II. NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC 2.1 Toán học về phương diện một khoa học
3.4. Bồi dưỡng năng lực quan sát toán học
3.4.1. Quan sát là phương pháp “sử dụng các giác quan, ngôn ngữ viết, cả phương tiện kỹ thuật (máy ảnh, ghi âm, quay phim) để ghi chép lại biểu hiện của đối tượng nghiên cứu theo những quy cách nhất định làm tài liệu phục vụ cho nhiệm vụ nghiên cứu” []. Quan sát là con đường để con người nhận thức các sự vật, thu nhận các tri thức cần thiết. Sức quan sát chính là cội nguồn của hoạt động trí lực. Quan sát không những có tác dụng to lớn trong nghiên cứu khoa học, mà ngay trong học tập cũng có ý nghĩa rất cao, đặc biệt là trong quá trình học nghề dạy Toán. Người ta đã làm một thống kê, cho rằng 90% tri thức có được của một người là nhờ quan sát.
Để thực hiện được định hướng rèn luyện và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh, thì cần thiết phải coi trọng rèn luyện, nâng cao năng lực quan sát Toán học trong quá trình dạy học.
3.4.2 Các đối tượng toán học và quan sát toán học. Các đối tượng toán học có nguồn gốc trong hiện thực và tồn tại trong đầu óc người, cho nên để nghiên cứu chúng cần nhờ đến các công cụ quan trọng: ngôn ngữtoán và các vật chất biểu hiện cụ thể các đối tượng toán học. Ngôn ngữ toán học gồm những hình thức dùng để diễn tả các đối tượng toán học và các mối quan hệ giữa các đối tượng đó. Ngôn ngữ toán học gồm có các hình thức lời nói thông thường và ngôn ngữ viết như: công thức, ký hiệu,… Ngôn ngữ toán học hết sức đa dạng, phong phú tạo điều kiện thuận lợi cho việc học Toán. Các vật chất biểu hiện cụ thể các đối tượng toán học là những hình vẽ, sơ đồ, những tình huống khác nhau và cũng có thể là những ngôn ngữ toán học. Như vậy, quan sát toán học chính là quan sát ngôn ngữ toán học và những biểu hiện vật chất cụ thể của đối tượng toán học, qua đó mà học sinh nhận thức sâu sắc các đối tượng toán học.
3.4. 3 Bồi dưỡng năng lực quan sát cho học sinh.
1/ Phải có mục đích quan sát rõ ràng. Muốn phát hiện vấn đề, thì phải quan sát khoa học. Muốn quan sát đối tượng một cách khoa học thì người học phải chuẩn bị đầy đủ về tâm lý và đặc biệt là phải có tri thức cơ sở cho quan sát. Khi học sinh có tri thức khoa học cơ sở, thì quan sát toán học sẽ có mục đích rõ ràng, việc tự học và rèn luyện nghiệp vụ sư phạm Toán sẽ có hiệu quả hơn.
Ví dụ 30: Nhiều học sinh khi đọc sách giáo khoa hay bài giảng rất thụ động, thường đọc đi đọc lại nhiều lần bài học, chỉ coi trọng việc thuộc bài trong sách, bài giảng, ít khi tự hỏi, tự lật đi lật lại vấn đế, không coi trọng việc phát hiện vấn đề
trong học tập. Thậm chí nhiều học sinh cầm sách, bài giảng là đọc ngay không biết quan sát để tìm ra những hướng dẫn tự học, nhận thức được cấu trúc của bài giảng, của giáo khoa. Có nhiều nguyên nhân, nhưng nguyên nhân quan trọng là những học sinh đó chưa biết phương pháp quan sát, quan sát còn hời hợt, chưa gắn quan sát với suy nghĩ, chưa coi trọng quan sát toán học.
Quan sát toán học có hai mục đích: thứ nhất, để thu nhận kiến thức mới và vận dụng kiến thức giải bài tập; thứ hai, cung cấp và rèn luyện tri thức phương pháp.
Làm thế nào để nâng cao tính mục đích trong quan sát? Trước hết, điều rất quan trọng là học sinh phải có ý định quan sát, tức là quan sát để làm gì, để tìm ra cái gì. Ý định này phải do chủ thể là học sinh tự xác lập, giáo viên là người hướng dẫn. Vai trò của giáo viên thể hiện: giúp học sinh xác định mục tiêu bằng cách nêu vấn đề; hướng dẫn mục tiêu cần chú ý, cần nắm của cả môn học, chương, bài học; nhấn mạnh những từ quan trọng, những sơ đồ, những vấn đề cần hệ thống…
2/ Nắm vững phương pháp quan sát khoa học. Để học sinh học Toán tốt và người giáo viên toán trở thành thầy dạy Toán giỏi ở trường phổ thông thì trước hết phải thành thạo phương pháp quan sát toán học để dạy cho học sinh cách quan sát toán học. Khi quan sát vừa dùng mắt nhìn, vừa phải suy nghĩ. Hai yếu tố này kết hợp chặt chẽ với nhau trong quá trình học tập. Bởi vì, quan sát thì phải có mục đích, trong quá trình chuẩn bị thì phải xác định quan sát cái gì, trong quá trình quan sát thì phải so sánh, phân tích, quy nạp để có thể có được kết luận đúng. Quan sát xong thì giải quyết vấn đề, sau đó lại phải suy nghĩ về kết quả quan sát được.
3.4.4. Quan sát toán học như thế nào
1/ Tập trung trí lực tìm đặc điểm bản chất: Phải căn cứ vào mục đích quan sát để tìm đặc điểm của sự vật, vấn đề cần quan sát. Thông qua đặc điểm để phát hiện được quy luật, tri thức mới, cách giải quyết vấn đề. Các đặc điểm cần chú ý: quan sát các chữ số và đặc điểm; quan sát nhận biết cấu trúc định nghĩa, định lý; quan sát đặc điểm và kết cấu của dãy phép tính; quan sát đặc điểm và kết cấu của một công thức, biểu thức toán học; quan sát đặc điểm của biểu đồ hình vẽ; quan sát cấu trúc của văn bản toán học…
2/ Chú ý đến từng chi tiết. Quan sát là phải chi tiết để nhận biết được tất cả các tình huống có thể xẩy ra. Ví dụ 31: Biểu diễn biểu thức: f(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3) + 5x + 4 thành dạng chính tắc của một đa thức. Quan sát chi tiết sẽ thấy bậc của đa thức là 3
với hệ số của x3 là 1, có số hạng tự do là (−1)(−2)(3) + 4 = 10, đa thức có dạng ax3 + bx2 + cx+ 10, bằng việc giải quyết những trường hợp đặc biệt x = 1, x = 2 ta có kết quả. 3/ Quan sát để so sánh, để dự đoán: Khi người ta so sánh, dự đoán, thường nhìn vào chỗ tương tự hoặc giống nhau của sự vật, nhưng ngoài chỗ giống nhau hoặc tương tự, thì còn nhiều chỗ khác nhau hoặc tương phản mà nhiều lúc ta ít chú ý hoặc chưa biết. So sánh là phương pháp đi từ cái riêng đến cái riêng, từ cái cá biệt đến cái cá biệt, tuy rằng về mặt logic chưa thật chặt chẽ nhưng nó có sức sáng tạo rất to lớn. Vì thế, để phát triển năng lực dự đoán cho học sinh, giáo viên phải hướng dẫn học sinh phương pháp so sánh, quan sát toán học gắn liền với so sánh.
Ví dụ 32: Bài toán: Tìm hai số a và b (a ≥ 3, a + b = 4) sao cho a2 + b2 nhỏ nhất. Tóm lược cách giải như sau: Ta có a2 + b2 = [( + ) (2+ − )2]=
21 1 b a b a 2 1 (a – b)2 + 8. Vì a ≥ 3 và a + b = 4 nên (a – b) ≥ 2, do đó a2 + b2 ≥ 10. Giá trị nhỏ nhất bằng 10, đạt được khi a = 3; b = 1.
Xung quanh bài toán này có hai điều lưu ý. Thứ nhất, ngoài giả thiết a + b = 4, tại sao còn thêm giả thiết a ≥ 3? Là bởi vì để a và b không thể bằng nhau, do đó nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxki: a2 + b2 ≥ ( )2
21 1
b
a+ để tìm giá trị nhỏ nhất là không thích hợp (có nhiều học sinh đã giải theo cách này). Thứ hai, lý do nào lại dẫn chúng ta đến với sự biểu diễn a2 + b2 = [( ) (2 )2]
21 1
b a b
a+ + − trong khi có thể biểu diễn các cách khác nữa? Là bởi vì, sau khi cho (a; b) một số cặp giá trị cụ thể: (3; 1), (4; 0), (5, -1), (6; -2),... và tính tương ứng ra, thì ta dự đoán nếu a càng lớn thì b càng bé thì a2 + b2 càng lớn. Dự đoán ấy còn có thể phát biểu là a2 + b2 đạt giá trị nhỏ nhất khi a nhỏ nhất. Hơn nữa, nếu với giả thiết là a + b = 5 thì a nhỏ nhất, b lớn nhất tương đương với sự kiện a – b nhỏ nhất. Như vậy, nảy sinh vấn đề là, phải chăng trong quá trình xác định giá trị nhỏ nhất của a2 + b2 nên tìm cách biểu diễn a2
+ b2 qua a + b và a – b? Việc dự đoán đó gợi ý ta hãy biểu diễn a2 + b2 qua hai đại lượng a + b và a – b, nhằm khẳng định dự đoán để hoàn tất lời giải, hay là bác bỏ dự đoán và tìm kiếm hướng khác.
Tất nhiên đấy chưa phải là cách duy nhất. Ngoài cách đó ra có thể đi theo hướng sau: xuất phát từ giả thiết a + b = 4 rút b qua a để chuyển a2 + b2 về biểu thức chỉ chứa a, Cụ thể: a + b = 4 ⇒b = 4 – a ⇒ a2 + b2 = a2 + (4 – a)2 = 2a2 – 8a + 16 =
2(a2 – 4a + 8) = 2 [(a – 2)2 + 4]. Tuy nhiên, đến đây học sinh vẫn thường kết luận giá trị nhỏ nhất là 8, quên mất điều kiện a ≥ 3.
Như vậy, ta nhận thấy rằng nhiều khi chính quá trình mò mẫm dự đoán lại gợi ý cho các biến đổi, cách thêm, bớt, kẻ đường phụ, ... đối với bước suy luận logíc. Nói cách khác thì vai trò của dự đoán là rất quan trọng, nếu quan sát tốt, nhờ dự đoán mà ta biết biến đổi biểu thức theo kiểu gì, kẻ đường phụ như thế nào cho hợp lý. Nhiều khi, dự đoán còn liên quan đến linh cảm, trực giác nữa.
4/ Quan sát để tổng quát hóa, đặc biệt hóa
Ví dụ 33: Từ bài toán đã biết:∀m є Z+ có P = (m + 1)(m + 2)…(2m) chia hết cho 2m mà không chia hết cho 2m +1.
Sinh viên có thể quan sát và chú ý đặc điểm 2 là một số nguyên tố từ đó sáng tạo bài toán tổng quát ∀m є Z+, với mọi số nguyên tố p ta có P = (m + 1)(m + 2) …(pm) chia hết cho pm mà không chia hết cho pm + 1.
5/ Thường xuyên rèn luyện óc quan sát: Do tính phức tạp, tính đa dạng, phong phú của các vấn đề Toán học, đồng thời tính phức tạp của hiện tượng dạy học Toán, mà người giáo viên toán phải thường xuyên rèn luyện cho học sinh tính khách quan, kiên trì, cẩn thận, lâu dài thực hiện quan sát. Giáo viên cần tạo cơ hội thường xuyên giúp học sinh quan sát để có dự đoán. Cần có những câu hỏi có tính sư phạm cao dẫn dắt học sinh quan sát.
Ví dụ 34: Trong dạy học môn Toán, việc sử dụng hợp lý các phương tiện dạy học trực quan tượng trưng đóng một vai trò vô cùng quan trọng, các phương tiện trực quan tượng trưng không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy học giải bài tập toán,...
Thường xuyên quan sát mới xuất hiện trực giác (linh cảm). Phải đặt mình vào vai trò chủ thể bên trong khi quan sát, từ đó rèn luyện tư duy trực giác.