh. Tuy nhiên, đối với các học sinh giỏi, nhất là đối với các học sinh chuyên toán, giáo viên cũng có thể hướng dẫn cho học sinh chứng minh định lí này, nhưng trước đó, học sinh phải được trang bị Định lí “kẹp” sau đây:
Định lí: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0; các hàm số g1, f và g2 cùng xác định trên D = (a; b)\{x0} sao cho g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x) với mọi x thuộc D. Khi đó, nếu x x g x = x x g x = L
→→ ( ) lim ( ) → ( ) lim ( ) lim 1 2 0 0 (với L∈R) thì xlimx0 f(x= L) → .
Trong ví dụ minh hoạ cho định lí 1, ta có kết quả sau:
22 2 2 sin lim 2 2 sin lim 0 0 = = → → x x x x x x .
Đó chỉ là một trường hợp riêng của định lí: “Nếu hàm số u = u(x) thoả mãn các điều kiện: u(x) ≠ 0 với mọi x ≠ x0 và lim0 ( )=0
→ u x x x thì 1 ) ( ) ( sin lim 0 = → u x x u x x ”.
Tất nhiên định lí trên vẫn đúng với u(x) ≠ 0 với mọi x thuộc một khoảng nào đó chứa x0 sao cho x ≠ x0. Tuy nhiên, để đơn giản ta chỉ đưa ra các ví dụ và bài tập với hàm số u = u(x) thoả mãn điều kiện u(x)≠ 0 với mọi x
≠ x0.
Có thể chứng minh phần b) của định lí 2 như sau:
Hàm số y = g(x) = sin(u(x)) có thể xem là hàm số hợp của hàm số f(u) = sinu và hàm số trung gian u = u(x) chú ý rằng f ‘(u) = (sinu)’ = cosu
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta được:
y’ = g’(x) = f’[u(x)].u’(x) = [cos u(x)].u’(x), chứng minh tương tự cho phần b) của các định lí 3, 4 và 5.
1.3.2. Nội dung chủ đề ứng dụng đạo hàm
* Vị trí của chủ đề “ứng dụng đạo hàm của hàm số”
Sau đây chúng tôi phân tích vị trí của chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số đối với môn Toán nói chung và đối với chương trình Giải tích lớp 12 nói riêng.
Chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc phát huy năng lực nhận thức và sáng tạo của học sinh. Đây là một chủ đề hay và khó ở trường THPT với hệ thống lý thuyết và bài tập phong phú, đa dạng, có nhiều sự độc đáo trong các phương pháp giải tạo nên sự hấp dẫn say mê đối với học sinh. Các kiến thức về ứng dụng đạo hàm được áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán; chẳng hạn như vấn đề về tính đơn điệu của hàm số, chúng ta cũng có thể giải quyết được một loạt bài
toán như là: khảo sát tính đơn điệu của hàm số; điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước; áp dụng tính đơn điệu để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; dùng tính đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình … Vấn đề về cực trị của hàm số, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán: tìm cực trị của hàm số; tìm điều kiện để hàm số có cực trị; giá trị cực trị và đường thẳng đi qua các điểm cực trị; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; dùng cực trị để chứng minh bất đẳng thức … Còn vấn đề về tính lồi lõm và điểm uốn của hàm số, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán: tính lồi lõm và điểm uốn của hàm số; điều kiện để hàm số có điểm uốn; áp dụng tính lồi lõm để chứng minh bất đẳng thức …
Như vậy, các kiến thức về chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số được áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Giải tích 12 nói riêng, tạo nên tiềm năng cho việc phát huy năng lực nhận thức của học sinh.
* Mục tiêu của chương Về kiến thức
Giúp học sinh nắm vững
- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số ; - Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số ;
- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm các giá trị đó ;
- Định nghĩa và cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số ; - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Về kỹ năng
Giúp học sinh có kỹ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước, viết phương
trình các đường tiệm cận của đồ thị và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản.
Cấu tạo của chương: Gồm 8 bài, dự kiến được thực hiện trong 23 tiết,
phân phối cụ thể như sau :
§1. Tính đơn điệu của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) §2. Cực trị của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) §4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ (1 tiết) §5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (2 tiết) §6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Kiểm tra giữa chương 1 (1 tiết) §7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân thức (2 tiết) Luyện tập (2 tiết) §8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Câu hỏi và bài tập ôn tập chương I (2 tiết) Bài đọc thêm : Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong
* Những điểm mới về cấu trúc thời lượng và nội dung
Về cấu trúc thời lượng, so với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 thì SGK giải tích 12 nâng cao hiện nay có một số điểm mới sau :
- Giảm bớt được 3 tiết ( chỉ còn 23 tiết so với 26 tiết trước đây)
- Không xét tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số nữa mà chỉ đưa nội dung này vào bài đọc thêm
- Các SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất Giải tích 12 chỉ xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng. Trong SGK giải tích đổi mới hiện nay, các tác giả đã đề cập đến tính đơn điệu của hàm số không chỉ trên một khoảng mà cả trên một đoạn và trên một nửa khoảng.
- SGK giải tích mới hiện nay, trong phần ứng dụng của đạo hàm có đưa vào một số bài tập mà nội dung mang tính thực tế. Chúng giúp học sinh thấy những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán thực tế. Khi giải một số bài tập thuộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số nguyên dương.
Về nội dung, gồm hai phần : phần đầu cung cấp cho học sinh những khái niệm dùng để mô tả một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, cực trị, đường tiệm cận của đồ thị hàm số, phương pháp dùng giới hạn và đạo hàm để nghiên cứu các tính chất đó. Thực chất đây là bước chuẩn bị cho phần thứ hai là khảo sát hàm số. Khác với SGK 2000, chương trình SGK giải tích 12 hiện nay đã bỏ qua tính lồi – lõm của đồ thị. Tuy nhiên, do có vai trò đặc biệt trong việc vẽ đồ thị, điểm uốn vẫn được SGK đề cập ở mức độ đơn giản.
Để giúp học sinh trình bày lời giải bài khảo sát hàm số được thuận tiện, các tác giả đã đưa ra một sơ đồ khảo sát hàm số cải tiến hơn so với sơ đồ truyền thống. Cụ thể là trong bước thứ hai (khảo sát sự biến thiên), việc tìm các giới hạn đặc biệt của hàm số và tìm các đường tiệm cận của hàm số được tiến hành trước ; sau đó mới tính đạo hàm, khảo sát chiều biến thiên, cực trị và điểm uốn. điều đó cho phép bỏ qua việc lập riêng một bảng xét dấu của đạo hàm và học sinh chỉ cần lập duy nhất một bảng biến thiên của hàm số.
Đáng chú ý ở đây là vấn đề đường tiệm cận. Như đã biết, SGK Đại số và Giải tích 11 đã phân biệt các giới hạn tại +∞ và -∞. Điều đó dẫn đến
Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang, trước đây ta chỉ phải tìm một giới hạn lim ( )
x f x
→ ∞ , nay ta phải xét các giới hạn: lim ( )
x f x
→ + ∞ và lim ( )
x f x
→ −∞ .
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nếu chỉ cần một trong hai giới hạn đó là tồn tại và hữu hạn. Cụ thể hơn, giả sử hai giới hạn đó lần lượt là y1 và y2 thì khi y1
≠ y2 , đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = y1 và y = y2 ; còn khi y1 = y2
đồ thị có một tiệm cận ngang y = y1. Điều đó cũng xảy ra tương tự đối với tiệm cận xiên.
Cũng như vậy, khi xét tiệm cận đứng, ta phải xét tất cả các điểm x0 sao cho một trong các giới hạn ( )
0 lim x x f x + → và ( ) 0 lim x x f x − → là +∞ hoặc -∞. 1. 3. Kết luận chương 1
Trong Chương 1, Luận văn đã tìm hiểu về thực trạng dạy học Toán hiện nay ở các trường phổ thông, qua đó để thấy được ý nghĩa của việc lựa chọn các dạng hoạt động và xây dựng các tình huống tập luyện cho học sinh trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường phổ thông.
Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, chúng tôi đã tiến hành phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển nhận thức của học sinh từ đó làm cơ sở lựa chọn các dạng hoạt động cần thiết để tập luyện cho học sinh nhằm góp phần phát triển khả năng nhận thức, kỹ năng giải toán cho các em. Việc làm này là thực sự cần thiết phù hợp với thực tiễn, đáp ứng được nhu cầu về đổi mới PHDH và mang lại hiểu quả cho quá trình dạy học Toán ở trường THPT.
Chương 2